ข้อผิดพลาดมาตรฐานสำหรับค่าเฉลี่ยของตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบทวินาม

43

สมมติว่าผมใช้การทดสอบที่สามารถมีผล 2 และฉันสมมติว่าพื้นฐานการกระจาย "ความจริง" ของ 2 ผลคือการกระจายทวินามกับพารามิเตอร์และ :P) $n$ $p$ ${\rm Binomial}(n, p)$

ฉันสามารถคำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐานจากรูปแบบของความแปรปรวนของ : ที่1-P ดังนั้น{} สำหรับข้อผิดพลาดมาตรฐานที่ฉันได้รับ:แต่ผมเคยเห็นบางที่{n}} ฉันทำผิดอะไร? $SE_X = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$ ${\rm Binomial}(n, p)$

σ_{X}^{2} = n p q

$\sigma^{2}_{X} = npq$

q = 1 - p

$q = 1-p$

σ_{X} = \sqrt{n p q}

$\sigma_X=\sqrt{npq}$

S E_{X} = \sqrt{p q}

$SE_X=\sqrt{pq}$

S E_{X} = \sqrt{\frac{p q}{n}}

$SE_X = \sqrt{\frac{pq}{n}}$

binomial standard-error

— ตรงไปตรงมา
แหล่งที่มา

บทความนี้มีประโยชน์มากในการเข้าใจข้อผิดพลาดมาตรฐานของค่าเฉลี่ยinfluentialpoints.com/Training/ …

— Sanghyun Lee

จาก googling ของฉันปรากฏว่าเรื่องที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของการได้รับช่วงความเชื่อมั่นสำหรับการแจกแจงทวินามนั้นค่อนข้างที่เหมาะสมและซับซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งดูเหมือนว่าช่วงความเชื่อมั่นที่ได้รับจากสูตรนี้ซึ่งจะเป็น "ช่วงเวลา Wald" (ดูen.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval ) ดูจะค่อนข้างแย่และควรหลีกเลี่ยง ดูjstor.org/stable/2676784?seq=1#metadata_info_tab_contentsสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

— aquirdturtle

58

ดูเหมือนว่าคุณกำลังใช้สองครั้งในสองวิธีที่แตกต่างกัน - ทั้งสองเป็นขนาดตัวอย่างและเป็นจำนวนการทดลองเบร์โนลลีที่ประกอบด้วยตัวแปรสุ่มแบบทวินาม เพื่อกำจัดความคลุมเครือใด ๆ ฉันจะใช้เพื่ออ้างถึงหลัง $n$ $k$

ถ้าคุณมีกลุ่มที่เป็นอิสระจากการกระจายความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างของพวกเขาคือ $n$ ${\rm Binomial}(k,p)$

v a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} v a r (X_{i}) = \frac{n v a r (X_{i})}{n^{2}} = \frac{v a r (X_{i})}{n} = \frac{k p q}{n}

${\rm var} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} {\rm var}( X_{i} ) = \frac{ n {\rm var}(X_{i}) }{ n^2 } = \frac{ {\rm var}(X_{i})}{n} = \frac{ k pq }{n}$

โดยที่และเป็นค่าเฉลี่ยเดียวกัน สิ่งนี้ติดตามมาตั้งแต่ $q=1-p$ $\overline{X}$

(1) ,สำหรับตัวแปรสุ่มและคงที่ใด ๆค ${\rm var}(cX) = c^2 {\rm var}(X)$ $X$ $c$

(2) ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนที่

ข้อผิดพลาดมาตรฐานของเป็นรากที่สองของความแปรปรวน:{n}} ดังนั้น, $\overline{X}$ $\sqrt{\frac{ k pq }{n}}$

เมื่อคุณจะได้สูตรที่คุณต้องการ: $k = n$ $\sqrt{pq}$
เมื่อและตัวแปร Binomial เป็นเพียงการทดลองแบบเบอนูลลี่คุณจะได้สูตรที่คุณเห็นที่อื่น: $k = 1$ $\sqrt{\frac{pq }{n}}$

— มาโคร
แหล่งที่มา

3

เมื่อคือBernoulliตัวแปรสุ่มแล้วPQ เมื่อมีตัวแปรสุ่มแบบทวินามโดยยึดตามการทดลองด้วยความน่าจะเป็นที่สำเร็จดังนั้น

X

$X$

v a r (X) = p q

${\rm var}(X) = pq$

X

$X$

n

$n$

p

$p$

v a r (X) = n p q

${\rm var}(X) = npq$

— มาโคร

2

ขอบคุณ! คุณทำให้ฉันสับสน ขออภัยที่มันเป็นระดับประถมศึกษาฉันยังคงเรียนรู้ :-)

— แฟรงค์

6

เห็นได้ชัดว่าแฟรงค์นั้นเราใช้ความจริงนั้นกับค่าคงที่ c Var (cX) = c Var (x) หรือไม่? เนื่องจากค่าประมาณตัวอย่างของสัดส่วนคือ X / n เราจึงมี Var (X / n) = Var (X) / n = npq / n = pq / n และ SEx คือรากที่สองของนั้น ฉันคิดว่ามันชัดเจนสำหรับทุกคนถ้าเราสะกดทุกขั้นตอน

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

— Michael Chernick

1

@MichaelChernick ฉันได้ชี้แจงรายละเอียดที่คุณพูดถึง จากคำอธิบายปัญหาฉันพบว่า Frank รู้ข้อเท็จจริงเหล่านี้ แต่คุณคิดถูกว่ามันจะเป็นการศึกษาสำหรับผู้อ่านในอนาคตที่จะรวมรายละเอียดเพิ่มเติม

— มาโคร

2

Sol Lago - ในกรณีนี้ k = 1 หากคุณโยนเหรียญ 50 ครั้งและคำนวณจำนวนความสำเร็จจากนั้นทำการทดสอบซ้ำ 50 ครั้งดังนั้น k = n = 50 การพลิกของเหรียญส่งผลให้ 1 หรือ 0 เป็น

— rou

9

เป็นเรื่องง่ายที่จะสับสนการแจกแจงทวินามสองครั้ง:

การกระจายของจำนวนความสำเร็จ
การกระจายสัดส่วนของความสำเร็จ

npq คือจำนวนของความสำเร็จในขณะที่ npq / n = pq คืออัตราส่วนของความสำเร็จ ผลลัพธ์นี้มีสูตรข้อผิดพลาดมาตรฐานที่แตกต่างกัน

— Vlad
แหล่งที่มา

6

เราสามารถดูได้ในวิธีต่อไปนี้:

สมมติว่าเรากำลังทำการทดลองที่เราต้องโยนเหรียญเป็นกลางครั้ง ผลลัพธ์โดยรวมของการทดลองคือซึ่งเป็นผลรวมของการโยนของแต่ละบุคคล (พูดหัวเป็น 1 และหางเป็น 0) ดังนั้นสำหรับการทดสอบนี้โดยที่เป็นผลลัพธ์ของการทอยแต่ละครั้ง $n$ $Y$ $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X_i$

ที่นี่ผลลัพธ์ของการโยนแต่ละครั้งตามการแจกแจงเบอร์นูลลีและผลลัพธ์โดยรวมตามการแจกแจงทวินาม $X_i$ $Y$

การทดลองที่สมบูรณ์สามารถถูกคิดเป็นตัวอย่างเดียว ดังนั้นหากเราทำการทดสอบซ้ำเราจะได้ค่าอีกค่าซึ่งจะเป็นตัวอย่างอีกตัวอย่างหนึ่ง ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจะประกอบด้วยประชากรทั้งหมด $Y$ $Y$

กลับมาที่เหรียญเดียวโยนซึ่งต่อไปนี้การกระจาย Bernoulli แปรปรวนจะได้รับโดยที่คือความน่าจะเป็นของหัว (ความสำเร็จ) และP $pq$ $p$ $q = 1 – p$

ตอนนี้ถ้าเรามองไปที่ความแปรปรวนของ ,(x_i) แต่สำหรับการทดลอง Bernoulli ทั้งหมดแต่ละPQ เนื่องจากมีโยนหรือทดลอง Bernoulli ในการทดสอบnpq นี่ก็หมายความว่ามีความแปรปรวนnpq $Y$ $V(Y) = V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$ $V(X_i) = pq$ $n$ $V(Y) = \sum V(X_i) = npq$ $Y$ $npq$

ตอนนี้สัดส่วนตัวอย่างถูกกำหนดโดยซึ่งให้ 'สัดส่วนของความสำเร็จหรือหัว' ที่นี่เป็นค่าคงที่เมื่อเราวางแผนที่จะไม่ทิ้งเหรียญเหมือนกันสำหรับการทดลองทั้งหมดในประชากร $\hat p = \frac Y n$ $n$

ดังนั้น n $V(\frac Y n) = (\frac {1}{n^2})V(Y) = (\frac {1}{n^2})(npq) = pq/n$

ดังนั้นข้อผิดพลาดมาตรฐานสำหรับ (สถิติตัวอย่าง) คือ $\hat p$ $\sqrt{pq/n}$

— Tarashankar
แหล่งที่มา

คุณสามารถใช้น้ำยางข้นเรียงพิมพ์โดยการวางดอลลาร์รอบคณิตศาสตร์ของคุณเช่น $x$ ให้x

x

$x$

— Silverfish

โปรดทราบว่าขั้นตอนสมควรได้รับการพิสูจน์แล้ว!

V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})

$V(\sum X_i)=\sum V(X_i)$

— Silverfish

มีการพิมพ์ผิดในการหักเงินครั้งสุดท้าย V (Y / n) = (1 / n ^ 2) * V (Y) = (1 / n ^ 2) * npq = pq / n ควรเป็นการหักที่ถูกต้อง

— Tarashankar

ขอโทษฉันแนะนำว่าเมื่อทำการเรียงพิมพ์ หวังว่าตอนนี้เรียง

— Silverfish

1

นั่นเป็นความจริงหากไม่มีความเกี่ยวข้อง - เพื่อให้เหตุผลนี้เราใช้ความจริงที่ว่าการทดลองนั้นถือว่าเป็นอิสระ

X_{i}

$X_i$

— Silverfish

2

ฉันคิดว่ายังมีความสับสนในโพสต์เริ่มต้นระหว่างข้อผิดพลาดมาตรฐานและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ sqrt ของความแปรปรวนของการแจกแจง ข้อผิดพลาดมาตรฐานคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยโดยประมาณของตัวอย่างจากการแจกแจงนั้นคือการแพร่กระจายของค่าเฉลี่ยที่คุณจะสังเกตได้ถ้าคุณทำตัวอย่างนั้นหลายครั้งอย่างไม่สิ้นสุด อดีตเป็นคุณสมบัติที่แท้จริงของการกระจาย; หลังเป็นตัวชี้วัดคุณภาพของการประมาณของคุณสมบัติ (ค่าเฉลี่ย) ของการแจกแจง เมื่อคุณทำการทดลองเกี่ยวกับการทดลอง N Bernouilli เพื่อประเมินความน่าจะเป็นที่ไม่ทราบความสำเร็จความไม่แน่นอนของ p = k / N โดยประมาณหลังจากที่เห็นความสำเร็จ k เป็นข้อผิดพลาดมาตรฐานของสัดส่วนโดยประมาณ sqrt (pq / N) โดยที่ q = 1 -p การแจกแจงที่แท้จริงนั้นมีลักษณะโดยพารามิเตอร์ P ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่แท้จริงของความสำเร็จ

— สแตน
แหล่งที่มา