เราจะหาความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มสูงสุดได้อย่างไร

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ สมมติว่าเรามีตัวแปรสุ่มอิสระ , ,ด้วยวิธีการ จำกัดและความแปรปรวน , , 2 ฉันกำลังมองหาขอบเขตการกระจายฟรีที่น่าจะเป็นที่ใดมีขนาดใหญ่กว่าอื่น ๆ ทั้งหมด ,ฉัน $N$ $X_1$ $\ldots$ $X_n$ $\mu_1 \leq \ldots \leq \mu_N$ $\sigma_1^2$ $\ldots$ $\sigma_N^2$ $X_i \neq X_N$ $X_j$ $j \neq i$

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าเพื่อความง่ายเราถือว่าการแจกแจงของนั้นต่อเนื่อง (เช่น ) ฉันกำลังมองหาขอบเขตบน: ถ้าเราสามารถใช้อสมการของ Chebyshev เพื่อรับ: ฉันอยากจะพบบางอย่างง่าย (ไม่จำเป็นต้องแน่น) ขอบเขตทั่วไปแต่ผมยังไม่ได้รับสามารถที่จะหา (esthetically) ผลที่ชื่นชอบสำหรับทั่วไปไม่มี $X_i$ $\P(X_i = X_j) = 0$

P (X_{i} = max_{j} X_{j}) .

$\P( X_i = \max_j X_j ) \enspace.$

N = 2

$N=2$

P (X_{1} = max_{j} X_{j}) = P (X_{1} > X_{2}) \leq \frac{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}}{σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} + (μ_{1} - μ_{2})^{2}} .

$\P(X_1 = \max_j X_j) = \P(X_1 > X_2) \leq \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2} \enspace.$

N

$N$

N

$N$

โปรดทราบว่าตัวแปรจะไม่ถือว่าเป็น iid ข้อเสนอแนะหรือการอ้างอิงถึงงานที่เกี่ยวข้องใด ๆ ยินดีต้อนรับ

ปรับปรุง: จำได้ว่าโดยสมมติฐาน $\mu_j \geq \mu_i$ \ จากนั้นเราสามารถใช้ขอบเขตด้านบนเพื่อไปที่:

P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \leq min_{j > i} \frac{σ_{i}^{2} + σ_{j}^{2}}{σ_{i}^{2} + σ_{j}^{2} + (μ_{j} - μ_{i})^{2}} \leq \frac{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2}}{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2} + (μ_{N} - μ_{i})^{2}} .

$\P(X_i = \max_j X_j) \leq \min_{j > i} \frac{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}{\sigma_i^2 + \sigma_j^2 + (\mu_j - \mu_i)^2} \leq \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \enspace.$ นี่หมายถึง:

(μ_{N} - μ_{i}) P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \leq (μ_{N} - μ_{i}) \frac{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2}}{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2} + (μ_{N} - μ_{i})^{2}} \leq \frac{1}{2} \sqrt{σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2}} .

$( \mu_N - \mu_i ) \P( X_i = \max_j X_j ) \leq (\mu_N - \mu_i) \frac{\sigma_i^2 + \sigma_N^2}{\sigma_i^2 + \sigma_N^2 + (\mu_N - \mu_i)^2} \leq \frac{1}{2} \sqrt{ \sigma_i^2 + \sigma_N^2 } \enspace.$ นี่หมายความว่า:

\sum_{i = 1}^{N} μ_{i} P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \geq μ_{N} - \frac{N}{2} \sqrt{\sum_{i = 1}^{N - 1} (σ_{i}^{2} + σ_{N}^{2})} .

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \frac{N}{2} \sqrt{ \sum_{i=1}^{N-1} (\sigma_i^2 + \sigma_N^2) } \enspace.$ ตอนนี้ผมกำลังสงสัยว่านี้ถูกผูกไว้จะดีขึ้นกับสิ่งที่ไม่ได้ขึ้นอยู่เส้นตรงกับNตัวอย่างเช่นทำการระงับต่อไปนี้: และถ้าไม่เช่นนั้นอาจเป็นตัวอย่างได้อย่างไร

N

$N$

\sum_{i = 1}^{N} μ_{i} P (X_{i} = max_{j} X_{j}) \geq μ_{N} - \sqrt{\sum_{i = 1}^{N} σ_{i}^{2}} ?

$\sum_{i=1}^N \mu_i \P( X_i = \max_j X_j ) \geq \mu_N - \sqrt{ \sum_{i=1}^N \sigma_i^2 } \enspace?$

probability bounds maximum

— MLS
แหล่งที่มา

ที่ถูกผูกไว้นี้อาจจะเข้มงวดมากขึ้นถ้าคุณใช้ดัชนีที่ช่วยให้คุณมีขนาดเล็กที่ถูกผูกไว้บนแทนNโปรดทราบว่าค่านี้ขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

j

$j$

N

$N$

@MichaelChernick: ฉันไม่เชื่อว่าถูกต้อง สมมติเช่นเรามีสามกระจายเครื่องแบบ[0,1]แล้วถ้าฉันไม่ผิด,ขณะที่1/2 ฉันไม่ทราบว่าคุณตั้งใจจะเขียนแต่จากนั้นตัวอย่างเดียวกันแสดงให้เห็นว่ายังไม่ถูกต้อง

[0, 1]

$[0,1]$

P (X_{1} < max_{j} X_{j}) = 2 / 3

$P( X_1 < \max_j X_j ) = 2/3$

P (X_{1} < X_{2}) = P (X_{1} < X_{3}) = 1 / 2

$P(X_1 < X_2) = P(X_1 < X_3) = 1/2$

P (X_{i} > max_{j} X_{j})

$P( X_i > \max_j X_j )$

— MLS

@Michael: นั่นยังไม่เป็นความจริงโชคไม่ดี เหตุการณ์สำหรับการแก้ไขไม่ได้เป็นอิสระ

A_{j} = {X_{i} > X_{j}}

$A_j = \{X_i > X_j\}$

i

$i$

— พระคาร์ดินัล

P (X_{N} = max_{j} X_{j})

$P(X_N = \max_j X_j)$

Crossposted สู่ MathOverflow: mathoverflow.net/questions/99313

— คาร์ดินัล

คำตอบ:

คุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมกันหลายตัวแปรของ Chebyshev

กรณีตัวแปรสองตัว

$X_1$ $X_2$

$\mu_1 < \mu_2$ $P(X_1>X_2) \leq (\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

(และฉันก็สงสัยเกี่ยวกับที่มาของคุณ)

ความเป็นมาของสมการ 1

$X_1-X_2$
เปลี่ยนมันแบบนั้นมันมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์
รับค่าสัมบูรณ์
ใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev

\begin{matrix} P (X_{1} > X_{2}) & = P (X_{1} - X_{2} > 0) \\ = P (X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}) > - (μ_{1} - μ_{2})) \\ \leq P (| X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}) | > μ_{2} - μ_{1}) \\ \leq \frac{σ_{(X_{1} - X_{2} - (μ_{1} - μ_{2}))}^{2}}{(μ_{2} - μ_{1})^{2}} = \frac{σ_{X_{1}}^{2} + σ_{X_{2}}^{2}}{(μ_{2} - μ_{1})^{2}} \end{matrix}

$\begin{array} \\ P \left( X_1 > X_2 \right) &= P \left( X_1 - X_2 > 0 \right)\\ &= P\left( X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) > - (\mu_1 - \mu_2)\right) \\ &\leq P\left( \vert X_1 - X_2 - (\mu_1 - \mu_2) \vert > \mu_2 - \mu_1\right) \\ &\leq \frac{\sigma_{(X_1-X_2- (\mu_1 - \mu_2))}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2} = \frac{\sigma_{X_1}^2+\sigma_{X_2}^2}{(\mu_2 - \mu_1)^2}\\ \end{array}$

กรณีหลายตัวแปร

$(X_n-X_i)$ $i<n$

วิธีการแก้ไขปัญหานี้ (หลายตัวแปรและสัมพันธ์) ได้รับการอธิบายโดย I. Olkin และ JW Pratt 'A Multivariate Tchebycheff Inequality' ในพงศาวดารของคณิตศาสตร์สถิติเล่มที่ 29 หน้า 226-234 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706720

หมายเหตุทฤษฎีบท 2.3

$P(\vert y_i \vert \geq k_i \sigma_i \text{ for some } i) = P(\vert x_i \vert \geq 1 \text{ for some } i) \leq \frac{(\sqrt{u} + \sqrt{(pt-u)(p-1)})^2}{p^2}$

$p$ $t=\sum k_i^{-2}$ $u=\sum \rho_{ij}/(k_ik_j)$

ทฤษฎีบท 3.6 ให้ขอบเขตที่แน่นกว่า แต่ง่ายต่อการคำนวณน้อยกว่า

แก้ไข

$(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + (\mu_1-\mu_2)^2)$ $(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)/(\mu_1-\mu_2)^2$

ฉันไม่ได้ใช้เวลาศึกษาบทความทั้งหมด แต่อย่างไรก็ตามคุณสามารถหาวิธีแก้ไขได้ที่นี่:

AW Marshall และ I. Olkin 'ความไม่เท่าเทียมแบบด้านเดียวของ Chebyshev Type' ในพงศาวดารของ ปริมาณสถิติทางคณิตศาสตร์ 31 หน้า 488-491 https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177705913

(หมายเหตุในภายหลัง: ความไม่เท่าเทียมกันนี้มีไว้สำหรับความสัมพันธ์ที่เท่ากันและไม่เพียงพอช่วย แต่ปัญหาของคุณเพื่อค้นหาขอบเขตที่คมชัดเท่ากับความไม่เท่าเทียมกันโดยทั่วไปหลายตัวแปร Cantelli ฉันจะแปลกใจถ้าวิธีแก้ปัญหาไม่มีอยู่)

— Sextus Empiricus
แหล่งที่มา

คุณช่วยระบุแถลงการณ์ที่ชัดเจนเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันหลายตัวแปร Chebyshev ได้ไหม?

— whuber

ฉันได้แก้ไขวิธีแก้ปัญหาโดยให้ทฤษฎีบททั้งหมดแล้ว

— Sextus Empiricus

-1

ฉันได้พบทฤษฎีบทที่อาจช่วยคุณและจะพยายามปรับให้เข้ากับความต้องการของคุณ สมมติว่าคุณมี:

e x p (t \cdot E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i}))

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i}))$

จากนั้นด้วยความไม่เท่าเทียมของ Jensen (เนื่องจาก exp (.) เป็นฟังก์ชันนูน) เราได้:

e x p (t \cdot E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i})) \leq E (e x p (t \cdot \underset{1 \leq i \leq n}{m a x} X_{i})) = E (\underset{1 \leq i \leq n}{m a x} e x p (t \cdot X_{i})) \leq \sum_{i = 1}^{n} E (e x p (t \cdot X_{i})

$exp(t \cdot \mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) \leq \mathbf{E}(exp( t \cdot \underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})) = \mathbf{E}( \underset{1 \leq i \leq n}{max} \text{ }exp( t \cdot X_{i})) \leq \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} (exp(t \cdot X_{i})$

$exp(t \cdot X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbf{E}(\underset{1 \leq i \leq n}{max}X_{i})$

จากนั้นคุณมีคำสั่งเกี่ยวกับมูลค่าที่คาดหวังของสูงสุดกว่า n rvs เพื่อให้ได้คำแถลงเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของค่า rv เหล่านั้นจากค่าที่คาดหวังนี้คุณสามารถใช้ความไม่เท่าเทียมของ Markov (สมมติว่า rv ของคุณไม่เป็นลบ) หรือ rv ที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น

— เฟเบียนฟัลค์
แหล่งที่มา