นานาคืออะไร?

ในเทคนิคการลดขนาดเช่นการวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก LDA ฯลฯ มักใช้คำที่หลากหลาย นานาในระยะที่ไม่ใช่ด้านเทคนิคคืออะไร? หากจุดเป็นของทรงกลมที่มีมิติที่ฉันต้องการลดและหากมีจุดรบกวนและและไม่เกี่ยวข้องกันแล้วจุดที่แท้จริงจะถูกแยกออกจากกันเนื่องจากเสียงรบกวน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการกรองสัญญาณรบกวน ดังนั้นการลดมิติจะได้รับการดำเนินการเกี่ยวกับ y ที่ ดังนั้นและเป็นของแมนิโฟลด์ที่ต่างกันหรือไม่?y x z = x + y x $x$$y$$x$$y$$x$$z = x+y$$x$$y$

ฉันกำลังทำงานกับข้อมูลจุดเมฆที่มักใช้ในการมองเห็นหุ่นยนต์ เมฆจุดนั้นเสียงดังเนื่องจากเสียงรบกวนในการได้มาและฉันต้องลดเสียงก่อนที่จะลดขนาด มิฉะนั้นฉันจะได้รับการลดขนาดที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้นนานาคืออะไรที่นี่และเสียงรบกวนเป็นส่วนหนึ่งของ manifold เดียวกันกับที่เป็นเจ้าของ?$x$

ในแง่เทคนิคที่ไม่ใช่นานาเป็นโครงสร้างทางเรขาคณิตอย่างต่อเนื่องที่มีมิติที่ จำกัด : เส้น, เส้นโค้ง, เครื่องบิน, พื้นผิว, ทรงกลม, ลูก, ทรงกระบอก, ทรงกระบอก, พรู, "หยด" ... บางสิ่งเช่นนี้ :

มันเป็นคำทั่วไปที่ใช้โดยนักคณิตศาสตร์จะพูดว่า "โค้ง" (มิติ 1) หรือ "ผิว" (2 มิติ) หรือวัตถุ 3D (3 มิติ) ... สำหรับการใด ๆ ที่เป็นไปได้แน่นอนมิติnท่อร่วมมิติหนึ่งมิติเป็นเพียงเส้นโค้ง (เส้นวงกลม ... ) ท่อสองมิตินั้นเป็นเพียงพื้นผิว (ระนาบทรงกลมพรูทรงกระบอก ... ) แมนิโฟลด์สามมิติคือ "วัตถุเต็มรูปแบบ" (บอลเต็มลูกบาศก์พื้นที่ 3D รอบตัวเรา ... )$n$

manifold มักจะอธิบายโดยสมการ: ชุดของจุดเช่นเป็น manifold มิติเดียว (วงกลม)x 2 + y 2 = $(x,y)$$x^2+y^2=1$

นานามีมิติเดียวกันทุกที่ ตัวอย่างเช่นหากคุณต่อท้ายบรรทัด (ส่วนข้อมูล 1) ไปยังทรงกลม (ส่วนข้อมูล 2) ดังนั้นโครงสร้างทางเรขาคณิตที่ได้จะไม่ได้เกิดขึ้นมากมาย

ซึ่งแตกต่างจากความคิดที่กว้างขึ้นของพื้นที่ตัวชี้วัดหรือพื้นที่ทอพอโลยียังตั้งใจที่จะอธิบายถึงสัญชาตญาณตามธรรมชาติของเราอย่างต่อเนื่องเป็นชุดของจุดนานามีวัตถุประสงค์เพื่อเป็นสิ่งที่ง่ายในท้องถิ่น: เช่นพื้นที่มิติเวกเตอร์ จำกัด : n กฎนี้ออกจากช่องว่างนามธรรม (เช่นช่องว่างมิติที่ไม่มีที่สิ้นสุด) ที่มักจะล้มเหลวในการมีความหมายที่เป็นรูปธรรมทางเรขาคณิต$\mathbb{R}^n$

ซึ่งแตกต่างจากพื้นที่เวกเตอร์ manifolds สามารถมีรูปร่างต่าง ๆ manifolds บางคนสามารถมองเห็นได้อย่างง่ายดาย (ทรงกลมลูก ... ) บางคนเป็นเรื่องยากที่จะเห็นภาพเช่นขวด Kleinหรือprojective เครื่องบินจริง

ในสถิติการเรียนรู้ของเครื่องหรือคณิตศาสตร์ประยุกต์โดยทั่วไปคำว่า "manifold" มักจะถูกใช้เพื่อพูดว่า "เหมือน subspace เชิงเส้น" แต่อาจโค้ง ทุกครั้งที่คุณเขียนสมการเชิงเส้นเช่น:คุณจะได้สเปซย่อยเชิงเส้น (เลียนแบบ) (นี่คือระนาบ) โดยปกติเมื่อสมการไม่เชิงเส้นเช่นนี่คือนานา (นี่คือทรงกลมที่ยืดออก)x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = $3x+2y-4z=1$$x^2+2y^2+3z^2=7$

ตัวอย่างเช่น " สมมติฐานของแมนิโฟลด์ " ของ ML พูดว่า "ข้อมูลมิติสูงเป็นจุดในมิติต่ำมากที่มีการเพิ่มเสียงรบกวนมิติสูง" คุณสามารถจินตนาการถึงจุดต่าง ๆ ของวงกลม 1D พร้อมกับเพิ่มสัญญาณรบกวน 2 มิติ ในขณะที่จุดจะไม่ตรงกับวงกลมที่พวกเขาตอบสนองทางสถิติสมการ 1 วงกลมเป็นรากฐานที่หลากหลาย: $x^2+y^2=1$

A (ทอพอโลยี) คือช่องว่างซึ่งก็คือ:$M$

$\mathbb{R}^n$$n$

$n$$c_i: M \to \mathbb{R}$$c: M \to \mathbb{R}^n$

$\mathbb{R}^N$$N \ge n$

โปรดทราบว่าเพื่อให้ "โครงสร้าง" มีความแม่นยำที่นี่เราจำเป็นต้องเข้าใจแนวคิดพื้นฐานของโทโพโลยี ( def. ) ซึ่งทำให้สามารถสร้างแนวคิดที่ชัดเจนเกี่ยวกับพฤติกรรม"ท้องถิ่น"และ"ภายใน"ข้างต้น เมื่อฉันพูดว่า "เทียบเท่า" ฉันหมายถึงโครงสร้างทอพอโลยีเทียบเท่ากัน ( homeomorphic ) และเมื่อฉันพูดว่า "โครงสร้างที่สงวนไว้" ฉันหมายถึงสิ่งเดียวกัน (สร้างโครงสร้างทอพอโลยีที่เทียบเท่า)

โปรดทราบด้วยว่าในการที่จะทำแคลคูลัสบน manifoldsเราต้องการเงื่อนไขเพิ่มเติมซึ่งไม่เป็นไปตามเงื่อนไขสองประการข้างต้นซึ่งโดยทั่วไปบอกว่าบางอย่างเช่น นี่คือท่อร่วมที่ใช้บ่อยที่สุดในการปฏิบัติ ซึ่งแตกต่างจากแมนิโฟลทอพอโลยีทั่วไปนอกเหนือไปจากแคลคูลัสพวกเขายังช่วยให้triangulationsซึ่งเป็นสิ่งที่สำคัญมากในการใช้งานเช่นเดียวกับคุณที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลจุดเมฆ

โปรดทราบว่าไม่ใช่ทุกคนที่ใช้คำจำกัดความเดียวกันสำหรับนานา (ทอพอโลยี) ผู้แต่งหลายคนจะนิยามว่าเป็นเงื่อนไขที่น่าพึงใจเท่านั้น (1) ด้านบนและไม่จำเป็นต้องเป็น (2) ด้วยเช่นกัน อย่างไรก็ตามคำจำกัดความที่สอดคล้องกับทั้ง (1) และ (2) นั้นมีพฤติกรรมที่ดีกว่ามากดังนั้นจึงมีประโยชน์มากสำหรับผู้ปฏิบัติงาน หนึ่งอาจคาดหวังโดยสังหรณ์ว่า (1) หมายถึง (2) แต่จริง ๆ แล้วไม่ได้

$\mathbb{R}^n$

ในบริบทนี้คำที่หลากหลายมีความถูกต้อง แต่เป็นฟาลาลูนสูง ในทางเทคนิค manifold คือช่องว่างใด ๆ (ชุดของจุดที่มีทอพอโลยี) ที่ราบรื่นและต่อเนื่องเพียงพอ (ในทางที่สามารถทำได้ด้วยความพยายามบางอย่าง

ลองนึกภาพช่องว่างของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของปัจจัยดั้งเดิมของคุณ หลังจากเทคนิคการลดมิติไม่สามารถทำได้ทุกจุดในพื้นที่นั้น แต่จะมีเพียงแต้มบนพื้นที่ย่อยที่ฝังอยู่ภายในในพื้นที่นั้นเท่านั้น พื้นที่ย่อยที่ฝังตัวนั้นเกิดขึ้นเพื่อให้เป็นไปตามข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์ของท่อร่วมไอดี สำหรับเทคนิคการลดมิติเชิงเส้นอย่าง PCA นั้น sub-space นั้นเป็นเพียง sub-space เชิงเส้น (เช่น hyper-plane) ซึ่งเป็นท่อร่วมที่ค่อนข้างน่ารำคาญ แต่สำหรับเทคนิคการลดมิติที่ไม่เป็นเชิงเส้นพื้นที่ย่อยนั้นอาจมีความซับซ้อนมากกว่า (เช่นพื้นผิวโค้งมากเกินไป) สำหรับวัตถุประสงค์ในการวิเคราะห์ข้อมูลการทำความเข้าใจว่าสิ่งเหล่านี้เป็นพื้นที่ย่อยมีความสำคัญมากกว่าการอนุมานใด ๆ ที่คุณจะได้รับจากการรู้ว่าพวกเขาเติมเต็มคำจำกัดความของนานา