การติดตามของ Pillai มีลักษณะทั่วไปและการติดตามของ Hotelling-Lawley หรือไม่

ในการตั้งค่าการถดถอยหลายตัวแปรหลายตัวแปร (vector regressor และ regressand) การทดสอบหลักสี่แบบสำหรับสมมติฐานทั่วไป (Wilk's Lambda, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley และรูตที่ใหญ่ที่สุดของ Roy) ทั้งหมดขึ้นอยู่กับค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ , โดยที่และคือเมทริกซ์รูปแบบ 'อธิบาย' และ 'รวม' $H E^{-1}$ $H$ $E$

ฉันสังเกตเห็นว่าสถิติของ Pillai และ Hotelling-Lawley สามารถแสดงเป็น สำหรับตามลำดับ0 ฉันกำลังมองหาที่แอพลิเคชันที่กระจายของร่องรอยนี้, ที่กำหนดไว้สำหรับ analogues ประชากรของและเป็นที่น่าสนใจสำหรับกรณี (ข้อผิดพลาดแบบโมดูโลในการทำงานของฉัน) ฉันอยากรู้ว่ามีการรวมกันของสถิติตัวอย่างสำหรับทั่วไปหรือการวางนัยทั่วไปอื่น ๆ ที่รวบรวมการทดสอบแบบดั้งเดิมสองรายการหรือมากกว่านั้น ฉันรู้ว่าไม่เท่ากับหรือ

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ ตัวเศษดูเหมือน Chi-square ภายใต้ null อีกต่อไปดังนั้นการประมาณค่า F กลางดูเหมือนจะน่าสงสัยดังนั้นนี่อาจเป็นจุดจบ

ฉันหวังว่าจะมีงานวิจัยเกี่ยวกับการกระจายของ $\psi_{\kappa}$ ภายใต้ null ( เช่นเมทริกซ์ที่แท้จริงของสัมประสิทธิ์การถดถอยมีค่าเป็นศูนย์) และภายใต้ทางเลือก ฉันสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งใน $\kappa = 2$ กรณี แต่ถ้ามีการทำงานในทั่วไป $\kappa$ กรณีที่ฉันสามารถของหลักสูตรการใช้งานที่

— shabbychef
แหล่งที่มา

เดี๋ยวก่อน

คือรูปแบบ 'E'xplained และ

H

$H$

E

$E$ คือรูปแบบรวม' T'otal? เพียงตรวจสอบความจำของฉัน

— พระคาร์ดินัล

@ cardinal นั่นถูกต้อง เมื่อ

เป็นหลายตัวแปรน้อยพอดีสี่เหลี่ยมเพื่อค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ที่เรามี

และ

ภาพรวมภาพใหญ่จาก Michael Friendly นั้นมีประโยชน์สำหรับฉันมาก: psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/…

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

— shabbychef

ขอบคุณ! ฉันจะดู (โดยวิธีการที่ฉันเป็นเพียงการล้อเล่นตามตัวเลือกของตัวอักษร 'h' สำหรับ 'อธิบาย' และ 'e' สำหรับ 'รวม') คำถามที่น่าสนใจโดยวิธี; (+1) จากฉัน

— พระคาร์ดินัล

@cardinal ฉันมีคาเฟอีนไม่เพียงพอที่จะสังเกตเห็นเรื่องตลก ใช่วิชาว่าด้วยความจำไม่ดี แต่ตัวเลือกของ

และ

(และ

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$ ) นั้นค่อนข้างมาตรฐาน

— shabbychef

เรื่องตลกไม่ดีพอที่มันจะต้องคาเฟอีนจำนวนมากที่จะสังเกตเห็น

— พระคาร์ดินัล

ฉันจินตนาการว่าภาพรวมที่เป็นประโยชน์จะออกมาจากการสังเกตที่

การทดสอบเหล่านี้บางส่วนเป็นบรรทัดฐานของเวกเตอร์ดังนั้นการติดตามของ Hotelling-Lawley จึงเป็นมาตรฐาน , และรากที่ใหญ่ที่สุดของ Roy คือ norm, ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ ∞ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
การทดสอบเหล่านี้บางส่วนอาจเป็นบรรทัดฐานของเมทริกซ์ เช่นรากที่ใหญ่ที่สุดของ Roy คือสเปกตรัมหรือ , norm $HE^{-1}$ $l_2$ 2 $\| H E^{-1} \|_2$
การทดสอบบางอย่างอาจอยู่ในรูปแบบของเอนโทรปีทั่วไปเช่นร่องรอยของ Hotelling-Lawley คือ GE (1) รากที่ใหญ่ที่สุดของ Roy คือ GE ( ) และ Wilks ' คือ GE (-1) ใน $\infty$ $\Lambda$ , ถึงการแปลงเสียงเดียว $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

เมื่อบรรทัดฐานอื่นหรือพารามิเตอร์เอนโทรปีทั่วไปอื่น ๆ ได้รับความบันเทิงสถิติอื่น ๆ อาจมาถึงที่อาจมีความหมาย ฉันสงสัยว่าพวกเขาคนใดจะผลิตคุณ $\psi_2$

— StasK
แหล่งที่มา

ผมเชื่อว่าเรามี

ที่

มีค่าลักษณะเฉพาะของ

แต่นั่นดูเหมือนจะไม่ได้รับฉันทุกที่ ผมคิดว่าผมไม่ทราบว่าพอเกี่ยวกับการกระจายของผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะที่ ...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— shabbychef