ตรวจสอบว่ากระบวนการกระจายแบบเทลด์หนักได้รับการปรับปรุงอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่

ฉันสังเกตเวลาประมวลผลของกระบวนการก่อนและหลังการเปลี่ยนแปลงเพื่อค้นหาหากกระบวนการได้รับการปรับปรุงโดยการเปลี่ยนแปลง กระบวนการได้รับการปรับปรุงหากเวลาในการประมวลผลลดลง การกระจายเวลาของการประมวลผลเป็นแบบเทลด์ไขมันดังนั้นการเปรียบเทียบตามค่าเฉลี่ยจึงไม่สมเหตุสมผล แต่ฉันอยากทราบว่าความน่าจะเป็นในการสังเกตเวลาประมวลผลที่ลดลงหลังจากการเปลี่ยนแปลงนั้นสูงกว่า 50% หรือไม่

ให้เป็นตัวแปรสุ่มสำหรับเวลาการประมวลผลหลังจากการเปลี่ยนแปลงและYเป็นหนึ่งก่อน ถ้าP ( X < Y )สูงกว่า0.5อย่างมีนัยสำคัญฉันจะบอกว่ากระบวนการได้รับการปรับปรุง$X$$Y$$P(X < Y)$$0.5$

ตอนนี้ฉันมีสังเกตx ฉันของXและเมตรสังเกตY ญของY สังเกตน่าจะเป็นของP ( X < Y )คือP = $n$$x_i$$X$$m$$y_j$$Y$$P(X < Y)$J$\hat p = \frac{1}{n m} \sum_i \sum_j 1_{x_i < y_j}$

ฉันจะพูดอะไรเกี่ยวกับได้จากการสังเกตการณ์x iและy j ?$P(X < Y)$$x_i$$y_j$

ประมาณการของคุณPเท่ากับ Mann-Whitney Uสถิติหารด้วยมn (ขอบคุณเกลน!) และดังนั้นจึงเทียบเท่ากับ Wilcoxon ยศรวมสถิติW (ยังเป็นที่รู้จักกันเป็นสถิติ Wilcoxon-Mann-Whitney): W = U + n ( n + 1 )$\hat{p}$$U$$mn$$W$$W = U + {n(n+1)\over{2}}$โดยที่$n$คือขนาดตัวอย่างของ$y$(สมมติว่าไม่มีความสัมพันธ์) ดังนั้นคุณสามารถใช้ตาราง / ซอฟต์แวร์ของการทดสอบ Wilcoxon และเปลี่ยนกลับเป็น$U$เพื่อรับช่วงความเชื่อมั่นหรือค่า$p$

ให้$m$เป็นขนาดของกลุ่มตัวอย่างของ$x$ , $N$ = $m+n$ n จากนั้น asymptotically

$W^* = \frac{W-\frac{m(N+1)}{2}}{\sqrt{\frac{mn(N+1)}{12}}} \sim \text{N}(0,1)$

ที่มา: Hollander และ Wolfe , วิธีการทางสถิติแบบไม่อิงพารามิเตอร์, ประมาณ p. 117 แต่อาจเป็นหนังสือสถิติที่ไม่ใช่พารามิเตอร์ส่วนใหญ่ที่จะพาคุณไปที่นั่น

@ jbowman ให้วิธีแก้ปัญหามาตรฐาน (ดี) กับปัญหาของการประมาณซึ่งรู้จักกันในชื่อแบบจำลองความเค้น - ความเครียด$\theta=P(X<Y)$

$X$$Y$

ตามคำนิยามที่เรามี

$F_X$$X$$f_Y$$Y$$X$$Y$$F_X$$f_Y$$\theta$

สิ่งนี้ถูกนำไปใช้ในรหัส R ต่อไปนี้โดยใช้เคอร์เนล Gaussian

# Optimal bandwidth
h = function(x){
n = length(x)
return((4*sqrt(var(x))^5/(3*n))^(1/5))
}

# Kernel estimators of the density and the distribution
kg = function(x,data){
hb = h(data)
k = r = length(x)
for(i in 1:k) r[i] = mean(dnorm((x[i]-data)/hb))/hb
return(r )
} 

KG = function(x,data){
hb = h(data)
k = r = length(x)
for(i in 1:k) r[i] = mean(pnorm((x[i]-data)/hb))
return(r )
} 

# Baklizi and Eidous (2006) estimator
nonpest = function(dat1B,dat2B){
return( as.numeric(integrate(function(x) KG(x,dat1B)*kg(x,dat2B),-Inf,Inf)$value))  
}

# Example when X and Y are Cauchy
datx = rcauchy(100,0,1)
daty =  rcauchy(100,0,1)

nonpest(datx,daty)

$\theta$

# bootstrap
B=1000
p = rep(0,B)

for(j in 1:B){
dat1 =  sample(datx,length(datx),replace=T)
dat2 =  sample(daty,length(daty),replace=T)
p[j] = nonpest(dat1,dat2)
}

# histogram of the bootstrap sample
hist(p)

# A confidence interval (quantile type)
c(quantile(p,0.025),quantile(p,0.975))

ช่วงเวลา bootstrap ประเภทอื่น ๆอาจได้รับการพิจารณาเช่นกัน

$X_i-Y_i$$P(X_i-Y_i<0) = p$$I\{X_i-Y_i<0\}$$i=1,2,..,n$$X$$X_i < Y_i$$n$ $p=P(X_i-Y_i<0)$$X/n$