ระยะทางแบบยุคลิดมักจะไม่ดีสำหรับข้อมูลที่กระจัดกระจาย?

72

ฉันเคยเห็นที่ไหนสักแห่งที่ระยะทางแบบคลาสสิก (เช่นระยะทางแบบยุคลิดแบบยูเอส) กลายเป็นแยกแยะอย่างอ่อนเมื่อเรามีข้อมูลหลายมิติและห่าง ๆ ทำไม? คุณมีตัวอย่างของเวกเตอร์ข้อมูลเบาบางสองตัวที่ระยะ Euclidean ทำงานได้ไม่ดีหรือไม่? ในกรณีนี้เราควรใช้ความคล้ายคลึงกันแบบใด?

— shn
แหล่งที่มา

1

บทความนี้มีประโยชน์เช่นกัน ในบทความนี้ผู้เขียนอธิบายถึงปัญหาของความเหมือนโคไซน์ในข้อมูลมิติสูงและเสนอการวัดความเหมือนใหม่เพื่อบรรเทาปัญหานี้ journalofbigdata.springeropen.com/articles/10.1186/…

— Sahar

33

นี่คือตัวอย่างของเล่นง่ายๆที่แสดงให้เห็นถึงผลกระทบของมิติในปัญหาการเลือกปฏิบัติเช่นปัญหาที่คุณเผชิญเมื่อคุณต้องการพูดว่ามีบางสิ่งที่สังเกตเห็นหรือหากมีการสังเกตผลแบบสุ่มเท่านั้น (ปัญหานี้เป็นคลาสสิกทางวิทยาศาสตร์)

Heuristic ประเด็นสำคัญที่นี่คือบรรทัดฐาน Euclidian ให้ความสำคัญกับทิศทางเดียวกัน สิ่งนี้ถือว่าขาดไปก่อนหน้านี้และอย่างที่คุณรู้ในมิติสูงไม่มีอาหารกลางวันฟรี (เช่นถ้าคุณไม่มีความคิดล่วงหน้าเกี่ยวกับสิ่งที่คุณกำลังค้นหาอยู่แล้วไม่มีเหตุผลว่าทำไมเสียงรบกวนบางอย่างจะไม่ดูเหมือนสิ่งที่คุณเป็น กำลังค้นหานี่คือการพูดซ้ำซาก ... )

ฉันจะบอกว่าสำหรับปัญหาใด ๆ มีข้อ จำกัด ของข้อมูลที่จำเป็นในการค้นหาอย่างอื่นมากกว่าเสียง ข้อ จำกัด นี้เกี่ยวข้องกับ "ขนาด" ของพื้นที่ที่คุณพยายามสำรวจโดยคำนึงถึงระดับ "เสียงรบกวน" (เช่นระดับของเนื้อหาที่ไม่เป็นทางการ)

ในมิติที่สูงหากคุณมีสัญญาณว่ากระจัดกระจายก่อนหน้านี้คุณสามารถลบ (เช่นลงโทษ) เวกเตอร์ที่ไม่กระจายด้วยตัวชี้วัดที่เติมช่องว่างด้วยเวกเตอร์หร็อมแหร็มหรือโดยใช้เทคนิคการนวดข้าว

Frameworkสมมติว่าเป็นเวกเตอร์เกาส์ที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนในแนวทแยง (เป็นที่รู้จัก) และคุณต้องการทดสอบสมมติฐานง่ายๆ $\xi$ $\nu$ $\sigma Id$ $\sigma$

H_{0} : ν = 0, V s H_{θ} : ν = θ

$H_0: \;\nu=0,\; Vs \; H_{\theta}: \; \nu=\theta$ (สำหรับรับ )ไม่เป็นที่รู้จักจำเป็นล่วงหน้า

θ \in R^{n}

$\theta\in \mathbb{R}^n$

θ

$\theta$

สถิติทดสอบด้วยพลังงาน สัญชาตญาณที่คุณมีอย่างแน่นอนคือมันเป็นความคิดที่ดีที่จะประเมินบรรทัดฐาน / พลังงานจากการสังเกตของคุณเพื่อสร้างสถิติทดสอบ จริงๆคุณสามารถสร้างมาตรฐานศูนย์กลาง (ภายใต้ ) เวอร์ชั่นของพลังงาน4}} นั่นทำให้ภูมิภาคสำคัญที่ระดับของฟอร์มสำหรับ $\mathcal{E}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\xi_i^2$ $\xi$ $H_0$ $T_n$ $T_n=\frac{\sum_i\xi_i^2-\sigma^2}{\sqrt{2n\sigma^4}}$ $\alpha$ $\{T_n\geq v_{1-\alpha}\}$ $v_{1-\alpha}$

พลังของการทดสอบและมิติ ในกรณีนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะออกกำลังกายเพื่อแสดงสูตรต่อไปนี้สำหรับพลังของการทดสอบของคุณ:

$P_{θ} (T \leq v_{1 - α}) = P (Z \leq \frac{v_{1 - α}}{\sqrt{1 + 2 ‖ θ ‖_{2}^{2} / (n σ^{2})}} - \frac{‖ θ ‖_{2}^{2}}{\sqrt{2 n σ^{4} + 2 σ^{2} ‖ θ ‖_{2}^{2} / (n σ^{2})}})$ $P_{\theta}(T\leq v_{1-\alpha})=P\left (Z\leq \frac{v_{1-\alpha}}{\sqrt{1+2\|\theta\|_2^2/(n\sigma^2)}}-\frac{\|\theta\|^2_2}{\sqrt{2n\sigma^4+2\sigma^2\|\theta\|_2^2/(n\sigma^2)}}\right )$ กับเป็นผลรวมของตัวแปรสุ่ม IID กับและ 1 $Z$ $n$ $\mathbb{E}[Z]=0$ $Var(Z)=1$

ซึ่งหมายความว่าอำนาจการทดสอบของคุณจะเพิ่มขึ้นตามการใช้พลังงานของสัญญาณของคุณและลดลงโดยnจวนพูดนี้หมายความว่าเมื่อคุณเพิ่มขนาดของปัญหาของคุณถ้ามันไม่ได้เพิ่มความแรงของสัญญาณในเวลาเดียวกันแล้วคุณจะเพิ่มข้อมูล uninformative การสังเกตของคุณ (หรือคุณมีการลดสัดส่วนของข้อมูลที่เป็นประโยชน์ในข้อมูล คุณมี): นี่เป็นการเพิ่มเสียงรบกวนและลดพลังของการทดสอบ (เช่นมีแนวโน้มว่าคุณจะไม่พูดอะไรเลยขณะที่มีบางสิ่ง) $\|\theta\|^2_2$ $n$ $n$

ไปยังการทดสอบด้วยสถิติจุดเปลี่ยน หากคุณมีพลังงานไม่มากในสัญญาณของคุณ แต่ถ้าคุณรู้ว่าการแปลงเชิงเส้นที่สามารถช่วยให้คุณมีพลังงานเข้มข้นในส่วนเล็ก ๆ ของสัญญาณของคุณคุณสามารถสร้างสถิติทดสอบที่จะประเมินพลังงานเพียงเล็กน้อย ส่วนหนึ่งของสัญญาณของคุณ หากคุณทราบล่วงหน้าว่ามีความเข้มข้นอยู่ที่ใด (ตัวอย่างเช่นคุณรู้ว่าไม่มีความถี่สูงในสัญญาณของคุณ) จากนั้นคุณสามารถรับพลังงานในการทดสอบก่อนหน้าด้วยแทนที่ด้วยจำนวนเล็กน้อยและเกือบ เหมือนกัน ... หากคุณไม่ทราบล่วงหน้าคุณจะต้องประเมินมันสิ่งนี้นำไปสู่การทดสอบ thresholding ที่รู้จักกันดี $n$ $\|\theta\|^2_2$

โปรดทราบว่าการโต้แย้งนี้อยู่ที่รากหลายเอกสารเช่น

Antoniadis, F Abramovich, T Sapatinas และ B Vidakovic วิธีเวฟเลตสำหรับการทดสอบในการวิเคราะห์การทำงานของตัวแบบความแปรปรวน วารสารระหว่างประเทศเกี่ยวกับเวฟเล็ตและแอปพลิเคชันของมัน, 93: 1007–1021, 2004
MV Burnashef และ Begmatov ในปัญหาการตรวจจับสัญญาณที่นำไปสู่การกระจายที่มั่นคง ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์, 35 (3): 556–560, 1990
Y. Baraud Non-asymptotic minimax rate ของการทดสอบในการตรวจจับสัญญาณ เบอร์นูลี, 8: 577–606, 2002
เจแฟน การทดสอบความสำคัญขึ้นอยู่กับการทำเวฟเล็ตและการตัดทอนของเนย์แมน JASA, 91: 674–688, 1996
J. Fan และ SK Lin ทดสอบความสำคัญเมื่อข้อมูลเป็นเส้นโค้ง JASA, 93: 1007–1021, 1998
V. Spokoiny การทดสอบสมมติฐานแบบปรับตัวโดยใช้เวฟเล็ต พงศาวดารของสถิติ, 24 (6): 2477–2498, ธันวาคม 1996

— โรบินกีร์ด
แหล่งที่มา

51

ฉันเชื่อว่ามันไม่ได้มีความเบาบางมากนัก แต่มิติที่สูงมักเกี่ยวข้องกับข้อมูลที่กระจัดกระจาย แต่บางทีมันก็ยิ่งแย่ลงเมื่อข้อมูลเบาบางมาก เพราะระยะห่างของวัตถุสองวัตถุใด ๆ น่าจะเป็นกำลังสองเฉลี่ยของความยาวของพวกเขาหรือ

lim_{d i m \to \infty} d (x, y) = | | x - y | | \to_{p} \sqrt{| | x | |^{2} + | | y | |^{2}}

$\lim_{dim\rightarrow\infty}d(x,y) = ||x-y|| \rightarrow_p \sqrt{||x||^2 + ||y||^2}$

สมการนี้ถือนิดถ้า 0 หากคุณเพิ่มมิติและความกระจัดกระจายให้เพียงพอเพื่อให้มีคุณสมบัติเกือบทั้งหมดความแตกต่างจะน้อยที่สุด $\forall_i x_i=0 \vee y_i=0$

ยิ่งแย่ไปกว่านั้น: หากคุณปรับเวกเตอร์ของคุณให้มีความยาวจากนั้นระยะทางแบบยุคลิดของวัตถุสองวัตถุใด ๆ จะเป็นมีความน่าจะเป็นสูง $||x||=1$ $\sqrt{2}$

ดังนั้นตามกฎของหัวแม่มือสำหรับระยะทางแบบยุคลิดที่จะใช้งานได้ (ฉันไม่ได้อ้างว่ามีประโยชน์หรือมีความหมาย) วัตถุควรจะไม่เป็นศูนย์ในของคุณลักษณะ จากนั้นควรมีจำนวนแอตทริบิวต์ที่เหมาะสมโดยที่ดังนั้นความแตกต่างของเวกเตอร์จึงมีประโยชน์ นอกจากนี้ยังนำไปใช้กับความแตกต่างที่เกิดจากบรรทัดฐานอื่น ๆ เพราะในสถานการณ์ดังกล่าวข้างต้น $3/4$ $|y_i| \neq |x_i-y_i| \neq |x_i|$ $|x-y| \rightarrow_p |x + y|$

ฉันไม่คิดว่านี่เป็นพฤติกรรมที่พึงประสงค์สำหรับฟังก์ชั่นระยะทางที่จะกลายเป็นอิสระจากความแตกต่างที่เกิดขึ้นจริงหรือความแตกต่างแน่นอนที่มาบรรจบกันกับผลรวมแน่นอน!

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือการใช้ระยะทางเช่นระยะทางโคไซน์ ข้อมูลบางอย่างทำงานได้ดีมาก พูดโดยประมาณพวกเขาดูเฉพาะคุณลักษณะที่ทั้งเวกเตอร์ไม่ใช่ศูนย์ วิธีการที่น่าสนใจมีการกล่าวถึงในการอ้างอิงด้านล่าง (พวกเขาไม่ได้ประดิษฐ์ แต่ฉันชอบการประเมินผลการทดลองของคุณสมบัติ) คือการใช้เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดที่ใช้ร่วมกัน ดังนั้นแม้ว่าเวกเตอร์ x และ y ไม่มีคุณลักษณะร่วมกันพวกเขาอาจมีเพื่อนบ้านทั่วไปบางอย่าง การนับจำนวนวัตถุที่เชื่อมต่อวัตถุสองวัตถุนั้นสัมพันธ์กับระยะทางกราฟอย่างใกล้ชิด

มีการสนทนามากมายเกี่ยวกับฟังก์ชั่นระยะทางใน:

ระยะทางที่ใช้ร่วมกันกับเพื่อนบ้านสามารถเอาชนะคำสาปของมิติได้หรือไม่?
ME Houle, H.-P. Kriegel, P. Kröger, E. Schubert และ A. Zimek
SSDBM 2010

และถ้าคุณไม่ชอบบทความทางวิทยาศาสตร์ก็มีอยู่ใน Wikipedia: Curse of Dimensionality

— anony-มูส
แหล่งที่มา

2

กระดาษที่น่าสนใจ นอกจากนี้ยังมีอัลกอริทึมการจัดกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับการวัดความคล้ายคลึงกันนี้ เพื่อนบ้านที่ใกล้เคียงที่สุดที่ใช้ร่วมกันสามารถแสดงในเคอร์เนล Mercer ที่ถูกต้องได้หรือไม่?

— Seeda

ถ้าผมจำไม่สอดคล้องกับยุคลิดในพื้นที่ ใช่แล้วพวกเขาให้ผลดีเคอร์เนล

R^{n}

$R^{n}$

— Anony-Mousse

44

ฉันขอแนะนำให้เริ่มต้นด้วย ระยะทางโคไซน์ไม่ใช่แบบยุคลิดสำหรับข้อมูลใด ๆ ที่มีเวกเตอร์ส่วนใหญ่เกือบจะเป็นมุมฉาก 0 หากต้องการดูว่าทำไมดูที่ Y ถ้า 0 นี่จะลดไป : การวัดระยะทาง crummy ตามที่ Anony-Mousse ชี้ $x \cdot y \approx$
$|x - y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2\ x \cdot y$
$x \cdot y \approx$ $|x|^2 + |y|^2$

ระยะทางโคไซน์มีค่าเป็นหรือฉายข้อมูลลงบนพื้นผิวของทรงกลมหน่วยดังนั้นทั้งหมด= 1 จากนั้น แตกต่างกันมากและมักจะดีกว่าเมตริกยูคลิด อาจจะเล็ก แต่ก็ไม่ได้หลอกลวงโดยมีเสียงดัง 2 $x / |x|$ $|x|$ $|x - y|^2 = 2 - 2\ x \cdot y$
$x \cdot y$ $|x|^2 + |y|^2$

$x \cdot y$ เป็นส่วนใหญ่ที่อยู่ใกล้ 0 สำหรับข้อมูลที่เบาบาง ตัวอย่างเช่นหากแต่ละและมี 100 คำที่ไม่ใช่ศูนย์และ 900 ศูนย์ทั้งสองจะไม่ใช่ศูนย์ในเวลาเพียง 10 คำเท่านั้น (หากคำที่ไม่ใช่ศูนย์กระจายแบบสุ่ม) $x$ $y$

การทำให้เป็นมาตรฐาน / =อาจช้าสำหรับข้อมูลที่กระจัดกระจาย มันรวดเร็วใน scikit เรียนรู้ $x$ $|x|$

ข้อมูลสรุป: เริ่มต้นด้วยระยะทางโคไซน์ แต่อย่าคาดหวังว่าจะมีสิ่งมหัศจรรย์ในข้อมูลเก่า ๆ
ตัวชี้วัดที่ประสบความสำเร็จต้องการการประเมินผลการปรับแต่งความรู้โดเมน

— เดนิส
แหล่งที่มา

1

+1 นี่เป็นการเพิ่มการวิเคราะห์ที่มีประโยชน์และมีประโยชน์ให้กับคำตอบอื่น ๆ

— whuber

1

มุมเฉลี่ยของการสุ่มวางจุดในอยู่ใกล้คุณเสมอถึง 90 °สำหรับขนาดใหญ่ (ดูแปลงที่นี่ )

[- 1, 1]^{n}

$[-1, 1]^n$

n

$n$

— มาร์ติน Thoma

10

ส่วนหนึ่งของคำสาปของมิติคือข้อมูลเริ่มกระจายออกจากศูนย์กลาง สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับหลายตัวแปรปกติและแม้กระทั่งเมื่อส่วนประกอบต่างๆเป็น IID (ทรงกลมปกติ) แต่ถ้าคุณต้องการพูดเกี่ยวกับระยะทางแบบยุคลิดอย่างเคร่งครัดแม้ในพื้นที่ที่มีมิติต่ำหากข้อมูลมีโครงสร้างความสัมพันธ์ระยะทางแบบยุคลิดนั้นไม่ใช่ตัวชี้วัดที่เหมาะสม ถ้าเราสมมติว่าข้อมูลเป็นหลายตัวแปรปกติกับค่าความแปรปรวนที่ไม่ใช่ศูนย์และเพื่อการโต้แย้งสมมติว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมนั้นเป็นที่รู้จักกัน จากนั้นระยะทาง Mahalanobis คือการวัดระยะทางที่เหมาะสมและมันไม่เหมือนกับระยะทางแบบยุคลิดซึ่งมันจะลดลงถ้าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นสัดส่วนกับเมทริกซ์เอกลักษณ์

— Michael Chernick
แหล่งที่มา

1

ขอขอบคุณสำหรับข้อเสนอแนะของระยะทาง Mahalanobis แทนระยะทางแบบยุคลิดเมื่อข้อมูลมีความสัมพันธ์กัน คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมระยะทางแบบยุคลิดไม่ได้จัดการกับข้อมูลที่มีความสัมพันธ์เช่นเดียวกับระยะทาง Mahalanobis?

— Jubbles

5

ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการสาปแช่งของการวัดขนาด / ความเข้มข้นของการวัด แต่ฉันไม่สามารถหาการสนทนาที่กระตุ้นการพูดนี้ได้อีกต่อไป ฉันเชื่อว่ามีหัวข้อเกี่ยวกับ metaoptimize แต่ฉันทำ Google ล้มเหลว ...

สำหรับข้อมูลตัวอักษรการปรับเวกเตอร์ให้เป็นปกติโดยใช้ TF-IDF แล้วใช้ความคล้ายคลึงโคไซน์น่าจะให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าระยะทางแบบยุคลิดเนื่องจากเอกสารที่มีความยาว (มีหลายคำ) สามารถแบ่งปันหัวข้อเดียวกันได้ดังนั้นจึงคล้ายกับเอกสารสั้น ๆ คำ. การละทิ้งบรรทัดฐานของเวกเตอร์ช่วยในกรณีพิเศษนั้น

— ogrisel
แหล่งที่มา

4

การวัดที่เป็นจริงของ sparsity คือสิ่งที่เรียกว่านับซึ่งนับจำนวน (แน่นอน) ของรายการที่ไม่เป็นศูนย์ในเวกเตอร์ ด้วยมาตรการนี้เวกเตอร์และมีความเหมือนกัน และไม่เหมือนกันปกติ และ (กระจัดกระจายมาก) มีบรรทัดฐานเดียวกับ เวกเตอร์ที่แบนและไม่เบาบาง และไม่นับรวมกันอย่างแน่นอน $\ell_0$ $(1,0,0,0)$ $(0,21,0,0)$ $\ell_2$ $(1,0,0,0)$ $\ell_2$ $\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ $\ell_0$

ฟังก์ชั่นนี้ไม่ใช่ทั้งแบบปกติและแบบควอร์นอร์ ขึ้นอยู่กับโดเมนชื่อของมันคือพยุหะตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน cardinality การวัดเชิงตัวเลขหรือเพียงแค่ parsimony หรือ sparsity มันก็มักจะถือว่าเป็นใช้ไม่ได้ผลในทางปฏิบัติตั้งแต่การใช้งานนำไปสู่ปัญหา NP ยาก

ในขณะที่ระยะทางมาตรฐานหรือบรรทัดฐาน (เช่นระยะ Euclidian) เป็นเวไนยมากขึ้นหนึ่งของปัญหาของพวกเขาคือของพวกเขา -homogeneity:สำหรับ0 เรื่องนี้อาจเห็นได้ว่าไม่ใช่ - สัญชาตญาณผลิตภัณฑ์เซนต์คิตส์และเนวิสไม่เปลี่ยนแปลงสัดส่วนของข้อมูลในรายการ (คือ -homogeneneous) $\ell_2$ $1$

‖ a . x ‖ = | a | ‖ x ‖

$\| a.x\| = |a|\| x\|$

a \neq 0

$a\neq 0$

ℓ_{0}

$\ell_0$

0

$0$

ดังนั้นในบทสนทนาบางสิ่งที่รวมกันของคำศัพท์ ( ) เช่น lasso, ridge หรือสุทธิที่ยืดหยุ่น บรรทัดฐาน (แมนฮัตตันหรือแท็กซี่ระยะทาง) หรืออวตารเรียบมันเป็นประโยชน์อย่างยิ่ง เนื่องจากผลงานของอีCandèsและคนอื่น ๆ หนึ่งสามารถอธิบายได้ว่าทำไม เป็นการประมาณการที่ดีที่จะ : คำอธิบายทางเรขาคณิต คนอื่น ๆ ทำ ในในราคาของปัญหาที่ไม่นูน $\ell_p(x)$ $p \ge1$ $\ell_1$ $\ell_1$ $\ell_0$ $p < 1$ $\ell_p(x)$

อีกเส้นทางที่น่าสนใจคือการคิดความกระจัดกระจายอีกครั้ง หนึ่งในผลงานที่โดดเด่นเมื่อไม่นานมานี้คือการเปรียบเทียบมาตรการแห่ง Sparsityโดย N. Hurley et al. ซึ่งเกี่ยวข้องกับการกระจายของ sparsity จากหกสัจพจน์ (ที่มีชื่อตลก ๆ เช่น Robin Hood, Scaling, Rising Tide, Cloning, Bill Gates และ Babies) ดัชนีดัชนีเบาบางสองตัวเกิดขึ้น: อันหนึ่งอิงจากดัชนี Gini อีกกลุ่มหนึ่งตามอัตราส่วนปกติ สองอัตราส่วนปกติที่แสดงด้านล่าง: $\frac{\ell_1}{\ell_2}$

แม้ว่าจะไม่นูนออกมาพิสูจน์ของการบรรจบกันและบางส่วนอ้างอิงทางประวัติศาสตร์บางส่วนมีรายละเอียดในEuclid ในรถแท็กซี่: เบาบางตาบอด deconvolution กับเรียบ $\frac{\ell _1}{\ell_2}$ regularization

— Laurent Duval
แหล่งที่มา

4

กระดาษพฤติกรรมที่น่าประหลาดใจของการวัดระยะทางในพื้นที่มิติสูงกล่าวถึงพฤติกรรมของการวัดระยะทางในพื้นที่มิติสูง

พวกเขาใช้บรรทัดฐานและเสนอเกณฑ์ปกติแมนฮัตตันให้มีประสิทธิภาพสูงสุดในพื้นที่มิติสูงสำหรับการทำคลัสเตอร์ พวกเขายังแนะนำบรรทัดฐานเศษส่วนคล้ายกับบรรทัดฐาน แต่ด้วย(0..1) $L_k$ $L_1$ $L_f$ $L_k$ $f \in (0..1)$

ในระยะสั้นพวกเขาแสดงให้เห็นว่าสำหรับพื้นที่มิติสูงโดยใช้บรรทัดฐานแบบยุคลิดซึ่งเป็นค่าเริ่มต้นอาจไม่ใช่ความคิดที่ดี เรามักจะมีสัญชาตญาณเล็กน้อยในพื้นที่ดังกล่าวและการระเบิดแบบเลขชี้กำลังเนื่องจากจำนวนมิตินั้นยากที่จะคำนึงถึงระยะทางแบบยุคลิด

— facuq
แหล่งที่มา

1

ดี. สำหรับเป็นกึ่งบรรทัดฐานแทนบรรทัดฐาน

L_{f}

$L_f$

0 < f < 1

$0<f<1$

— Laurent Duval