การสลายตัวของการแจกแจงแบบปกติ

มีการแจกแจงเชิงบวกอย่างเดียวหรือไม่ว่าความแตกต่างของตัวอย่างอิสระสองรายการจากการแจกแจงนี้กระจายตามปกติหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นจะมีรูปแบบที่เรียบง่ายหรือไม่?

distributions probability

— Martin O'Leary
แหล่งที่มา

คำถามที่น่าสนใจ! การแจกแจงแบบปกตินั้นเป็นตัวย่อยสลายแบบไม่ จำกัด หมายความว่าคุณสามารถเขียนมันเป็นการกระจายของผลรวมของจำนวนสุ่มของตัวแปรสุ่ม แต่นี่ไม่ใช่คำถาม

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

— ซีอาน

หากคุณไปถึงฟังก์ชั่นสร้างช่วงเวลาคำถามคือว่าอนุญาตหรือไม่ สำหรับการแก้ปัญหา (ใน ) ที่เป็นฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลาของตัวแปรเชิงบวก ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

— ซีอาน

คุณถูกต้อง @Dilip: ความแตกต่างของครึ่งบรรทัดฐานไม่มีการแจกแจงแบบปกติ ปัญหาไม่ได้อยู่กับความแปรปรวนของความแตกต่าง: รูปร่างที่ดีของการกระจายไม่ปกติ (ความโด่งของมันมากเกินไป)

— whuber

แม้ว่าจะเห็นได้ชัดว่ามันอาจจะคุ้มค่าที่จะสังเกตว่าคำสั่งนั้นถูกต้องโดยประมาณ ท้ายที่สุดความแตกต่างของตัวแปรและตัวแปรมีการกระจายและโดย การเลือกมีขนาดใหญ่พอเราสามารถทำให้โอกาสที่ตัวแปรทั้งสองมีค่าลบน้อยตามที่ต้องการ

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

— whuber

คำตอบสำหรับคำถามคือไม่และต่อจากลักษณะที่มีชื่อเสียงของการแจกแจงแบบปกติ

สมมติว่าและเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ ดังนั้นจึงเป็นตัวแปรสุ่มแบบและและแน่นอนว่าเราสามารถเขียนเป็น , ผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว ตอนนี้ตามทฤษฎีบทที่คาดการณ์โดย P. Lévyและพิสูจน์โดย H. Cramér (ดู Feller, บทที่สิบแปด, ทฤษฎีบท 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

ถ้าและเป็นตัวแปรสุ่มแบบอิสระและ จะกระจายตามปกติแล้วทั้งและ จะถูกกระจายตามปกติ $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

OP ถามว่ามีตัวแปรสุ่มที่เป็นบวกของ iidและไม่ซึ่ง จะกระจายตามปกติ แต่ถึงแม้ว่าเราจะแจกจ่ายด้วย positivity และการแจกแจงที่เหมือนกันและรักษาความเป็นอิสระได้ แต่ความเป็นมาตรฐานของ ต้องการให้ทั้งและเป็นตัวแปรสุ่มแบบปกติ ดังที่ Feller กล่าวว่า "การแจกแจงแบบปกติไม่สามารถย่อยสลายได้ยกเว้นในลักษณะที่ไม่สำคัญ" $X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

ฉันค่อนข้างหวังว่าคำตอบจะใช่ แต่ขอบคุณ! ฉันไม่สามารถเข้าถึงสำเนาของ Feller ได้อย่างง่ายดาย - เป็นไปได้หรือไม่ที่จะร่างหลักฐานของทฤษฎีบท? ดูเหมือนจะค่อนข้างใช้งานง่าย

— Martin O'Leary

แม้แต่เฟลเลอร์ไม่ได้รวมหลักฐานดั้งเดิมที่อ้างว่ามันเป็นไปตามทฤษฎีฟังก์ชั่นการวิเคราะห์และดังนั้นจึงค่อนข้างแตกต่างจากวิธีการของเขากับฟังก์ชั่นลักษณะ

— Dilip Sarwate

ฉันคิดว่าเป็นกรณี แต่จะเปิดประตูสำหรับตัวแปรตาม ฉันพยายามหาวิธีในการสร้างการพึ่งพาระหว่างสองบรรทัดฐานครึ่งบวก แต่ไม่สามารถไปทำงานได้

— Michael R. Chernick

บางทีฉันควรจะมีใครบางคนสนใจในการพยายามแก้ปัญหามากขึ้น

— Michael R. Chernick

ฉันจะทำให้คำถามนี้แล้วคุณสามารถสะกดคำตอบของคุณ ฉันไม่ได้ติดตามสิ่งที่ความหนาแน่นของรอยต่อนี้เป็นอย่างไรและคุณรับ Z = | X | - | Y | หรือไม่

— Michael R. Chernick