“ ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องแน่นอน” กับ“ ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง” หรือไม่

ในหนังสือ "ขีด จำกัด ของทฤษฎีความน่าจะเป็น" โดย Valentin V. Petrov ฉันเห็นความแตกต่างระหว่างคำจำกัดความของการแจกแจงว่า "ต่อเนื่อง" และ "ต่อเนื่องอย่างแน่นอน" ซึ่งระบุไว้ดังต่อไปนี้:

$(*)$ "... การแจกแจงของตัวแปรสุ่ม $X$ ถูกกล่าวว่าจะต่อเนื่องถ้า $P\left(X \in B\right)=0$ สำหรับเซตแน่นอนหรือนับได้ $B$ ของคะแนนของเส้นจริง ๆ มันบอกว่าต่อเนื่องอย่างแน่นอนถ้า $P\left(X \in B\right)=0$ สำหรับ Borel ทุกชุด $B$ of Lebesgue วัดศูนย์ ... "

แนวคิดที่ฉันคุ้นเคยคือ:

$(\#)$ "หากตัวแปรสุ่มมีฟังก์ชันการแจกแจงสะสมอย่างต่อเนื่องแสดงว่าเป็นตัวแปรที่ต่อเนื่องอย่างแน่นอน"

$\textbf{My questions are:}$ สองคำอธิบายเกี่ยวกับ "ความต่อเนื่องสัมบูรณ์" ใน $(*)$ และ $(\#)$ กำลังพูดถึงสิ่งเดียวกันหรือไม่? ถ้าใช่ฉันจะแปลคำอธิบายหนึ่งไปเป็นอีกคำอธิบายได้อย่างไร

ขอบคุณ!

probability distributions random-variable

— ท่าเตียน
แหล่งที่มา

ตัวอย่างมาตรฐานของการกระจายอย่างต่อเนื่อง แต่ไม่ต่อเนื่องอย่างถูกกล่าวถึงในที่stats.stackexchange.com/questions/229556/...ที่มันจะแสดงเป็นกราฟและรหัสจะถูกส่งไปยังกลุ่มตัวอย่างจากมัน

— whuber

คำอธิบายแตกต่าง: เพียงหนึ่งคนแรก $(*)$ ถูกต้อง คำตอบนี้อธิบายถึงวิธีการและเหตุผล

การกระจายอย่างต่อเนื่อง

A "อย่างต่อเนื่อง" กระจาย $F$ อย่างต่อเนื่องในความรู้สึกปกติของต่อเนื่องฟังก์ชั่น คำนิยาม (โดยปกติจะเป็นคนแรกที่คนพบในการศึกษาของพวกเขา) เป็นที่สำหรับแต่ละ $x$ และหมายเลขใด ๆ $\epsilon\gt 0$ มีอยู่ $\delta$ (ขึ้นอยู่กับ $x$ และ $\epsilon$ ) ซึ่งค่าของ $F$ ใน $\delta$ -neighborhood ของ $x$ แตกต่างกันไป โดยไม่เกิน $\epsilon$ จาก $F(x)$ )

มันเป็นขั้นตอนสั้น ๆ จากนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าเมื่อมีการต่อเนื่อง $F$ คือการกระจายของตัวแปรสุ่ม $X$ แล้ว $\Pr(X=x)=0$ ถึงตัวเลขใด ๆx $x$ หลังจากทั้งหมดนิยามความต่อเนื่องบ่งบอกว่าคุณสามารถย่อขนาด $\delta$ เพื่อทำให้ $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ ขนาดเล็กเท่ากับ $\epsilon \gt 0$ และตั้งแต่ (1) ความน่าจะเป็นนี้ไม่น้อยกว่า $\Pr(X=x)$ และ (2) $\epsilon$ จะมีขนาดเล็กโดยพลมันตามที่ $\Pr(X=x)=0$ 0ความเป็นไปได้ที่นับได้ของความน่าจะเป็นขยายผลลัพธ์นี้ไปยังชุด $B$ จำกัด หรือนับได้

การแจกแจงแบบต่อเนื่องอย่างแน่นอน

ฟังก์ชั่นการแจกแจงทั้งหมด $F$ กำหนดค่าบวก, จำกัด ขอบเขตการวัด $\mu_F$ กำหนดโดย

μ_{F} ((a, ข]) = F (ข) - F (a) .

$\mu_F((a,b]) = F(b) - F(a).$

ความต่อเนื่องสัมบูรณ์เป็นแนวคิดของทฤษฎีการวัด หนึ่งในมาตรการ $\mu_F$ อย่างต่อเนื่องอย่างที่เกี่ยวกับตัวชี้วัดอื่น $\lambda$ (ทั้งกำหนดไว้ในพีชคณิตซิกเดียวกัน) เมื่อสำหรับทุกชุดที่วัด $E$ , $\lambda(E)=0$ หมายถึง $\mu_F(E)=0$ 0กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อเทียบกับ $\lambda$ ไม่มีชุด "เล็ก" (วัดเป็นศูนย์) ซึ่ง $\mu_F$ กำหนดความน่าจะเป็น "ใหญ่" (ไม่ใช่ศูนย์)

เราจะใช้ $\lambda$ เป็นค่าปกติของ Lebesgue ซึ่ง $\lambda((a,b]) = b-a$ คือความยาวของช่วงเวลาช่วงครึ่งหลังของ $(*)$ ระบุว่าความน่าจะเป็นวัด $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$ มีความต่อเนื่องอย่างแน่นอนเกี่ยวกับการวัด Lebesgue

ความต่อเนื่องสัมบูรณ์เกี่ยวข้องกับความแตกต่าง อนุพันธ์ของการวัดหนึ่งด้วยความเคารพต่ออีกมาตรการ (ณ จุดหนึ่ง $x$ ) เป็นแนวคิดที่เข้าใจง่าย: ใช้ชุดของย่านที่วัดได้ของ $x$ ที่หดตัวลงไปที่ $x$ และเปรียบเทียบทั้งสองมาตรการในละแวกใกล้เคียงเหล่านั้น หากพวกเขาเข้าใกล้ขีด จำกัด เดียวกันเสมอไม่ว่าจะเลือกลำดับละแวกใกล้เคียงใดก็ตามขีด จำกัด นั้นจะเป็นอนุพันธ์ (มีปัญหาทางเทคนิค: คุณต้อง จำกัด ย่านที่อยู่อาศัยเหล่านั้นเพื่อให้ไม่มีรูปร่าง "พยาธิวิทยา" ซึ่งสามารถทำได้โดยกำหนดให้แต่ละพื้นที่ใกล้เคียงครอบครองส่วนที่ไม่สำคัญของภูมิภาคที่อยู่)

การแยกความแตกต่างในแง่นี้คือคำถามที่ว่าอะไรคือความหมายของความน่าจะเป็นในการแจกแจงแบบต่อเนื่อง กำลังพูดถึง

เขียน Let 's $D_\lambda(\mu_F)$ สำหรับที่มาของ $\mu_F$ ที่เกี่ยวกับλ $\lambda$ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง - เป็นทฤษฎีการคำนวณขั้นพื้นฐานของแคลคูลัส -ชุดทดสอบ

$\mu_F$ เป็นอย่างต่อเนื่องเกี่ยวกับการ $\lambda$ ถ้าหาก
$μ_{F} (E) = \int_{E} (D_{λ} μ_{F}) (x) d λ$ $\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$ ทุกชุดที่วัดE $E$ [รูดินทฤษฎีบท 8.6]

ในคำอื่น ๆ ต่อเนื่องแน่นอน (จาก $\mu_F$ ที่เกี่ยวกับ $\lambda$ ) เทียบเท่ากับการดำรงอยู่ของที่ฟังก์ชั่นความหนาแน่น $D_\lambda(\mu_F)$ )

สรุป

การแจกแจงแบบ $F$ นั้นต่อเนื่องเมื่อ $F$ ต่อเนื่องกันเป็นฟังก์ชั่น: โดยสังหรณ์ใจไม่มี "การข้าม"
การแจกแจง $F$ นั้นต่อเนื่องอย่างแน่นอนเมื่อมันมีฟังก์ชั่นความหนาแน่น (เทียบกับการวัด Lebesgue)

$F$ $D_\lambda(\mu_F)$ $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$ $1$

ความคิดเห็น

การแจกแจงทั้งหมดที่ใช้ในแอปพลิเคชั่นทางสถิตินั้นแทบจะไม่ต่อเนื่องไม่มีที่ใด (แยก) หรือผสมกันดังนั้นความแตกต่างระหว่างความต่อเนื่องและความต่อเนื่องสัมบูรณ์จึงมักถูกมองข้าม อย่างไรก็ตามความล้มเหลวที่จะชื่นชมความแตกต่างนี้สามารถนำไปสู่การให้เหตุผลที่เป็นโคลนและสัญชาตญาณที่ไม่ดีโดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่ต้องการความแม่นยำมากที่สุด: กล่าวคือเมื่อสถานการณ์เกิดความสับสนหรือไม่ใช้งานง่ายดังนั้นเราจึงต้องใช้คณิตศาสตร์ นั่นคือเหตุผลที่เรามักจะไม่ทำเรื่องใหญ่ในทางปฏิบัติ แต่ทุกคนควรรู้เกี่ยวกับมัน

การอ้างอิง

รูดินวอลเตอร์ การวิเคราะห์เชิงจริงและมีความซับซ้อน McGraw-Hill, 1974: หัวข้อ 6.2 (ความต่อเนื่องสัมบูรณ์) และ 8.1 (อนุพันธ์ของมาตรการ)

— whuber
แหล่งที่มา

ในแอปพลิเคชั่นอื่นที่ไม่ใช่การกระจายอย่างต่อเนื่องอย่างมากมาย ตัวอย่างหนึ่งคือในระบบพลวัต (บางส่วน) ซึ่งเกือกม้าของสไมล์มีจำนวนมากซึ่งก่อให้เกิดการกระจายด้วยคุณสมบัติเช่นการกระจายของคันทอร์

— kjetil b halvorsen