การสร้างแบบจำลองผลกระทบเชิงเส้นผสมกับข้อมูลการศึกษาคู่

สมมติว่าฉันมีตัวแปรตอบสนองบางอย่างที่วัดจากพี่น้องคนที่ในครอบครัวที่นอกจากนี้ข้อมูลพฤติกรรมบางอย่างถูกรวบรวมในเวลาเดียวกันจากแต่ละเรื่อง ฉันพยายามวิเคราะห์สถานการณ์ด้วยโมเดลผสมผลกระทบเชิงเส้นต่อไปนี้: $y_{ij}$ $j$ $i$ $x_{ij}$

y_{i j} = α_{0} + α_{1} x_{i j} + δ_{1 i} x_{i j} + ε_{i j}

$y_{ij} = \alpha_0 + \alpha_1 x_{ij} + \delta_{1i} x_{ij} + \varepsilon_{ij}$

โดยที่และเป็นจุดตัดและความชันคงที่ตามลำดับ คือความชันแบบสุ่มและคือส่วนที่เหลือ $\alpha_0$ $\alpha_1$ $\delta_{1i}$ $\varepsilon_{ij}$

สมมติฐานสำหรับผลกระทบแบบสุ่มและส่วนที่เหลือคือ (สมมติว่ามีพี่น้องเพียงสองคนเท่านั้นในแต่ละครอบครัว) $\delta_{1i}$ $\varepsilon_{ij}$

\begin{aligned} δ_{1 i} & \overset{d}{\sim} N (0, τ^{2}) \\ (ε_{i 1}, ε_{i 2})^{T} & \overset{d}{\sim} N ((0, 0)^{T}, R) \end{aligned}

$\begin{align} \delta_{1i} &\stackrel{d}{\sim} N(0, \tau^2) \\[5pt] (\varepsilon_{i1}, \varepsilon_{i2})^T &\stackrel{d}{\sim} N((0, 0)^T, R) \end{align}$

โดยที่เป็นพารามิเตอร์แปรปรวนที่ไม่รู้จักและโครงสร้างความแปรปรวนร่วม - ความแปรปรวนร่วมเป็นเมทริกซ์สมมาตรแบบ 2 x 2 ของแบบฟอร์ม $\tau^2$ $R$

(\begin{matrix} r_{1}^{2} & r_{12}^{2} \\ r_{12}^{2} & r_{2}^{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} r_1^2&r_{12}^2\\ r_{12}^2&r_2^2 \end{pmatrix}$

นั่นคือรูปแบบความสัมพันธ์ระหว่างพี่น้องสองคน

นี่เป็นรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการศึกษาแบบพี่น้องหรือไม่?
ข้อมูลมีความซับซ้อนเล็กน้อย ในบรรดา 50 ครอบครัวใกล้เคียงกับ 90% ของพวกเขาเป็นฝาแฝด dizygotic (DZ) สำหรับครอบครัวที่เหลือ
1. สองคนมีพี่น้องเพียงคนเดียว
2. สองมีหนึ่งคู่ DZ บวกหนึ่งพี่น้อง และ
3. สองมีคู่ DZ หนึ่งคู่บวกกับพี่น้องอีกสองคน
ฉันเชื่อlmeในแพคเกจ R nlmeสามารถจัดการ (1) กับสถานการณ์ที่ขาดหายไปหรือไม่สมดุลได้อย่างง่ายดาย ปัญหาของฉันคือวิธีจัดการกับ (2) และ (3)? ความเป็นไปได้อย่างหนึ่งที่ฉันคิดได้คือแบ่งครอบครัวทั้งสี่ใน (2) และ (3) ออกเป็นสองครอบครัวเพื่อให้แต่ละครอบครัวย่อยจะมีพี่น้องหนึ่งหรือสองคน สบายดีไหม อีกทางเลือกหนึ่งคือการทิ้งข้อมูลจากพี่น้องหนึ่งหรือสองคนใน (2) และ (3) ซึ่งดูเหมือนจะเป็นการสิ้นเปลือง มีวิธีใดที่ดีกว่านี้?
ดูเหมือนว่าlmeจะช่วยให้เราสามารถแก้ไขค่าในเมทริกซ์ความแปรปรวนที่เหลือ - ความแปรปรวนร่วมตัวอย่างเช่น = 0.5 มันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่จะกำหนดโครงสร้างความสัมพันธ์หรือฉันควรประมาณมันจากข้อมูล? $r$ $R$ $r_{12}^2$

— bluepole
แหล่งที่มา

อะไรแสดงว่า?

x_{j}

$x_j$

— มาโคร

@Macro: ขอบคุณที่จำได้ เพิ่งแก้ไข OP เพื่อระบุว่าเป็นตัวแปรอธิบายการวัดพฤติกรรมจากพี่น้องแต่ละคน

x_{i j}

$x_{ij}$

— bluepole

คำถามและแอปพลิเคชั่นที่น่าสนใจมาก ฉันอาจจะหายไปบางสิ่งบางอย่าง แต่ดูเหมือนว่าสำหรับฉันรุ่นนี้มีการกำหนดพารามิเตอร์มากเกินไป ข้อผิดพลาดที่มีลักษณะร่วมกันสามารถมีประสิทธิภาพเป็นปัจจัยเป็นองค์ประกอบที่ "ยกเลิกการแชร์" และ "สาธารณะ" องค์ประกอบหลังที่มีฟังก์ชั่นเดียวกับ{} คุณจะต้องลบสร้างข้อผิดพลาดของหรือกำหนดข้อ จำกัด เช่นสำหรับการระบุตัวตน - คุณกำลังทำเช่นนั้นเพื่อแยกส่วนประกอบด้านสิ่งแวดล้อม / พันธุกรรม เพื่อพี่น้องสัมพันธ์?

ϵ_{i 1}, ϵ_{i 2}

$ϵ_{i1},ϵ_{i2}$

δ_{0 i}

$δ_{0i}$

δ_{0 i}

$\delta_{0i}$

ϵ

$\epsilon$

r_{12}^{2} = .5

$r^2_{12} = .5$

— มาโคร

@Macro: ถูกต้อง:ไม่จำเป็นในแบบจำลอง ขอบคุณที่ชี้นำสิ่งนี้! แปลกไม่บ่นเกี่ยวกับความซ้ำซ้อนดังกล่าว

δ_{0 i}

$δ_{0i}$ lme

— bluepole

คุณยังคงทำงานกับโมเดลที่มีพารามิเตอร์มากเกินไป (ส่วนหนึ่งของคำถามของคุณยังไม่ได้รับการแก้ไข)?

— มาโคร

คุณสามารถรวมฝาแฝดและไม่ฝาแฝดในโมเดลรวมโดยใช้ตัวแปรดัมมี่และรวมถึงการสุ่มลาดในตัวแปรดัมมี่ เนื่องจากทุกครอบครัวมีคู่แฝดได้มากที่สุดชุดหนึ่งนี่จึงค่อนข้างง่าย:

ให้ถ้าพี่น้องในครอบครัวเป็น twin และ 0 เป็นอย่างอื่น ฉันสมมติว่าคุณต้องการให้ความชันแบบสุ่มแตกต่างกันไปสำหรับฝาแฝดกับพี่น้องทั่วไป - ถ้าไม่อย่าใส่คำว่าในแบบจำลองด้านล่าง $A_{ij} = 1$ $j$ $i$ $\eta_{i3}$

จากนั้นให้พอดีกับรูปแบบ:

y_{i j} = α_{0} + α_{1} x_{i j} + η_{i 0} + η_{i 1} A_{i j} + η_{i 2} x_{i j} + η_{i 3} x_{i j} A_{i j} + ε_{i j}

$y_{ij} = \alpha_{0} + \alpha_{1} x_{ij} + \eta_{i0} + \eta_{i1} A_{ij} + \eta_{i2} x_{ij} + \eta_{i3} x_{ij} A_{ij} + \varepsilon_{ij}$

$\alpha_{0}, \alpha_{1}$ เป็นเอฟเฟกต์คงที่เช่นเดียวกับในสของคุณ
$\eta_{i0}$ คือเอฟเฟกต์แบบสุ่ม 'พื้นฐาน' และเป็นเอฟเฟกต์แบบสุ่มเพิ่มเติมที่ช่วยให้ฝาแฝดมีความคล้ายคลึงกันมากกว่าพี่น้องทั่วไป ขนาดของความแปรปรวนของเอฟเฟกต์แบบสุ่มที่สอดคล้องกันจะคำนวณปริมาณของพี่น้องที่คล้ายคลึงกันและจำนวนฝาแฝดที่คล้ายกันนั้นมีจำนวนมากกว่าพี่น้องทั่วไป โปรดทราบว่าทั้งคู่แฝดและคู่ที่ไม่ใช่คู่มีความโดดเด่นโดยรุ่นนี้ - ความสัมพันธ์คู่จะถูกคำนวณโดยการรวมผลกระทบแบบสุ่มอย่างเหมาะสม (เสียบ ) $\eta_{i1}$ $A_{ij}=1$
$\eta_{i2}$ และมีบทบาทคล้ายกันเพียงพวกเขาทำหน้าที่เป็นลาดสุ่มของ $\eta_{i3}$ $x_{ij}$
$\varepsilon_{ij}$ เป็นเงื่อนไขข้อผิดพลาดของ iid - โปรดทราบว่าฉันได้เขียนแบบจำลองของคุณแตกต่างกันเล็กน้อยในแง่ของการดักจับแบบสุ่มมากกว่าข้อผิดพลาดที่สัมพันธ์กัน

คุณสามารถเหมาะสมกับรูปแบบโดยใช้แพคเกจR lme4ในรหัสด้านล่างตัวแปรตามคือตัวแปรyดัมมี่คือAตัวทำนายคือxผลิตภัณฑ์ของตัวแปรดัมมี่และตัวทำนายคือAxและfamIDเป็นหมายเลขตัวบ่งชี้สำหรับตระกูล ข้อมูลของคุณจะถูกจัดเก็บในกรอบข้อมูลDโดยมีตัวแปรเหล่านี้เป็นคอลัมน์

library(lme4) 
g <- lmer(y ~ x + (1+A+x+Ax|famID), data=D)

summary(g)ตัวแปรที่มีผลสุ่มและประมาณการผลกระทบคงสามารถดูได้โดยการพิมพ์ โปรดทราบว่ารุ่นนี้อนุญาตให้เอฟเฟกต์แบบสุ่มมีความสัมพันธ์อย่างอิสระซึ่งกันและกัน

ในหลายกรณีอาจทำให้รู้สึกมากกว่า (หรือตีความได้ง่ายกว่า) เพื่อสมมติความเป็นอิสระระหว่างเอฟเฟกต์แบบสุ่ม (เช่นข้อสันนิษฐานนี้มักทำขึ้นเพื่อย่อยสลายทางพันธุกรรมกับความสัมพันธ์ของครอบครัวสิ่งแวดล้อม) ในกรณีนี้คุณควรพิมพ์

g <- lmer(y ~ x + (1|famID) + (A-1|famID) + (x-1|famID) +(Ax-1|famID), data=D)

— มาโคร
แหล่งที่มา

นี่เป็นทางออกที่ดีและฉันชอบ! จะลองเร็ว ๆ นี้และดูว่ามันจะไป ... ขอบคุณมาก!

— bluepole

ไม่เป็นไร หากคุณพบว่าวิธีการแก้ปัญหานี้เป็นประโยชน์โปรดพิจารณายอมรับคำตอบ :)

— มาโคร

สองประเด็น: 1) เนื่องจากวิชาส่วนใหญ่เป็นฝาแฝด dizygotic วิธีการของคุณดูเหมือนจะไม่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างคู่แฝด DZ 2) มีเพียง 4 ครอบครัวเท่านั้นที่มีพี่น้องเพิ่ม ฉันกังวลว่าจะเป็นการยากที่จะประมาณค่าเอฟเฟกต์แบบสุ่มสำหรับพี่น้องโดยอ้างอิงจาก 4 ครอบครัวเหล่านั้นเท่านั้น เนื่องจากความแตกต่างระหว่างคู่แฝด DZ กับพี่น้องคนอื่นนั้นค่อนข้างเล็ก (ส่วนใหญ่เป็นสิ่งแวดล้อมไม่ใช่พันธุกรรม) บางทีฉันอาจจะมองข้ามความแตกต่างเล็กน้อยของคู่แฝดกับพี่น้อง หรือมีความสัมพันธ์กับสิ่งที่เหลืออยู่ใน OP ของฉัน

— bluepole

วิธีการนี้จะสร้างแบบจำลองความสัมพันธ์ระหว่างฝาแฝด ตัวอย่างเช่นหากค่าตัวทำนายค่าเป็น 0 ดังนั้นความสัมพันธ์ระหว่างฝาแฝดคือโดยที่เป็นความแปรปรวนของตามลำดับและคือความแปรปรวนของคำที่ผิดพลาด เมื่อค่าตัวทำนายไม่ใช่ 0 นิพจน์นี้จะเกี่ยวข้องกับความแปรปรวนของเอฟเฟกต์สุ่มอีกสองแบบ

\frac{σ_{0}^{2} + σ_{1}^{2}}{σ_{0}^{2} + σ_{1}^{2} + σ_{ε}^{2}}

$\frac{ \sigma_{0}^{2} + \sigma_{1}^{2} }{ \sigma_{0}^{2} + \sigma_{1}^{2} + \sigma^{2}_{\varepsilon}}$

σ_{0}^{2}, σ_{1}^{2}

$\sigma_{0}^{2}, \sigma_{1}^{2}$

η_{i 0}, η_{i 1}

$\eta_{i0}, \eta_{i1}$

σ_{ε}^{2}

$\sigma^{2}_{\varepsilon}$

— มาโคร

คุณพูดถูกเพราะมีคู่ไม่กี่คู่ความแปรปรวนของและนั้นยากที่จะประเมิน คุณสามารถปล่อยให้พวกมันออกมา แต่คุณจะไม่สูญเสียอะไรเลยโดยใช้ตัวแบบที่ฉันแนะนำ แต่อาจจะเป็นช่วงสั้น ๆ ของการคำนวณ หากคุณเป็นเช่นนั้นคุณกำลังสมมติว่าพี่น้องที่ไม่ใช่คู่นั้นมีความเป็นอิสระ แต่คุณยังสามารถใช้การสังเกตเหล่านั้นเพื่อประเมินค่าเฉลี่ยของพารามิเตอร์ (เช่นอย่าปล่อยให้พวกเขาออกจากตัวแบบจำลอง) หรืออย่างที่คุณพูดคุณสามารถทำได้ราวกับว่าพี่น้องปกติเหมือนกับแฝดและคุณไม่จำเป็นต้องหลอกรหัสเลย

η_{i 0}

$\eta_{i0}$

η_{i 2}

$\eta_{i2}$

— มาโคร