ความสัมพันธ์ระหว่าง X และ XY

11

หากฉันมีตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว X และ Y ความสัมพันธ์ระหว่าง X และ XY ของผลิตภัณฑ์คืออะไร ถ้าสิ่งนี้ไม่เป็นที่รู้จักฉันจะสนใจอย่างน้อยก็รู้ว่าเกิดอะไรขึ้นในกรณีที่เฉพาะเจาะจงของ X และ Y ที่เป็นเรื่องปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ถ้าแก้ได้ง่ายกว่า

correlation

— โรแบร์โต
แหล่งที่มา

4

อะไรทำให้เกิดคำถามนี้ ฉันสงสัยว่ามันจะดีที่สุดถ้าเราพูดเรื่องอื่นที่นี่ คุณกำลังทำการศึกษาที่คุณได้สร้างตัวแปร XY ด้วยเหตุผลบางอย่าง?

— gung - Reinstate Monica

13

วิธีการแก้

ฉันจะเอามันว่าเป็นทางออกที่ถูกต้องจะเป็นหนึ่งที่แสดงออกถึง - ถ้าเป็นไปได้ - ความสัมพันธ์ในแง่ของคุณสมบัติที่แยกต่างหากจากตัวแปรและYการคำนวณความสัมพันธ์จะเกี่ยวข้องกับการคำนวณ covariances ของ monomials ในและYมันเป็นเรื่องประหยัดที่จะทำสิ่งนี้ให้สำเร็จในคราวเดียว เพียงสังเกตว่า $X$ $Y$ $X$ $Y$

เมื่อและเป็นอิสระและและเป็นพลังแล้วและเป็นอิสระ $X$ $Y$ $i$ $j$ $X^i$ $Y^j$
ความคาดหวังของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรอิสระคือผลผลิตของความคาดหวังของพวกเขา

นี้จะให้สูตรในแง่ของช่วงเวลาของและY $X$ $Y$

นั่นคือทั้งหมดที่มีให้มัน

รายละเอียด

เขียนเป็นต้นในขณะนั้น ดังนั้นสำหรับตัวเลขใด ๆ ที่ซึ่งการคำนวณนั้นสมเหตุสมผลและสร้างตัวเลขที่แน่นอน $\mu_i(X) = E(X^i)$ $i,j,k,l$

\begin{aligned} Cov (X^{i} Y^{j}, X^{k} Y^{l}) & = E (X^{i} Y^{j} X^{k} Y^{l}) - E (X^{i} Y^{j}) E (X^{k} Y^{l}) \\ = μ_{i + k} (X) μ_{j + l} (Y) - μ_{i} (X) μ_{k} (X) μ_{j} (Y) μ_{l} (Y) . \end{aligned}

$\eqalign{ \operatorname{Cov}\left(X^iY^j, X^kY^l\right) &= E\left(X^iY^j X^kY^l\right) - E\left(X^iY^j\right) E\left(X^kY^l\right) \\&= \mu_{i+k}(X)\mu_{j+l}(Y) - \mu_i(X)\mu_k(X)\mu_j(Y)\mu_l(Y).}$

โปรดทราบว่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มใด ๆ คือความแปรปรวนร่วมของมันเองดังนั้นเราจึงไม่ต้องทำการคำนวณพิเศษสำหรับความแปรปรวน

ตอนนี้มันควรจะชัดเจนวิธีการคำนวณช่วงเวลาที่เกี่ยวข้องกับ monomials, พลังใด ๆ ของจำนวนสุ่มตัวแปรอิสระ จำกัด ในฐานะแอปพลิเคชันให้ใช้ผลลัพธ์นี้กับคำนิยามของสหสัมพันธ์ซึ่งก็คือความแปรปรวนร่วมหารด้วยรากที่สองของความแปรปรวน:

\begin{aligned} Cor (X, X Y) & = \frac{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{1})}{\sqrt{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{0}) Cov (X^{1} Y^{1}, X^{1} Y^{1})}} \\ = \frac{μ_{2} (X) μ_{1} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{1} (Y)}{\sqrt{(μ_{2} (X) - μ_{1} (X)^{2}) (μ_{2} (X) μ_{2} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{2} (Y)^{2})}} . \end{aligned}

$\eqalign{\operatorname{Cor}(X,XY) &= \frac{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^1)}{\sqrt{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^0)\ \operatorname{Cov}(X^1Y^1, X^1Y^1)}} \\ &=\frac{\mu_2(X)\mu_1(Y) - \mu_1(X)^2\mu_1(Y)}{\sqrt{\left(\mu_2(X)-\mu_1(X)^2\right)\left(\mu_2(X)\mu_2(Y)-\mu_1(X)^2\mu_2(Y)^2\right)}} . }$

มีการทำให้เข้าใจง่ายเกี่ยวกับพีชคณิตมากมายซึ่งคุณอาจเลือกหากคุณต้องการเชื่อมโยงสิ่งนี้กับความคาดหวังความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วมของตัวแปรดั้งเดิม

— whuber
แหล่งที่มา

14

$X$ $Y$

\begin{aligned} Cov (X, X Y) & = E Cov (X, X Y | Y) + Cov (E X | Y, E X Y | Y) \\ = E (Y Cov (X, X)) + Cov (E X, Y E X) \\ = E (Y Var X) + Cov (E X, Y E X) \\ = E Y Var X . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Cov}(X,XY) &=E\mbox{Cov}(X,XY|Y)+\mbox{Cov}(EX|Y,EXY|Y) \\&=E(Y\mbox{Cov}(X,X)) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=E(Y\mbox{Var}X) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=EY\mbox{Var}X. \end{align}$

\begin{aligned} Var (X Y) & = E Var (X Y | Y) + Var E (X Y | Y) \\ = E (Y^{2} (Var X | Y)) + Var (Y (E X | Y)) \\ = E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X) \\ = E (Y^{2}) Var X + (E X)^{2} Var Y \\ = Var X Var Y + (E Y)^{2} Var X + (E X)^{2} Var Y . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Var}(XY) &= E\mbox{Var}(XY|Y) + \mbox{Var} E(XY|Y) \\&= E(Y^2 (\mbox{Var}X|Y)) + \mbox{Var} (Y (EX|Y)) \\&= E(Y^2 \mbox{Var}X) + \mbox{Var} (Y EX) \\&= E(Y^2) \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y \\&= \mbox{Var}X\mbox{Var}Y+(EY)^2 \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y . \end{align}$

Y

$Y$

\begin{aligned} corr (X, X Y) & = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{Var Y}{(E Y)^{2}} (1 + \frac{(E X)^{2}}{Var X})}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{corr}(X,XY) &=\frac1{\sqrt{ 1 + \frac{\text{Var}Y}{(EY)^2}\left(1 + \frac{(EX)^2}{\text{Var}X}\right) }}. \end{align}$

ตรวจสอบผลลัพธ์นี้โดยการจำลอง:

> n <- 1e+6
> x <- rexp(n,2)-2
> y <- rnorm(n,mean=5)
> cv2 <- function(x) var(x)/mean(x)^2
> 1/sqrt(1+cv2(y)*(1+1/cv2(x)))
[1] 0.844882
> cor(x,x*y)
[1] 0.8445373

— Jarle Tufto
แหล่งที่มา

E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X)

$E(Y^2\text{Var}X)+\text{Var}(YEX)$

E Cov (X, X Y | Y) = E Y Cov (X, X)

$E\text{Cov}(X, XY|Y)=EY\text{Cov}(X,X)$

Y

$Y$ เป็นที่ได้รับ ฉันขอแนะนำคำอธิบายเล็กน้อยสำหรับบางขั้นตอน

— Antoni Parellada

1

ใช่ฉันเพิ่มวงเล็บที่ขาดหายไปและคำอธิบายบางอย่าง ฉันต้องยอมรับว่าฉันชอบคำตอบของ @whuber มากกว่า

— Jarle Tufto

5

$\rho(XY,X) = 0$ $\mathbb{E}(X^2Y) = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ X^2Y | X]] = \mathbb{E}[X^2\mathbb{E}[Y|X]] = 0$ $cov(XY,X) = \mathbb{E}(X^2Y) - \mathbb{E}(XY).\mathbb{E}(X) = 0$

— Kledou
แหล่งที่มา

-2

Linear Correlation ระหว่าง X และ XY จะเป็นเช่นนั้น

Corr (X, XY) = Cov (X, XY) / sqrt (var (X) * var (XY))

Cov (X, XY) = การรวม ((X-Mean (X)) (XY-Mean (XY)) / n

n - ขนาดตัวอย่าง var (X) = ความแปรปรวนของ X; var (XY) = ความแปรปรวนของ XY

— Sam Gladio
แหล่งที่มา

1

คำถามเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มไม่ใช่เกี่ยวกับข้อมูล

— whuber

เราจะรู้ได้อย่างไรว่าตัวแปรสุ่ม 2 ตัวมีความสัมพันธ์กันหรือไม่ ผ่านข้อมูลที่ถูกต้องเท่านั้น ช่วยแก้ให้ด้วยนะถ้าฉันผิด. ขอโทษ.

— Sam Gladio

หนึ่งคำนวณความสัมพันธ์ตามหลักวิชาโดยใช้คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม มันเหมือนกับการคำนวณความแข็งแกร่งของการออกแบบสะพานโดยใช้หลักการของกลศาสตร์ของนิวตันเปรียบเทียบกับการสร้างสะพานและทดสอบพวกมัน: มีบทบาทที่แตกต่างกันสำหรับทฤษฎีและข้อมูลและพวกเขาไม่ควรสับสนกับอีกคนหนึ่ง .

— whuber