อะไรคือความสำคัญของฟังก์ชั่นในสถิติ?

ในชั้นเรียนแคลคูลัสของเราเราพบฟังก์ชันหรือ "bell curve" และฉันถูกบอกว่ามีแอปพลิเคชันบ่อยในสถิติ$e^{-x^2}$

ฉันอยากถามว่า: ฟังก์ชั่นมีความสำคัญในสถิติหรือไม่? ถ้าใช่มันเกี่ยวกับที่ทำให้มีประโยชน์และมีแอปพลิเคชันอะไรบ้าง e - x $e^{-x^2}$$e^{-x^2}$

ฉันไม่สามารถหาข้อมูลมากเกี่ยวกับการทำงานบนอินเทอร์เน็ต แต่หลังจากทำวิจัยบางอย่างผมพบความเชื่อมโยงระหว่างเส้นโค้งระฆังทั่วไปและสิ่งที่เรียกว่าการกระจายปกติ หน้าวิกิพีเดียเชื่อมโยงเหล่านี้ประเภทของฟังก์ชั่นเพื่อการประยุกต์ใช้สถิติกับไฮไลต์โดยผมว่าฯ :

"การแจกแจงแบบปกติถือเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่โดดเด่นที่สุดในสถิติมีหลายเหตุผลสำหรับสิ่งนี้: 1ขั้นแรกการแจกแจงแบบปกติเกิดขึ้นจากทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางซึ่งระบุว่าภายใต้เงื่อนไขอ่อนจำนวนผลรวมของตัวแปรสุ่มจำนวนมาก จากการแจกแจงแบบเดียวกันนั้นมีการแจกแจงแบบปกติโดยไม่คำนึงถึงรูปแบบของการแจกแจงดั้งเดิม "

ดังนั้นถ้าฉันรวบรวมข้อมูลจำนวนมากจากการสำรวจบางประเภทหรือสิ่งที่คล้ายกันพวกเขาสามารถกระจายอย่างเท่าเทียมกันระหว่างฟังก์ชั่นเช่น ? ฟังก์ชันนั้นมีความสมมาตรดังนั้นความสมมาตรคือประโยชน์ในการแจกแจงแบบปกติอะไรที่ทำให้มันมีประโยชน์ในทางสถิติ? ฉันแค่คาดเดา$e^{-x^2}$

โดยทั่วไปแล้วอะไรที่ทำให้มีประโยชน์ในด้านสถิติ? หากการแจกแจงแบบปกติเป็นพื้นที่เพียงอย่างเดียวแล้วอะไรทำให้ไม่ซ้ำกันหรือมีประโยชน์โดยเฉพาะในฟังก์ชั่นประเภท gaussian อื่น ๆ ในการแจกแจงแบบปกติ? e - x $e^{-x^2}$$e^{-x^2}$

เหตุผลที่ฟังก์ชั่นนี้มีความสำคัญคือการกระจายตัวแบบปกติและคู่หูที่เชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดซึ่งเป็นทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง (เรามีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับ CLT ในคำถามอื่น ๆที่นี่)

ในสถิติ CLT โดยทั่วไปสามารถใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นโดยประมาณทำให้ข้อความเช่น "เรามั่นใจ 95% ว่า ... " เป็นไปได้ (ความหมายของ "มั่นใจ 95%" มักเข้าใจผิด แต่เป็นเรื่องที่แตกต่างกัน)

ฟังก์ชันคือ (รุ่นที่ปรับขนาด) ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติ หากปริมาณสุ่มสามารถสร้างแบบจำลองโดยใช้การแจกแจงปกติฟังก์ชั่นนี้จะอธิบายว่าค่าที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันของปริมาณดังกล่าวนั้นเป็นไปได้อย่างไร ผลลัพธ์ในภูมิภาคที่มีความหนาแน่นสูงมีแนวโน้มมากกว่าผลลัพธ์ในภูมิภาคที่มีความหนาแน่นต่ำ$\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)$

σ μ μ σ x = μ x μ $\mu$และเป็นพารามิเตอร์ที่กำหนดตำแหน่งและขนาดของฟังก์ชันความหนาแน่น มันสมมาตรเกี่ยวกับดังนั้นการเปลี่ยนหมายความว่าคุณเปลี่ยนฟังก์ชันไปทางขวาหรือไปทางซ้าย กำหนดค่าของฟังก์ชั่นความหนาแน่นที่สูงสุด ( ) และวิธีการอย่างรวดเร็วมันจะไปเป็น 0ย้ายออกไปจาก\ในแง่นั้นการเปลี่ยนเปลี่ยนขนาดของฟังก์ชัน$\sigma$$\mu$$\mu$$\sigma$$x=\mu$$x$$\mu$$\sigma$

สำหรับทางเลือกโดยเฉพาะและความหนาแน่น (ตามสัดส่วน)2} นี่ไม่ใช่ตัวเลือกที่น่าสนใจอย่างยิ่งสำหรับพารามิเตอร์เหล่านี้ แต่มีประโยชน์ในการให้ฟังก์ชันความหนาแน่นที่ดูง่ายกว่าเล็กน้อยσ = 1 / $\mu=0$ e - x $\sigma=1/\sqrt{2}$$e^{-x^2}$

บนมืออื่น ๆ ที่เราสามารถไปจากความหนาแน่นปกติอื่น ๆ จากการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรซิก} เหตุผลที่ตำราเรียนของคุณบอกว่าและไม่ใช่เป็นเรื่องที่ดีมาก ฟังก์ชั่นที่สำคัญคือนั้นง่ายต่อการเขียน x = u - $e^{-x^2}$$x=\frac{u-\mu}{\sqrt{2}\sigma}$$e^{-x^2}$$\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)$$e^{-x^2}$

$\exp (-x^2)$$\exp (-x^2)$

และการแจกแจงแบบปกตินั้นมีความสำคัญเนื่องจาก ("ภายใต้เงื่อนไขที่ไม่รุนแรง") ผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบอิสระและแบบกระจายจำนวนมากเข้าใกล้ปกติเมื่อ "หลายคน" เข้าใกล้อนันต์

ไม่ใช่ทุกอย่างที่กระจายตามปกติ ตัวอย่างเช่นผลการสำรวจของคุณอาจไม่ได้อย่างน้อยถ้าการตอบสนองไม่ได้อยู่ในระดับต่อเนื่อง แต่สิ่งที่ชอบจำนวนเต็ม 1-5 แต่ค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์จะกระจายไปตามการสุ่มตัวอย่างซ้ำ ๆ เพราะค่าเฉลี่ยนั้นเป็นเพียงผลรวมที่ปรับขนาด (normalized) และการตอบกลับของแต่ละบุคคลนั้นไม่ขึ้นกับใคร แน่นอนว่าตัวอย่างมีขนาดใหญ่พอแน่นอนเพราะการพูดอย่างเคร่งครัดภาวะปกติจะปรากฏเฉพาะเมื่อขนาดของตัวอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่างการแจกแจงแบบปกติอาจปรากฏขึ้นเป็นผลมาจากการประมาณค่าหรือกระบวนการสร้างแบบจำลองแม้ว่าข้อมูลจะไม่กระจายตามปกติ ดังนั้นการแจกแจงแบบปกติจึงมีอยู่ทั่วไปในสถิติ ในสถิติแบบเบย์การแจกแจงพารามิเตอร์ด้านหลังจำนวนมากเป็นปกติโดยประมาณหรือสามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็น

$n$$0$$1/n$$\sqrt{n}$