การกระจายปัวซองนั้นเสถียรและมีสูตรผกผันสำหรับ MGF หรือไม่?

ก่อนอื่นฉันมีคำถามเกี่ยวกับการกระจายของปัวซองว่า "เสถียร" หรือไม่ ไร้เดียงสามาก (และฉันก็ไม่แน่ใจเกี่ยวกับการแจกแจง "เสถียร") ฉันคำนวณการกระจายตัวเชิงเส้นของ Poisson กระจาย RV's โดยใช้ผลิตภัณฑ์ของ MGF ดูเหมือนว่าฉันจะได้รับปัวซองอีกครั้งโดยมีพารามิเตอร์เท่ากับชุดค่าผสมเชิงเส้นของพารามิเตอร์ของ RV แต่ละตัว ดังนั้นฉันจึงสรุปได้ว่าปัวซองนั้น "เสถียร" ฉันกำลังคิดถึงอะไร

ประการที่สองมีสูตรผกผันสำหรับ MGF เช่นเดียวกับฟังก์ชั่นลักษณะหรือไม่?

distributions poisson-distribution mgf

— ตรงไปตรงมา
แหล่งที่มา

มันถูกปิดภายใต้ผลรวม (อิสระ) แต่ไม่รวมกันแบบเส้นตรงโดยพลการ หากคุณรวมงานของคุณฉันสงสัยว่าคุณจะเห็นว่าทำไมในกระบวนการ และถ้าไม่มีใครบางคนจะสามารถชี้ให้เห็น ใช่มีอินเวอร์สอะนาล็อกผกผันกับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ คุณรู้อะไรเกี่ยวกับการแปลง Laplace และ Bromwich contour?

— พระคาร์ดินัล

ตกลงฉันจะกลับไปที่กระดานวาดรูป ฉันมี MGF ของ i-th Poisson เป็น: exp (lambda_i (exp (t) - 1)) ดังนั้นผลิตภัณฑ์ของ n Poisson MGF ให้ฉัน: exp (ผลรวม (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)) และฉันใช้ lambda ใหม่ = ผลรวม (i, 0, n) alpha_i * lambda_i ตอนนี้ฉันเกรงว่าฉันจะดูโง่ที่ทำผิดอย่างชัดเจน - ฉันรู้เกี่ยวกับการแปลง Laplace และการรวมรูปร่างโดยทั่วไป แต่ไม่ใช่การรวมรูปร่างของ Bromwish - คุณจะแนะนำให้ทำงานกับ CFs มากกว่า MGF โดยทั่วไปหรือไม่? ดูเหมือนว่ามีประสิทธิภาพมากขึ้น

— แฟรงค์

อะไรคือสิ่งที่ในความคิดเห็นของคุณหรือไม่ นอกจากนี้ให้ล้อมรอบคณิตศาสตร์ LaTeX ของคุณด้วยเครื่องหมายดอลลาร์เพื่อให้มันทำงาน (ใช้ \ exp เพื่อทำให้ "exp" ออกมาอย่างถูกต้องและ \ lambda เพื่อสร้าง , \ sum for , ฯลฯ )

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— jbowman

ใช่ฉันไม่เก่งมากที่ LaTex แต่นี่ไป ดังนั้นการรวมกันเชิงเส้นของ RVs ของฉันคือ:และผลิตภัณฑ์ของ MGFs คือ:ถ้าฉันถูกต้องหาก RVs ที่มีการกระจายเป็น{i}) ผมใช้เสื้อเหมือนกันสำหรับ RVs ทั้งหมด แต่ฉันต้องใช้{i}

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$

t_{i}

$t_{i}$

— แฟรงค์

ความผิดพลาดคือการที่ MGF ของเป็นและไม่ได้

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

คำตอบ:

การผสมเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มของปัวซอง

ในขณะที่คุณคำนวณฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์ของการแจกแจงปัวซงด้วยอัตราคือ $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

ตอนนี้ขอโฟกัสในการรวมกันเป็นอิสระเชิงเส้นของ Poisson ตัวแปรสุ่มและYให้Y จากนั้น $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

ดังนั้นถ้ามีอัตราและมีอัตราเราจะได้รับ และสิ่งนี้ไม่สามารถเขียนโดยทั่วไปในรูปแบบสำหรับบางเว้นแต่1 $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

การผกผันของฟังก์ชันสร้างโมเมนต์

หากฟังก์ชันการสร้างโมเมนต์มีอยู่ในย่านใกล้เคียงศูนย์มันก็จะมีฟังก์ชันที่มีค่าซับซ้อนในแถบไม่มีที่สิ้นสุดรอบศูนย์ สิ่งนี้ทำให้เกิดการผกผันโดยการผสมผสานรูปร่างเข้ามามีบทบาทในหลาย ๆ กรณี แท้จริงแล้วLaplace transform ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ลบเป็นเครื่องมือทั่วไปในทฤษฎี Stochastic-Process โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์เวลาหยุด โปรดทราบว่าสำหรับมูลค่าที่แท้จริงของคุณควรพิสูจน์ว่าเป็นการออกกำลังกายที่ Laplace transform มีอยู่เสมอสำหรับสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ใช่ค่าลบ $\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

ผกผันจากนั้นสามารถทำได้ทั้งผ่านทางหนึ่งบรอมวิชหรือสูตรผกผันโพสต์ การตีความความน่าจะเป็นของคนหลังสามารถพบได้ในแบบฝึกหัดในตำราความน่าจะเป็นแบบดั้งเดิมหลายฉบับ

แม้ว่าจะไม่เกี่ยวข้องโดยตรงคุณอาจสนใจบันทึกย่อต่อไปนี้เช่นกัน

JH Curtiss (1942), บันทึกเกี่ยวกับทฤษฎีการสร้างโมเมนต์ฟังก์ชัน , แอน คณิตศาสตร์. สถิติ ฉบับ หมายเลข 13 4, pp. 430–433

ทฤษฎีที่เกี่ยวข้องนั้นได้รับการพัฒนาขึ้นโดยทั่วไปสำหรับฟังก์ชั่นที่มีลักษณะเฉพาะเนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นเรื่องทั่วไปโดยสมบูรณ์: พวกมันมีอยู่สำหรับการแจกแจงทั้งหมดโดยไม่มีการสนับสนุนหรือการ จำกัด ช่วงเวลา

— พระราชาคณะ
แหล่งที่มา

(+1) สูตรผกผันเป็นทฤษฎีล้วนๆหรือบางครั้งใช้จริงหรือ?

— gui11aume

@ gui11aume: มันถูกใช้ในสถานที่ต่างๆ แต่ตัวอย่างที่คุณมักจะพบในข้อความมักเป็นตัวอย่างที่คุณไม่ต้องการ :)

— พระคาร์ดินัล

ดังนั้นสมมุติว่าการทำงานกับ CF ง่ายกว่า MGFs หรือไม่ MGF ไม่เคยมีอยู่ใช่ไหม รบกวนพวกเขาทำไม

— Frank

@ Frank: Pedagogically พวกเขาง่ายต่อการแนะนำให้รู้จักกับนักเรียนที่รู้แคลคูลัส แต่มีพื้นหลังเล็กน้อยหรือไม่มีเลยในตัวแปรที่ซับซ้อน เมื่อพวกเขามีอยู่พวกเขามีคุณสมบัติคล้ายคลึงกับ CFs ทั้งหมด พวกเขามีบทบาทสำคัญในบางส่วนของทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติเชิงทฤษฎีเช่นการเบี่ยงเบนขนาดใหญ่และการเอียงแบบเอกซ์โปเนนเชียล

— พระคาร์ดินัล

@ Frank: นี่คือการกระจายLevyเสถียรและมีเพียงหนึ่งเดียวที่มี MGF คือการกระจายปกติ แท้จริงกระแสเงินสดเป็นเครื่องมือสำหรับปัญหานี้ รูปแบบที่เป็นไปได้ของ CF นั้นเป็นที่รู้จักสำหรับการแจกแจงดังกล่าวทั้งหมด แต่ PDF ที่สอดคล้องกันแบบปิดจะรู้ได้เฉพาะในกรณีที่เลือกไม่กี่

α

$\alpha$

— พระคาร์ดินัล

การแจกแจงปัวซองนั้นคงที่ด้วยผลรวม ค่าเหล่านี้มีความเสถียรน้อยมากเมื่อใช้ชุดค่าผสมเชิงเส้นเนื่องจากคุณสามารถใช้ค่าที่ไม่ใช่ส่วนประกอบได้ ตัวอย่างเช่นถ้าคือ Poisson,นั้นไม่ใช่ Poisson $X$ $X/2$

ฉันไม่ทราบถึงสูตรผกผันสำหรับ MGF (แต่ดูเหมือนว่าจะเป็น @ cardinal)

— gui11aume
แหล่งที่มา

(+1) เพราะฉันชอบตัวอย่างหลักฐานที่เรียบง่ายและตัวอย่างตอบโต้ที่นำมาสู่หัวใจของเรื่องทันที

— พระคาร์ดินัล

ฉันมีคำถามเกี่ยวกับคำศัพท์ ในสถิติที่ฉันศึกษา dsitribution ที่มีเสถียรภาพเป็นคนที่มีข้อ จำกัด ของการกระจายที่พอใจเงื่อนไขการบรรจบที่เรียกว่ากฎหมายที่มั่นคง นี่คือการแจกแจงแบบไม่ปกติอย่างต่อเนื่อง มีการแจกแจงสำหรับขอบเขตของค่าเฉลี่ย Z ธรรมดา แต่ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางไม่ได้ใช้กับ Z เนื่องจากพฤติกรรมหางของการกระจายประชากร อันที่จริงทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางสามารถเป็นของกฎหมายที่มีเสถียรภาพหากพารามิเตอร์บางตัวอัลฟา = 2

— Michael R. Chernick

สิ่งที่คุณกำลังเรียกความมั่นคงอยู่ที่นี่อยู่ภายใต้ผลรวมที่ใกล้ฉันซึ่งดูเหมือนว่าฉันจะหารด้วยคำที่ไม่สิ้นสุด คำที่ใช้ในการนี้มีเสถียรภาพในด้านใด มันถูกใช้ในความน่าจะเป็นและสถิติหรือไม่?

— Michael R. Chernick

(+1) ตามการแจกแจงแบบ "เสถียร" ของวิกิพีเดียนั้นเป็นสิ่งที่มีการแจกแจงแบบเดียวกับซึ่งไม่ใช่กรณีของปัวซอง ฉันเดาคำเดียวที่เหมาะสม (แก้ไขฉันถ้าฉันผิด) จะเป็น "ครอบครัวปัวซองมีเสถียรภาพโดยรวม" โดยทั่วไปสิ่งนี้ไม่ได้หมายความว่าการแจกแจงนั้นสามารถหารได้อย่างไร้ขอบเขต (คิดเป็นทวินาม) แต่ปัวซองเกิดขึ้นเพื่อมีคุณสมบัตินี้

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$

— gui11aume