คำอธิบายที่ใช้งานง่ายของหน่วยรูท

คุณจะอธิบายได้อย่างไรว่ารูทยูนิทรูทในบริบทของการทดสอบรูทยูนิตเป็นอย่างไร

ฉันกำลังคิดถึงวิธีอธิบายอย่างที่ฉันได้ก่อตั้งขึ้นในคำถามนี้

กรณีที่มีหน่วยรูทคือฉันรู้ (เล็กน้อยโดยวิธี) ที่ใช้ทดสอบรูทยูนิตเพื่อทดสอบความคงที่ในอนุกรมเวลา แต่มันก็แค่นั้น

คุณจะอธิบายเรื่องนี้กับคนทั่วไปหรือคนที่ศึกษาความน่าจะเป็นพื้นฐานและสถิติได้อย่างไร

UPDATE

ฉันยอมรับคำตอบของ whuber เพราะมันเป็นสิ่งที่สะท้อนถึงสิ่งที่ฉันถามมากที่สุดที่นี่ แต่ฉันขอให้ทุกคนที่มาที่นี่เพื่ออ่านคำตอบของ Patrick และ Michael เช่นกันเนื่องจากเป็น "ขั้นตอนต่อไป" โดยธรรมชาติในการทำความเข้าใจรูทยูนิต พวกเขาใช้คณิตศาสตร์ แต่ในวิธีที่ง่ายมาก

เขาเพิ่งมาถึงสะพาน และไม่ได้ดูว่าเขากำลังจะไปที่ไหนเขาสะดุดบางสิ่งบางอย่างและกรวยเฟอร์กระตุกออกจากอุ้งมือของเขาลงไปในแม่น้ำ

“ ตื๊อ” พูห์พูดขณะที่มันลอยอยู่ใต้สะพานอย่างช้าๆและเขาก็กลับไปรับกรวยเฟอร์อีกอันซึ่งสัมผัสกับมัน แต่แล้วเขาก็คิดว่าเขาจะมองแม่น้ำแทนเพราะมันเป็นวันที่สงบสุขดังนั้นเขาจึงนอนลงและมองมันแล้วมันก็หลุดออกไปข้างล่างอย่างช้าๆ . . และทันใดนั้นก็มีกรวยเฟอร์ของเขาลื่นไถลไปด้วย

“ มันตลกดี” พูห์พูด "ฉันวางมันลงที่อีกด้านหนึ่ง" พูห์พูด "และมันก็ออกมาทางด้านนี้! ฉันสงสัยว่ามันจะทำอีกไหม?"

AA Milne, The House ที่ Pooh Corner (บทที่ VI. ที่ Pooh คิดค้นเกมใหม่และ eeyore เข้าร่วม)

นี่คือภาพของการไหลไปตามผิวน้ำ:

ลูกศรแสดงทิศทางการไหลและเชื่อมต่อกันด้วยความคล่องตัว กรวยเฟอร์จะมีแนวโน้มที่จะตามความคล่องตัวที่ตกลงมา แต่มันก็ไม่ได้ทำแบบเดียวกันทุกครั้งแม้ว่าจะตกอยู่ในที่เดียวกันในลำธาร: การเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มไปตามทางของมันเกิดจากความปั่นป่วนในน้ำลมและธรรมชาติอื่น ๆ สายธาร

ที่นี่โคนเฟอร์ถูกทิ้งไว้ใกล้มุมบนขวา มันมากไปหรือน้อยไปตามแนวลำธารซึ่งไหลมาบรรจบกันและไหลลงไปทางซ้าย แต่มันก็มีการออกนอกเส้นทางเล็กน้อยตามทาง

"กระบวนการอัตโนมัติ" (กระบวนการ AR) เป็นลำดับของตัวเลขที่คิดว่าทำตัวเหมือนกระแสบางอย่าง ภาพประกอบสองมิติสอดคล้องกับกระบวนการที่แต่ละหมายเลขถูกกำหนดโดยค่าก่อนหน้าสองค่า - บวกด้วย "อ้อม" แบบสุ่ม การเปรียบเทียบทำโดยการตีความแต่ละคู่ต่อเนื่องตามลำดับเป็นพิกัดของจุดในสตรีม โดยทันทีทันใดกระแสของการไหลจะเปลี่ยนพิกัดของกรวยเฟอร์ในวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยกระบวนการ AR

เราสามารถกู้คืนกระบวนการดั้งเดิมจากรูปภาพที่ใช้โฟลว์โดยการเขียนพิกัดของแต่ละจุดที่อยู่ในกรวยเฟอร์แล้วลบทั้งหมดยกเว้นจำนวนสุดท้ายในแต่ละชุดของพิกัด

ธรรมชาติ - และลำธารโดยเฉพาะ - มีความสมบูรณ์และหลากหลายมากกว่ากระแสที่สอดคล้องกับกระบวนการ AR เนื่องจากแต่ละหมายเลขในลำดับจะถือว่าขึ้นอยู่กับวิธีการแก้ไขแบบเดียวกันกับรุ่นก่อน - นอกเหนือจากส่วนทางอ้อมแบบสุ่ม - การไหลที่แสดงกระบวนการ AR แสดงรูปแบบที่ จำกัด แน่นอนพวกเขาสามารถไหลเหมือนสายน้ำอย่างที่เห็นที่นี่ พวกเขายังสามารถดูเหมือนหมุนวนรอบท่อระบายน้ำ กระแสสามารถเกิดขึ้นในสิ่งที่ตรงกันข้ามดูเหมือนจะพุ่งออกมาจากท่อระบายน้ำ และพวกเขาสามารถดูเหมือนปากสองลำธารกระแทกเข้าด้วยกัน: แหล่งน้ำสองแห่งไหลเข้าหากันโดยตรงแล้วแยกออกไปด้านข้าง แต่นั่นเป็นเรื่องของมัน คุณไม่สามารถพูดได้กระแสที่ไหลวนออกไปทางด้านข้าง กระบวนการ AR นั้นง่ายเกินไปสำหรับสิ่งนั้น

ในการไหลนี้กรวยเฟอร์ถูกทิ้งไว้ที่มุมขวาล่างและอุ้มเข้าสู่วนที่มุมบนขวาอย่างรวดเร็วแม้จะมีการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งแบบสุ่มเล็กน้อยก็ตาม แต่มันจะไม่หยุดนิ่งเลยทีเดียวเนื่องจากการเคลื่อนไหวแบบสุ่มที่เหมือนกันซึ่งช่วยชีวิตมันจากการให้อภัย พิกัดของกรวยเฟอร์นั้นเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ - แน่นอนว่าพวกมันจะสั่นคลอนโดยรวมแล้วรอบพิกัดของศูนย์กลางของน้ำวนนั้น ในการไหลของกระแสแรกพิกัดจะเลื่อนไปตามกึ่งกลางของลำธารอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ซึ่งจับกรวยอย่างรวดเร็วและนำมันออกไปเร็วกว่าการออกนอกเส้นทางสุ่มอาจทำให้ช้าลง: แนวโน้มในเวลา ในทางกลับกันการวนรอบวงวนนั้นเป็นตัวอย่างของเครื่องเขียนกระบวนการที่กรวยเฟอร์ถูกจับ; ไหลลงไปตามลำธารซึ่งกรวยไหลออกมาจากสายตา - แนวโน้ม - ไม่หยุดนิ่ง

อนึ่งเมื่อการไหลสำหรับกระบวนการ AR เคลื่อนตัวไปตามกระแสน้ำมันก็เร่งความเร็วเช่นกัน มันจะเร็วขึ้นและเร็วขึ้นเมื่อกรวยเคลื่อนที่ไปตามนั้น

ธรรมชาติของการไหลของ AR ถูกกำหนดโดยทิศทาง "คุณสมบัติ" ซึ่งมีลักษณะพิเศษบางอย่างซึ่งมักจะเห็นได้ชัดเจนในแผนภาพกระแส: ดูเหมือนว่าสายน้ำที่ไหลมาบรรจบกันหรือมาจากทิศทางเหล่านี้ เราสามารถค้นหาทิศทางของลักษณะได้มากเท่าที่มีค่าสัมประสิทธิ์ในกระบวนการ AR: สองในภาพประกอบเหล่านี้ เชื่อมโยงกับทิศทางคุณลักษณะแต่ละอย่างคือตัวเลข "root" หรือ "eigenvalue" เมื่อขนาดของตัวเลขน้อยกว่าความสามัคคีการไหลในทิศทางของลักษณะนั้นจะไปยังตำแหน่งกลาง เมื่อขนาดของรากที่มีค่ามากกว่าความสามัคคีไหลเร่งออกไปจากตำแหน่งกลาง$1$- ถูกครอบงำโดยกองกำลังสุ่มที่มีผลต่อกรวย มันเป็น "การเดินสุ่ม" กรวยสามารถเดินอย่างช้าๆ แต่ไม่เร่งความเร็ว

(ตัวเลขบางตัวแสดงค่าของรากทั้งสองในหัวเรื่อง)

แม้แต่หมีพู - เป็นหมีที่มีสมองน้อย - ก็จำได้ว่ากระแสน้ำจะจับโคนต้นสนของเขาเฉพาะเมื่อกระแสทั้งหมดไหลไปทางหนึ่งวนหรือวน มิฉะนั้นหนึ่งในการแวะเวียนแบบสุ่มเหล่านี้ในที่สุดกรวยจะพบว่าตัวเองอยู่ภายใต้อิทธิพลของส่วนหนึ่งของการไหลที่มีรากมากกว่าในขนาดที่มาซึ่งมันจะเดินออกจากกระแสน้ำและหายไปตลอดกาล ดังนั้นกระบวนการ AR สามารถนิ่งและถ้าหากค่าคุณลักษณะทั้งหมดที่มีน้อยกว่าความเป็นเอกภาพในขนาด$1$

นักเศรษฐศาสตร์อาจเป็นนักวิเคราะห์ที่ยอดเยี่ยมที่สุดของอนุกรมเวลาและผู้ว่าจ้างเทคโนโลยีกระบวนการผลิต AR ชุดข้อมูลของพวกเขามักจะไม่เร่งออกจากสายตา ดังนั้นพวกเขาจึงมีความกังวลเฉพาะว่ามีทิศทางที่เป็นลักษณะเฉพาะซึ่งค่าอาจมีขนาดใหญ่เท่ากับในขนาด: "รูทหน่วย" การรู้ว่าข้อมูลสอดคล้องกับกระแสดังกล่าวสามารถบอกนักเศรษฐศาสตร์ได้มากเกี่ยวกับชะตากรรมที่อาจเกิดขึ้นของ pooh stick ของเขาหรือไม่นั่นคือเกี่ยวกับสิ่งที่จะเกิดขึ้นในอนาคต นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเป็นสิ่งสำคัญในการทดสอบรูทยูนิต บทความวิกิพีเดียที่ดีจะอธิบายความหมายบางอย่าง$1$

Pooh และเพื่อนของเขาพบการทดสอบเชิงประจักษ์ของเครื่องเขียน:

วันหนึ่ง Pooh และ Piglet และ Rabbit และ Roo ต่างก็เล่น Poohsticks ด้วยกัน เมื่อกระต่ายพูดว่า "ไปกันเลย" จากนั้นพวกเขาก็รีบข้ามไปที่อีกฟากหนึ่งของสะพานและตอนนี้พวกเขาทุกคนก็เอนตัวไปที่ขอบเพื่อรอดูว่าใครจะยื่นไม้ออกมาก่อน แต่มันเป็นเวลานานมาแล้วเพราะวันนั้นแม่น้ำก็ขี้เกียจมากและดูเหมือนจะไม่สนใจถ้าไม่เคยไปที่นั่นเลย

"ฉันเห็นของฉัน!" ร้องไห้ร้อย. “ ไม่ฉันไม่สามารถเป็นอย่างอื่นได้คุณเห็นคุณหมูหรือไม่ฉันคิดว่าฉันจะได้เห็นของฉัน แต่ฉันทำไม่ได้นั่นคือ! ไม่ไม่คุณเห็นคุณได้ไหม "

"ไม่" พูห์พูด

“ ฉันคาดหวังว่าไม้เท้าของฉันจะติด” Roo กล่าว "กระต่ายกิ่งไม้ของฉันติดอยู่คุณติดไม้หมูหรือไม่?"

“ พวกมันใช้เวลานานกว่าที่คุณคิดเสมอ” แรบบิทกล่าว

ตอนนี้จากปี 1928 อาจตีความได้ว่าเป็น "การทดสอบ Unit Roo" เป็นครั้งแรก

ลองนึกภาพกระบวนการกระบวนการ:$AR(1)$

• กระบวนการ 1:$v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• กระบวนการที่ 2:$v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $\epsilon_i$มาจาก$N(0,1)$

กระบวนการ 1 ไม่มีรูทยูนิต กระบวนการ 2 มีรูทยูนิต คุณสามารถยืนยันสิ่งนี้ได้โดยการคำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะต่อคำตอบของ Michael

ลองนึกภาพเราจะเริ่มต้นกระบวนการทั้งสองออกที่ศูนย์เช่น0 ตอนนี้คิดว่าสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเรามี "ทำงานที่ดี" ของ Epsilons บวกและคิดว่ากระบวนการทั้งสองจะได้รับการ5$v_1 = 0$$v_{10} = 5$

จะเกิดอะไรขึ้นต่อไป เราคาดหวังว่าลำดับจะไปที่ไหน

เราคาดหวังว่า0 ดังนั้นเราคาดว่ากรณีที่ 1 ของกระบวนการจะมี , ,เป็นต้น$\epsilon_{i} = 0$$v_{11} = 2.5$$v_{12} = 1.25$$v_{13} = 0.625$

แต่เราคาดหวังสำหรับกระบวนการ 2 ที่ , ,เป็นต้น$v_{11} = 5$$v_{12} = 5$$v_{13} = 5$

ดังนั้นสัญชาตญาณหนึ่งก็คือเมื่อ "การทำงานของโชคดี / ไม่ดี" ผลักดันกระบวนการที่มีหน่วยรากรอบลำดับ "ติดอยู่ในตำแหน่ง" โดยโชคดีในอดีตหรือไม่ดี มันจะยังคงเลื่อนไปมาแบบสุ่ม แต่ไม่มีอะไร "บังคับให้มันกลับมา" ในทางตรงกันข้ามเมื่อไม่มีหน่วยรากและกระบวนการไม่ระเบิดมี "แรง" ในกระบวนการซึ่งจะทำให้กระบวนการลอยกลับไปที่ตำแหน่งเดิมแม้ว่าเสียงแบบสุ่มจะยังคงเคาะรอบเล็กน้อย .

"การได้รับการติด" สามารถรวมแนบแน่น undamped เป็นตัวอย่างง่ายๆคือ:{k-1} สิ่งนี้จะกระเด้งกลับไปกลับมาเป็นลบ แต่การแกว่งนั้นไม่ได้กำหนดไว้ล่วงหน้าว่าจะระเบิดออกเป็นอินฟินิตี้หรือชื้นลงไปที่ศูนย์ คุณสามารถรับรูปแบบ "ติดขัด" ได้มากขึ้นซึ่งรวมถึงความผันผวนที่ซับซ้อนมากขึ้น$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

พิจารณากระบวนการอัตโนมัติลำดับที่หนึ่งลำดับที่ โดยที่เป็นเสียงสีขาว โมเดลสามารถแสดงด้วยทั้งหมดในด้านหนึ่งเป็น

การใช้ตัวดำเนินการเราสามารถแสดงโมเดลได้อย่างกะทัดรัดเป็นหรือเทียบเท่า พหุนามลักษณะคือ1นี้มี (ไม่ซ้ำกัน) รากที่ a แล้วเรามีความนิ่งกระบวนการและเรามีไม่คงระเบิดกระบวนการ สำหรับเรามีการสุ่มเดินซึ่งเป็นไม่คงที่และหน่วยราก 1 ดังนั้นหน่วยรากจะก่อตัวเป็นเส้นแบ่งระหว่างความคงตัวและความไม่มั่นคง The$BX_t = X_{t-1}$$X_t-aBX_t =e_t$