ฉันได้ยินมาว่าอัตราส่วนหรือผกผันของตัวแปรสุ่มมักเป็นปัญหาโดยไม่คาดหวัง ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น?

24

ชื่อเป็นคำถาม ฉันได้รับการบอกว่าอัตราส่วนและผู้แปรผันของตัวแปรสุ่มมักเป็นปัญหา สิ่งที่มีความหมายคือความคาดหวังนั้นมักจะไม่มีอยู่จริง มีคำอธิบายทั่วไปอย่างง่าย ๆ หรือไม่?

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

24

ฉันขอเสนอคำอธิบายที่ง่ายและเข้าใจได้ง่าย มันมีจำนวนการดูภาพ: ส่วนที่เหลือของโพสต์นี้จะอธิบายภาพและดึงข้อสรุปจากมัน

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นกับ:เมื่อมี "มวลความน่าจะเป็น" ที่รวมอยู่ใกล้จะมีความน่าจะเป็นมากเกินไปที่จะอยู่ใกล้ทำให้คาดว่าจะไม่ได้กำหนด $X=0$ $1/X\approx \pm \infty$

แทนที่จะถูกทั่วไปอย่างเต็มที่ให้โฟกัสในตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นต่อเนื่องในเขตของ0 สมมติว่า0 สายตาเงื่อนไขเหล่านี้หมายถึงกราฟของอยู่เหนือแกนรอบ ๆ : $X$ $f_X$ $0$ $f_X(0)\ne 0$ $f$ $0$

ความต่อเนื่องของรอบหมายความว่าสำหรับการใด ๆ ความสูงบวกน้อยกว่าและขนาดเล็กพอเราอาจตัดออกสี่เหลี่ยมผืนผ้าใต้กราฟนี้ซึ่งเป็นศูนย์กลางรอบมีความกว้างและความสูงดังที่แสดง สิ่งนี้สอดคล้องกับการแสดงการแจกแจงดั้งเดิมว่าเป็นส่วนผสมของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ (ด้วยน้ำหนัก ) และสิ่งที่เหลืออยู่ $f_X$ $0$ $p$ $f_X(0)$ $\epsilon$ $x=0$ $2\epsilon$ $p$ $p\times 2\epsilon=2p\epsilon$

กล่าวอีกนัยหนึ่งเราอาจคิดว่าเกิดขึ้นในวิธีต่อไปนี้: $X$

ด้วยความน่าจะเป็น , ให้ดึงค่าจากการกระจายUniform $2p\epsilon$ $(-\epsilon,\epsilon)$
มิฉะนั้นวาดค่าจากการจัดจำหน่ายที่มีความหนาแน่นเป็นสัดส่วนกับepsilon)} (นี่คือฟังก์ชั่นที่วาดด้วยสีเหลืองทางด้านขวา) $f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)}$

(เป็นฟังก์ชันตัวบ่งชี้) $I$

ขั้นตอนที่แสดงให้เห็นว่าสำหรับการใด ๆโอกาสที่อยู่ระหว่างและเกิน2 เท่านี้เป็นโอกาสที่เกิน u ในการใส่อีกวิธี: การเขียนสำหรับฟังก์ชันผู้รอดชีวิต $(1)$ $0 \lt u \lt \epsilon$ $X$ $0$ $u$ $p u / 2$ $1/X$ $1/u$ $S$ $1/X$

S (x) = Pr (1 / X > x),

$S(x) = \Pr(1/X \gt x),$

ภาพแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุก1 $S(x) \gt p / (2x)$ $x \gt 1/\epsilon$

เราเสร็จแล้วเนื่องจากข้อเท็จจริงเกี่ยวกับแสดงถึงความคาดหวังนั้นไม่ได้ถูกกำหนด $S$ เปรียบเทียบอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องในการคำนวณความคาดหวังของส่วนบวกของ , : $1/X$ $(1/X)_{+} = \max(0, 1/X)$

E [(1 / X)_{+}] = \int_{0}^{\infty} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} \frac{p}{2 x} d x = \frac{p}{2} \log (x ϵ) .

$E[(1/X)_{+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon).$

(นี่คือข้อโต้แย้งทางเรขาคณิตล้วนๆ: อินทิกรัลทุกอันแสดงถึงพื้นที่สองมิติที่ระบุตัวได้และความไม่เท่าเทียมทั้งหมดที่เกิดขึ้นจากการผนวกที่เข้มงวดภายในภูมิภาคเหล่านั้นแท้จริงแล้วเราไม่จำเป็นต้องรู้ว่าอินทิกรัลสุดท้ายคือลอการิทึม ข้อโต้แย้งที่แสดงส่วนประกอบสำคัญนี้)

ตั้งแต่ลู่ออกด้านขวาเป็น ,ลู่ออกมากเกินไป สถานการณ์ที่มีส่วนที่เป็นลบของเหมือนกัน (เนื่องจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่กึ่งกลางรอบ ) และอาร์กิวเมนต์เดียวกันแสดงความคาดหวังของส่วนที่เป็นลบของ diverges ดังนั้นความคาดหวังของตัวเองจึงไม่ได้กำหนด $x\to\infty$ $E[(1/X)_{+}]$ $1/X$ $0$ $1/X$ $1/X$

อาร์กิวเมนต์เดียวกันแสดงให้เห็นว่าเมื่อมีความน่าจะเป็นกระจุกอยู่ที่ด้านใดด้านหนึ่งของเช่นการแจกแจงแบบโปเนนเชียลหรือแกมม่าใด ๆ (ที่มีพารามิเตอร์รูปร่างน้อยกว่า ) จากนั้นยังคงเป็นความคาดหวังในเชิงบวก ในกรณีนี้การคาดหมายถูกกำหนด แต่ไม่มีที่สิ้นสุด $X$ $0$ $1$

— whuber
แหล่งที่มา

3

ฉันถูกสงสัยว่าสมมติฐานมีความสำคัญสำหรับผลลัพธ์หรือไม่ ฉันหมายถึงเรามีกรณีที่มีช่วงเวลาอย่างน้อยสำหรับบางช่วงของพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องและปรากฏว่าเป็นกรณีที่เช่น Gamma / Inverse-Gamma

f_{X} (0) \neq 0

$f_X(0)\neq 0$

1 / X

$1/X$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0) = 0$

— Alecos Papadopoulos

3

@Alcos No ข้อสันนิษฐานนั้นไม่สำคัญ นั่นและความต่อเนื่องของที่ทำให้การโต้แย้งง่าย แต่ก็ไม่จำเป็น พิจารณาที่มีความหนาแน่นสัดส่วนกับสำหรับและ 0 นี่คือต่อเนื่องที่แต่ไม่มีความคาดหวัง

f

$f$

0

$0$

X

$X$

f_{X}

$f_X$

- 1 / \log (x)

$-1/\log(x)$

0 < x < 1 / e

$0 \lt x \lt 1/e$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0)=0$

0

$0$

1 / X

$1/X$

— whuber

14

อัตราส่วนและผู้ผกผันส่วนใหญ่มีความหมายกับตัวแปรสุ่มแบบไม่ลบดังนั้นฉันจะถือว่าเกือบแน่นอน จากนั้นถ้าเป็นตัวแปรที่แยกกันซึ่งใช้ค่าศูนย์ที่มีความน่าจะเป็นบวกเราจะหารด้วยศูนย์ด้วยความน่าจะเป็นเชิงบวกซึ่งจะอธิบายว่าทำไมความคาดหวังของจะไม่อยู่ $X \ge 0$ $X$ $1/X$

ตอนนี้ดูที่กรณีการจัดจำหน่ายอย่างต่อเนื่องกับตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชั่นความหนาแน่นของ(x) เราจะสมมติว่าและนั้นต่อเนื่อง (อย่างน้อยก็เท่ากับศูนย์) จากนั้นก็มีเป็นเช่นว่าสำหรับ<\ ค่าที่คาดหวังของได้รับจาก ให้เราเปลี่ยนตัวแปรของการรวมเป็นเรามีได้รับ $X \ge 0$ $f(x)$ $f(0)>0$ $f$ $\epsilon > 0$ $f(x) > \epsilon$ $0 \le x < \epsilon$ $1/X$

E \frac{1}{X} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X} = \int_0^\infty \frac1{x} f(x)\; dx$

u = 1 / x

$u=1/x$

d u = - \frac{1}{x^{2}} d x

$du = -\frac1{x^2} \; dx$

E \frac{1}{X} = - \int_{\infty}^{0} u f (\frac{1}{u}) (\frac{1}{u})^{2} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u}) d u

$\E \frac1{X} = -\int_{\infty}^0 u f(\frac1{u}) (\frac1{u})^2 \; du = \\ \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}) \; du$ ตอนนี้โดยสมมติฐานบนดังนั้นในโดยใช้นี้เรามี แสดงว่าไม่มีความคาดหวัง ตัวอย่างการปฏิบัติตามสมมติฐานนี้คือการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีอัตรา 1

f (u) > ϵ

$f(u) > \epsilon$

[0, ϵ)

$[0,\epsilon)$

f (\frac{1}{u}) > 1 / ϵ

$f(\frac1{u}) > 1/\epsilon$

(1 / ϵ, \infty)

$(1/\epsilon, \infty)$

E \frac{1}{X} > ϵ \int_{1 / ϵ}^{\infty} \frac{1}{u} d u = \infty

$\E \frac1{X} > \epsilon \int_{1/\epsilon}^\infty \frac1{u}\; du =\infty$

เราได้ให้คำตอบสำหรับผู้ผกผันแล้วอัตราส่วน ให้เป็นอัตราส่วนของตัวแปรสุ่มสองตัวที่ไม่เป็นค่าลบ หากพวกเขามีความเป็นอิสระเราสามารถเขียน ดังนั้นสิ่งนี้จะลดน้อยลงไปในกรณีแรกและไม่มีอะไรใหม่ที่จะพูด . เกิดอะไรขึ้นถ้าพวกเขาขึ้นอยู่กับข้อต่อความหนาแน่นของการแยกประเภทเป็น จากนั้นเราจะได้รับ (ใช้การทดแทนแบบเดียวกันกับข้างบน) และเราสามารถให้เหตุผลข้างบนอินทิกรัลชั้นใน ผลจะเป็นถ้าความหนาแน่นของเงื่อนไข (กำหนด $Z=Y/X$

E Z = E \frac{Y}{X} = E Y \cdot E \frac{1}{x}

$\E Z = \E\frac{Y}{X}=\E Y \cdot \E\frac1{x}$

f (x, y) = f (x ∣ y) g (y)

$f(x,y) = f(x \mid y) g(y)$

E \frac{Y}{X} = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x ∣ y) d x g (y) d y = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u} ∣ y) d u g (y) d y

$\E \frac{Y}{X} = \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{x} f(x\mid y) \; dx \;g(y)\; dy = \\ \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}\mid y) \; du \; g(y) \; dy$

y

$y$ ) เป็นค่าบวกและต่อเนื่องที่ศูนย์สำหรับชุดของที่มีความเป็นไปได้ในเชิงบวกค่าคาดหวังจะไม่มีที่สิ้นสุด ฉันเดาว่ามันคงไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะหาตัวอย่างที่ความคาดหวังของนั้นไม่มีที่สิ้นสุด แต่ความคาดหวังของอัตราส่วนนั้น จำกัด ยกเว้นว่ามีความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์แบบ มันคงจะดีถ้าได้เห็นตัวอย่างเหล่านี้!

y

$y$

1 / X

$1/X$

Y / X

$Y/X$

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา