ถ้า X และ Y ไม่ได้มีความสัมพันธ์กัน X X 2 และ Y จะไม่เกี่ยวข้องกันหรือไม่

หากตัวแปรสุ่มสองตัวคือและที่ไม่เกี่ยวข้องกันเราจะรู้ได้อย่างไรว่าและไม่ได้เกี่ยวข้องกัน สมมติฐานของฉันคือใช่ $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ uncorrelated หมายถึงหรือ $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

นั่นหมายถึงสิ่งต่อไปนี้ด้วยหรือไม่

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— Vegard Stikbakke
แหล่งที่มา

ใช่. คำถามนี้ถูกถามและตอบก่อนหน้านี้ แต่ฉันไม่พบการอ้างอิงเฉพาะจากอุปกรณ์มือถือของฉัน

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate ดูเหมือนว่าคำตอบที่ยอมรับแล้วมีตัวอย่างเคาน์เตอร์

— กลุ่ม

@DilipSarwate คุณต้องหมายถึง "ไม่" แทนที่จะเป็น "ใช่" ในความคิดเห็นของคุณ!

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

@amoeba รุ่นดั้งเดิมของคำถามที่ถามเกี่ยวกับความเป็นอิสระซึ่งคำตอบคือใช่แน่นอน มันได้รับการแก้ไขเพื่อถามเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มที่ไม่เกี่ยวข้อง ฉันไม่สามารถเปลี่ยนความคิดเห็นของฉันตอนนี้

— Dilip Sarwate

คำถามเดิมค่อนข้างสับสนเนื่องจากใช้นิยามความเป็นอิสระที่ผิด คำถามปัจจุบันยังคงสับสนเนื่องจากมันอ้างว่าการหักที่ไม่เหมาะสมจากการไม่เกี่ยวข้อง (มันถือว่า

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ ) ฉันหวังว่า @vegardstikbakke อ่านคำจำกัดความที่เหมาะสมเกี่ยวกับความเป็นอิสระและไม่เกี่ยวข้องกับตัวอย่าง

— Meni Rosenfeld

คำตอบ:

ตัวอย่าง A:

ขอให้จะกระจายอย่างสม่ำเสมอบน , 2 $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

ดังนั้นและ (เป็นฟังก์ชั่นคี่) ดังนั้นจึงไม่ได้ถูกแยกส่วน $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

แต่ $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

ความไม่เท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายตามมาจากความไม่เท่าเทียมของเจนเซ่น นอกจากนี้ยังตามมาจากความจริงที่ว่า เนื่องจากไม่คงที่ $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

ปัญหาเกี่ยวกับเหตุผลของคุณคืออาจขึ้นอยู่กับและในทางกลับกันดังนั้นความเท่าเทียมสุดท้ายของคุณจึงไม่ถูกต้อง $f_X$ $y$

— Jakub Bartczuk
แหล่งที่มา

ไม่จำเป็นต้องทำให้มันซับซ้อนขึ้นด้วยความไม่เท่าเทียมของเจนเซ่น

เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ลบและไม่ใช่

wp 1 ดังนั้น

(หรือคุณสามารถทำ

และดูได้อย่างง่ายดาย)

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

— แบทแมน

คุณควรเพิ่มพล็อต ฉันกำลังพิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกัน (Y = | X | เมื่อ -1: +1) แต่จะมีการนำเสนอที่มองเห็นได้

— Anony-Mousse

@ แบทแมนฉันไม่เห็นว่ามันจะช่วยอะไรคุณได้บ้างตั้งแต่เราสนใจถ้า

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

— Jakub Bartczuk

@ Anony-Mousse ไม่จำเป็นต้อง จำกัด Y. Y = | X | ตรงตามความต้องการ

— Loren Pechtel

LorenPechtel สำหรับการสร้างภาพ เพราะ IMHO เป็นการดีกว่าที่จะดูว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้นได้และไม่ใช่แค่ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ตามที่ต้องการ

— Anony-Mousse

แม้ว่าไม่เพียง แต่เป็นไปได้ที่และจะสัมพันธ์กัน แต่พวกเขาอาจจะมีความสัมพันธ์อย่างสมบูรณ์แบบด้วย : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

หรือ : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

ในกรณีที่คุณไม่สามารถอ่านรหัส Rตัวอย่างแรกเทียบเท่ากับการพิจารณาตัวแปรสุ่มสองตัวและมีการแจกแจงแบบร่วมเช่นมีแนวโน้มที่จะเท่ากัน , หรือ )ในตัวอย่างที่มีความสัมพันธ์เชิงลบอย่างสมบูรณ์แบบมีแนวโน้มที่จะเท่ากัน $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

$X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— สีเงิน
แหล่งที่มา

$E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$ The two coincide if

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ , i.e. if

X

$X$ and

Y

$Y$ are independent. Being uncorrelated is a necessary but not sufficient condition for being independent. So if two variables

X

$X$ and

Y

$Y$ are uncorrelated but dependent, then

f (X)

$f(X)$ and

g (Y)

$g(Y)$ may be correlated.

— Luca Citi
แหล่งที่มา