ทำไมความจริงที่ว่า 1 มัธยฐานต่ำกว่าค่ามัธยฐานอื่นหมายความว่าส่วนใหญ่ในกลุ่ม 1 ต่ำกว่าในกลุ่มที่ 2 มากที่สุด?

ฉันเชื่อว่ากล่องสี่เหลี่ยมด้านล่างอาจตีความได้ว่า "ผู้ชายส่วนใหญ่เร็วกว่าผู้หญิงส่วนใหญ่" (ในชุดข้อมูลนี้) ส่วนใหญ่เป็นเพราะเวลาเฉลี่ยของผู้ชายต่ำกว่าเวลาเฉลี่ยของผู้หญิง แต่หลักสูตร EdX สำหรับแบบทดสอบ R และสถิติบอกฉันว่าไม่ถูกต้อง โปรดช่วยฉันเข้าใจว่าทำไมปรีชาของฉันไม่ถูกต้อง

นี่คือคำถาม:

ลองพิจารณาตัวอย่างของนักสำเร็จจากนิวยอร์กซิตี้มาราธอนในปี 2002 ชุดข้อมูลนี้สามารถพบได้ในแพคเกจ UsingR โหลดไลบรารีจากนั้นโหลดชุดข้อมูล nym.2002

library(dplyr)
data(nym.2002, package="UsingR")

ใช้บ็อกซ์พล็อตและฮิสโทแกรมเพื่อเปรียบเทียบเวลาสิ้นสุดของชายและหญิง ข้อใดต่อไปนี้อธิบายความแตกต่างได้ดีที่สุด

1. เพศชายและเพศหญิงมีการกระจายตัวเหมือนกัน
2. ผู้ชายส่วนใหญ่เร็วกว่าผู้หญิงส่วนใหญ่
3. ตัวผู้และตัวเมียมีการแจกแจงเบ้คล้ายกันกับแบบก่อนหน้านี้, 20 นาทีเปลี่ยนไปทางซ้าย
4. การแจกแจงทั้งสองแบบจะกระจายตามปกติโดยมีความแตกต่างในค่าเฉลี่ยประมาณ 30 นาที

ที่นี่เวลา NYC มาราธอนสำหรับชายและหญิงเป็น quantiles, histograms และ boxplots:

# Men's time quantile
      0%      25%      50%      75%     100% 
147.3333 226.1333 256.0167 290.6375 508.0833

# Women's time quantile
      0%      25%      50%      75%     100% 
175.5333 250.8208 277.7250 309.4625 566.7833

ฉันคิดว่าเหตุผลที่คุณทำเครื่องหมายว่าไม่ถูกต้องนั้นไม่มากที่คำตอบที่คุณให้กับคำถามหลายคำนั้นผิด แต่ตัวเลือกที่ 3 "ชายและหญิงมีการแจกแจงเบ้คล้ายกันกับอดีต 20 นาทีเปลี่ยนไปทางซ้าย" จะเป็นทางเลือกที่ดีกว่าเนื่องจากเป็นข้อมูลที่มากขึ้นตามข้อมูลที่ให้ไว้

นี่คือตัวอย่างที่เล็กที่สุดที่ฉันสามารถหาได้:

• A ( [1, 4, 10])และB ( [0, 6, 9]) มีค่าเฉลี่ยเท่ากัน ( 5)

• Bมีค่ามัธยฐานที่ใหญ่กว่า ( 6) มากกว่าA ( 4)

• มีความน่าจะเป็น 5/9 ว่าองค์ประกอบAสุ่มมีขนาดใหญ่กว่าองค์ประกอบBสุ่ม

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่มี 4 องค์ประกอบ:

"ผู้ชายส่วนใหญ่เร็วกว่าผู้หญิงส่วนใหญ่" อาจจะคลุมเครือเล็กน้อย แต่โดยปกติแล้วฉันจะตีความเจตนาของมันว่าถ้าเราดูที่การสุ่มตัวอย่างแบบสุ่มเวลาส่วนใหญ่ผู้ชายจะเร็วขึ้น - เช่น $P(M_i<F_j)>\frac12$ สำหรับการสุ่ม $i,j$ (ในกรณีที่ $M_i$ ถึงเวลาแล้ว $i$ชายคนที่เป็นต้น)

แน่นอนว่าการตีความวลีอื่น ๆ นั้นเป็นไปได้ (นั่นคือความกำกวม) และความเป็นไปได้อื่น ๆ เหล่านั้นอาจสอดคล้องกับเหตุผลของคุณ

[เรายังมีปัญหาว่าเรากำลังพูดถึงตัวอย่างหรือประชากร ... "ผู้ชายส่วนใหญ่ [... ] ผู้หญิงส่วนใหญ่" ดูเหมือนว่าจะเป็นคำแถลงประชากร (ประมาณประชากรที่มีศักยภาพ) แต่เราสังเกตเวลาเท่านั้น ที่เราดูเหมือนจะปฏิบัติต่อเป็นตัวอย่างดังนั้นเราจึงต้องระมัดระวังด้วยวิธีที่เราเรียกร้องในวงกว้าง]

สังเกตได้ว่า $P(M_i<F_j)>\frac12$ ไม่ได้บอกเป็นนัยโดย $\widetilde{M}<\widetilde{F}$. พวกเขาสามารถไปในทิศทางตรงกันข้าม

[ฉันไม่ได้บอกว่าคุณคิดผิดว่าสัดส่วนของคู่เอ็มเอฟสุ่มที่ชายนั้นเร็วกว่าผู้หญิงมากกว่า 1/2 - คุณเกือบถูกต้องแน่นอน ฉันแค่บอกว่าคุณไม่สามารถบอกได้โดยการเปรียบเทียบค่ามัธยฐาน คุณไม่สามารถบอกได้โดยดูที่สัดส่วนในแต่ละตัวอย่างด้านบนหรือด้านล่างค่ามัธยฐานของตัวอย่างอื่น คุณจะต้องทำการเปรียบเทียบที่แตกต่างกัน]

นั่นคือในขณะที่คนมัธยฐานอาจเร็วกว่าผู้หญิงมัธยฐาน แต่ก็มีความเป็นไปได้ที่จะมีตัวอย่างของเวลา (หรือการกระจายครั้งต่อเนื่องสำหรับเรื่องนั้น) ซึ่งโอกาสที่ผู้ชายแบบสุ่มจะเร็วกว่าผู้หญิงแบบสุ่มคือน้อยกว่า$\frac12$. ในตัวอย่างขนาดใหญ่สิ่งบ่งชี้ตรงกันข้ามสองตัวสามารถมีความหมายได้

ตัวอย่าง:

ชุดข้อมูล A:

 1.58  2.10 16.64 17.34 18.74 19.90  1.53  2.78 16.48 17.53 18.57 19.05
 1.64  2.01 16.79 17.10 18.14 19.70  1.25  2.73 16.19 17.76 18.82 19.08
 1.42  2.56 16.73 17.01 18.86 19.98

ชุดข้อมูล B:

 3.35  4.62  5.03 20.97 21.25 22.92  3.12  4.83  5.29 20.82 21.64 22.06
 3.39  4.67  5.34 20.52 21.10 22.29  3.38  4.96  5.70 20.45 21.67 22.89
 3.44  4.13  6.00 20.85 21.82 22.05

ชุดข้อมูล C:

 6.63  7.92  8.15  9.97 23.34 24.70  6.40  7.54  8.24  9.37 23.33 24.26
 6.18  7.74  8.63  9.62 23.07 24.80  6.54  7.37  8.37  9.09 23.22 24.16
 6.57  7.58  8.81  9.08 23.43 24.45

(ข้อมูลอยู่ที่นี่แต่ถูกใช้เพื่อจุดประสงค์อื่นที่นั่น - สำหรับความทรงจำของฉันฉันสร้างสิ่งนี้ด้วยตัวเอง)

โปรดทราบว่าสัดส่วนของ <B's คือ 2/3 สัดส่วนของ A <C คือ 5/9 และสัดส่วนของ B <C คือ 2/3 ทั้ง A กับ B และ B กับ C มีนัยสำคัญที่ระดับ 5% แต่เราสามารถบรรลุระดับความสำคัญใด ๆ เพียงแค่เพิ่มสำเนาตัวอย่างที่เพียงพอ เราสามารถหลีกเลี่ยงความสัมพันธ์ได้ด้วยการทำซ้ำตัวอย่าง แต่เพิ่มความกระวนกระวายใจอย่างพอเพียง (เล็กกว่าช่องว่างที่เล็กที่สุดระหว่างคะแนน)

ค่ามัธยฐานตัวอย่างไปในทิศทางอื่น: ค่ามัธยฐาน (A)> ค่ามัธยฐาน (B)> ค่ามัธยฐาน (C)

เราสามารถบรรลุความสำคัญอีกครั้งสำหรับการเปรียบเทียบค่ามัธยฐาน - ถึงระดับความสำคัญใด ๆ - โดยการทำซ้ำตัวอย่าง

เพื่อเชื่อมโยงกับปัญหาปัจจุบันลองจินตนาการว่า A คือ "เวลาของผู้หญิง" และ B คือ "เวลาของผู้ชาย" จากนั้นค่ามัธยฐานของผู้ชายจะเร็วขึ้น แต่คนที่เลือกแบบสุ่มจะ 2/3 ของเวลานั้นช้ากว่าผู้หญิงที่ถูกสุ่มเลือก

รับคิวของเราจากตัวอย่าง A และ C เราสามารถสร้างชุดข้อมูลที่ใหญ่ขึ้น (ใน R) ดังนี้:

n <- 300
F <- c(runif(n/3,0,5),runif(n-n/3,15,20))
M <- c(runif(n-n/3,7.5,12.5),runif(n/3,22.5,27.5))

ค่ามัธยฐานของ F จะอยู่ที่ประมาณ 16.25 ในขณะที่ค่ามัธยฐานของ M จะอยู่ที่ประมาณ 11.25 แต่สัดส่วนของกรณีที่ F <M จะเท่ากับ 5/9

[ถ้าเราแทนที่ n / 3 ด้วยตัวแปรทวินามด้วยพารามิเตอร์ $n$ และ $\frac13$ เราจะสุ่มตัวอย่างจากประชากรที่ค่ามัธยฐานของการกระจายตัวของ F อยู่ที่ 16.25 ในขณะที่ค่ามัธยฐานของการกระจายตัวของ M อยู่ที่ 11.25 ความน่าจะเป็นที่ F <M จะอยู่ที่ 5/9 อีกครั้ง]

ทราบด้วยว่า $P(F<\text{med}(M))=\frac23$ และ $P(M>\text{med}(F))=\frac23$ ในขณะที่ $\text{med}(M)<\text{med}(F)$ (ตามระยะทางที่สำคัญ)

ตัวเลขต่อไปนี้นำมาจากโพสต์บล็อกนี้ซึ่งแสดงให้เห็นถึงการใช้งานจริงที่สำคัญของแนวคิดเหล่านี้

การกำหนดมาตรฐานให้อุปกรณ์ที่มีประสิทธิภาพสำหรับการเปรียบเทียบ 2 ดิสทริบิวชัน ตัวเลข 3 ตัวอย่างต่อไปนี้เปรียบเทียบความสูงของเด็กชายและเด็กหญิงอายุ 130 เดือนจากโครงการตรวจวัดระดับเด็กแห่งชาติของอังกฤษ (NCMP) (นี่คืออายุที่เป็นกิริยาช่วยในชุดข้อมูลนี้ฉันเลือกเพียงเพื่อให้ได้รับข้อมูลมากที่สุดและดังนั้นแผนการที่ราบรื่นที่สุดภายในกลุ่มอายุเดียว)

รูปที่ 1: ความสูงของเด็กชายและเด็กหญิงอายุ 130 เดือนจากโครงการตรวจเด็กแห่งชาติของอังกฤษ (NCMP)

รูปที่ 2:เปอร์เซ็นต์ความสูงสำหรับเด็กชายและเด็กหญิงอายุ 130 เดือน ที่มา: English NCMP

รูปที่ 3: การกระจายของความสูงของเด็กหญิงอายุ 130 เดือนที่สัมพันธ์กับเด็กชายในวัยเดียวกัน

ในช่วงสุดท้ายของตัวเลขเหล่านี้การเปรียบเทียบความสูงได้มาตรฐานตามความสูงของเด็กผู้ชาย ดังนั้นการอ่านตามเส้นสีเทาประในรูปที่ 3 คุณสามารถสร้างข้อความเช่น:

• ค่ามัธยฐาน (เช่นความสูง 50 เปอร์เซ็นไทล์) สำหรับเด็กผู้ชายนั้นเป็นเพียงประมาณร้อยละ 45 สำหรับผู้หญิง ดังนั้น 100% - 45% = 55% ของผู้หญิงสูงกว่าค่ามัธยฐานของเด็ก
• ความสูงควอไทล์อันดับหนึ่ง (เปอร์เซ็นไทล์ที่ 75) สำหรับเด็กผู้หญิงนั้นควอไทล์อันดับสูงสุด (เปอร์เซ็นไทล์ 80th) สำหรับเด็กผู้ชาย ดังนั้นในเด็กอายุ 130 มอสผู้หญิงที่สูงกว่า 3 จาก 4 สาวก็สูงกว่า 4 จาก 5 เด็กชาย

จุดหนึ่งของความสับสนที่เป็นไปได้ในพล็อตนี้ไม่สมควรพูดถึง แม้ว่าเส้น 45 °ของเด็กชายจะสูงกว่าโครงโค้งสีม่วงของหญิงสาว แต่การสังเกตนี้สอดคล้องกับความจริงที่รู้จักกันดีว่าในยุคนี้ . โปรดทราบว่าความสูงนี้จะสะท้อนอย่างถูกต้องในความจริงที่ว่าเส้นโค้งสีม่วงแดงเลื่อนไปทางขวาเมื่อเทียบกับเส้นสีฟ้า

วิธีการนี้ค่อนข้างทั่วไป ภายใต้การเปรียบเทียบดังกล่าวหนึ่งในกลุ่ม - กลุ่มที่คุณสร้างมาตรฐาน - จะกลายเป็นเส้น 45 ° กลุ่มอื่น ๆโดยทั่วไปอาจเป็นเส้นโค้งที่เพิ่มขึ้นโมโนโทนใด ๆ ที่ดึงจากซ้ายล่างถึงขวาบน โดยมีเงื่อนไขว่าการแจกแจงพื้นฐานเป็นแบบต่อเนื่อง (ความหนาแน่นขาดมวลจุด) เส้นโค้งที่เปรียบเทียบจะต่อเนื่อง หากความหนาแน่นพื้นฐานใช้การสนับสนุนเดียวกันเส้นโค้งจะต้องวิ่งออกมา$(0,0)$ ถึง $(1,1)$.

ตอนนี้คำถามเดิมของคุณสามารถสร้างใหม่ได้ในแง่เรขาคณิตเป็นคำถามเกี่ยวกับว่าคุณสามารถวาดเส้นโค้งสีม่วงแดงของรูปที่ 3 เพื่อที่จะบรรลุพร้อมกัน (a) ความสัมพันธ์ที่ถูกกำหนดระหว่าง medians และ (b) ความสัมพันธ์ที่เข้าใจยากเล็กน้อย @Glen_b อธิบายอย่างชัดเจน (ถูกต้องฉันเชื่อ) ในคำตอบของเขา ฉันสงสัยว่าการไม่ต่อเนื่องแบบกระจาย (จุดจำนวนมากในความหนาแน่น) อาจเปิดใช้งานกรณี 'พยาธิวิทยา' หรือไม่ ฉันเดาว่ากรณีทางพยาธิวิทยาใด ๆ จะเป็น 'ข้อยกเว้นที่พิสูจน์กฎ'

หากเราใช้การตอบคำถามแบบตรงไปตรงมาที่สุดการแปลอย่างมีเหตุผลของคุณให้เป็นภาษาทางการที่ตอบสนองต่อการวิเคราะห์มากขึ้นแล้ว (โดยใช้การตั้งค่าความสูงของเด็กจากด้านบน) เราอาจต้องการพูดถึงบุคคล $x$ TMB มีคุณสมบัติถ้า $x$เป็นเสื้อ aller กว่าเมตร ost ข oys จากนั้นคำถามตอบคำถามของคุณถามว่าผู้หญิงส่วนใหญ่มีคุณสมบัติ TMBหรือไม่ ถ้าใครนิยาม 'ส่วนใหญ่' ให้หมายถึงมากกว่าครึ่งแล้วการมีคุณสมบัติ TMB หมายถึงสูงกว่าเด็กผู้ชายที่มีค่ามัธยฐาน การถามว่าผู้หญิงส่วนใหญ่มีคุณสมบัติ TMB หรือไม่นั้นมีจำนวนเท่ากับการถามว่าหญิงสาวมีค่ามัธยฐานหรือไม่ ในบัญชีนี้คำตอบสำหรับคำถามแบบทดสอบจะใช่

ในทางกลับกันหากความตั้งใจที่แท้จริงของ 'มากที่สุด' คือ "> 50%" หนึ่งอาจคาดหวังว่าวลีส่วนใหญ่ "แม่นยำ" ส่วนใหญ่จะได้รับการว่าจ้าง ถ้าใครบางคนบอกฉันบางอย่าง "อาจจะเกิดขึ้น" ฉันจะคิดว่าความน่าจะเป็นอัตวิสัยที่ 60% หรือมากกว่านั้นถูกพาดพิงถึง สำหรับฉัน "ส่วนใหญ่" หมายถึงบางสิ่งบางอย่างที่มากขึ้นเช่น 70–80% เห็นได้ชัดว่าจากพล็อตข้างต้นหาก 'ส่วนใหญ่' เป็นเกณฑ์ที่เข้มงวดกว่า 52.5% คุณจะไม่สามารถพูดว่า "เด็กผู้หญิงส่วนใหญ่ [มีทรัพย์สินที่พวกเขา] สูงกว่าเด็กผู้ชายส่วนใหญ่" ฉันสงสัยว่าเหตุผลส่วนหนึ่งของคำถามคำถามคือเพื่อกระตุ้นการตรวจคำที่เกี่ยวข้องกับความคิดเชิงตัวเลข (ถ้าคุณคิดว่ามันโง่ไปหน่อยลองพิจารณาดูกราฟเหล่านี้ดูแสดงให้เห็นว่าผู้คนมีแนวโน้มที่จะตีความคำและวลีที่น่าจะเป็นไปได้ที่แตกต่างกัน) บางทีความตั้งใจก็เพื่อเน้นจุดที่มีการเปลี่ยนแปลงมากมายในการแจกแจงในโลกแห่งความเป็นจริงและสถิติเดียว (มัธยฐานหมายถึง คุณ) ไม่ค่อยสนับสนุนงบที่กว้างขวางและกว้างไกล