วิธีจำลองข้อมูลที่เป็นไปตามข้อ จำกัด เฉพาะเช่นมีค่าเฉลี่ยเฉพาะและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

คำถามนี้กระตุ้นโดยคำถามของฉันในการวิเคราะห์อภิมาน แต่ฉันคิดว่ามันจะมีประโยชน์ในการสอนบริบทที่คุณต้องการสร้างชุดข้อมูลที่สะท้อนชุดข้อมูลที่มีอยู่เดิม

ฉันรู้วิธีสร้างข้อมูลแบบสุ่มจากการแจกแจงที่กำหนด ตัวอย่างเช่นถ้าฉันอ่านเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการศึกษาที่มี:

• ค่าเฉลี่ย 102
• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 5.2 และ
• ขนาดตัวอย่าง 72

ฉันสามารถสร้างข้อมูลที่คล้ายกันโดยใช้rnormใน R ตัวอย่างเช่น

set.seed(1234)
x <- rnorm(n=72, mean=102, sd=5.2)

แน่นอนค่าเฉลี่ยและ SD จะไม่เท่ากับ 102 และ 5.2 ตามลำดับ:

round(c(n=length(x), mean=mean(x), sd=sd(x)), 2)
##     n   mean     sd 
## 72.00 100.58   5.25 

โดยทั่วไปฉันสนใจที่จะจำลองข้อมูลที่เป็นไปตามข้อ จำกัด ในกรณีข้างต้นค่าคงที่คือขนาดตัวอย่างค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ในกรณีอื่น ๆ อาจมีข้อ จำกัด เพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น,

• ขั้นต่ำและสูงสุดในข้อมูลหรือตัวแปรพื้นฐานอาจเป็นที่รู้จัก
• ตัวแปรอาจทราบว่าใช้กับค่าจำนวนเต็มเท่านั้นหรือเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบ
• ข้อมูลอาจรวมถึงตัวแปรหลายตัวที่มีความสัมพันธ์ระหว่างกันที่รู้จักกัน

คำถาม

• โดยทั่วไปฉันจะจำลองข้อมูลที่ตรงตามข้อ จำกัด ได้อย่างไร
• มีบทความที่เขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่? มีโปรแกรมใด ๆ ใน R ที่ทำเช่นนี้หรือไม่?
• เพื่อประโยชน์ของตัวอย่างฉันจะจำลองตัวแปรอย่างไรเพื่อให้มีค่าเฉลี่ยและ sd เฉพาะ?

โดยทั่วไปจะทำให้ตัวอย่างของคุณหมายถึงความแปรปรวนและตรงเท่ากับค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้าคุณสามารถเปลี่ยนได้อย่างเหมาะสมและขนาดตัวแปร โดยเฉพาะถ้าเป็นตัวอย่างจากนั้นเป็นตัวแปรใหม่$X_1, X_2, ..., X_n$

$$Z_i = \sqrt{c_{1}} \left( \frac{X_i-\overline{X}}{s_{X}} \right) + c_{2}$$

โดยที่$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$$s^{2}_{X} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$$Z_{i}$$c_2$$c_1$

$$B_i = a + (b-a) \left( \frac{ X_i - \min (\{X_1, ..., X_n\}) }{\max (\{X_1, ..., X_n\}) - \min (\{X_1, ..., X_n\}) } \right)$$

จะผลิตชุดข้อมูลว่าจะมีการ จำกัด ช่วงเวลาB) $B_1, ..., B_n$$(a,b)$

หมายเหตุ:โดยทั่วไปการเปลี่ยน / การปรับประเภทเหล่านี้โดยทั่วไปจะเปลี่ยนตระกูลการกระจายของข้อมูลแม้ว่าข้อมูลดั้งเดิมจะมาจากตระกูลที่ตั้งขนาดก็ตาม

ในบริบทของการกระจายปกติmvrnormฟังก์ชั่นในการR ช่วยให้คุณเพื่อจำลองข้อมูลปกติ (หรือหลายตัวแปรปกติ) กับที่กำหนดไว้ล่วงหน้าตัวอย่างหมายถึง / empirical=TRUEความแปรปรวนโดยการตั้งค่า โดยเฉพาะฟังก์ชั่นนี้จำลองข้อมูลจากเงื่อนไขการกระจายของตัวแปรที่กระจายตามปกติให้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างและ (ร่วม) ความแปรปรวนเท่ากับค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้า โปรดทราบว่าการแจกแจงส่วนขยายที่เกิดขึ้นนั้นไม่ปกติตามที่ระบุโดย @whuber ในความคิดเห็นของคำถามหลัก

นี่คือตัวอย่าง univariate ง่ายๆที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (จากตัวอย่างของ ) ถูก จำกัด ให้เป็น 0 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างคือ 1 เราจะเห็นได้ว่าองค์ประกอบแรกนั้นคล้ายคลึงกับการแจกแจงแบบสม่ำเสมอมากกว่าปกติ กระจาย:$n=4$

library(MASS)
 z = rep(0,10000)
for(i in 1:10000)
{
    x = mvrnorm(n = 4, rep(0,1), 1, tol = 1e-6, empirical = TRUE)
    z[i] = x[1]
}
hist(z, col="blue")

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

เกี่ยวกับคำขอของคุณสำหรับเอกสารมี:

• Chatterjee, S. & Firat, A. (2007) การสร้างข้อมูลที่มีสถิติเหมือนกัน แต่มีกราฟิกที่แตกต่าง: ติดตามชุดข้อมูล Anscombe นักสถิติชาวอเมริกัน 61 , 3, pp. 248-254

นี่ไม่ใช่สิ่งที่คุณกำลังมองหา แต่อาจทำหน้าที่เป็นโรงโม่แป้ง

---

มีกลยุทธ์อีกอย่างที่ไม่มีใครพูดถึง เป็นไปได้ที่จะสร้างข้อมูลสุ่ม (หลอก) จากชุดขนาดซึ่งทั้งชุดมีคุณสมบัติตรงตามข้อ จำกัดตราบใดที่ข้อมูลที่เหลือถูกแก้ไขในค่าที่เหมาะสม ค่าที่ต้องการควรแก้ไขได้ด้วยระบบสมการพีชคณิตและจาระบีข้อศอก $N-k$$N$$k$$k$$k$

ยกตัวอย่างเช่นการสร้างชุดของข้อมูลจากการแจกแจงแบบปกติที่จะมีตัวอย่างให้หมายถึงและแปรปรวนคุณจะต้องแก้ไขค่าของจุดสองจุด:และZเนื่องจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ:ต้อง: ความแปรปรวนตัวอย่างคือ: ดังนั้น (หลังจากแทนที่ข้างต้นสำหรับ , การกระจาย / กระจายและจัดเรียงใหม่ ... ) เราได้รับ: $N$$\bar x$$s^2$$y$$z$

$$\bar x = \frac{\sum_{i=1}^{N-2}x_i\; + \;y\!+\!z}{N}$$ $y$ $$y = N\bar x\; - \;\left(\sum_{i=1}^{N-2}x_i\!+\!z\right)$$ $$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N-2}(x_i - \bar x)^2\; + \;(y - \bar x)^2\!+\!(z - \bar x)^2}{N-1}$$ $y$ a = - 2 b = 2 ( N ˉ x - ∑ N - 2 i = 1 x i ) c $$2(N\bar{x}\! - \!\sum_{i=1}^{N-2}x_i)z - 2z^2 = N\bar{x}^2(N\!-\!1) + \sum_{i=1}^{N-2}x_i^2 + \left[\sum_{i=1}^{N-2}x_i\right]^2 - 2N\bar{x}\sum_{i=1}^{N-2}x_i - (N\!-\!1)s^2$$ ถ้าเราใช้ ,และเป็นปฏิเสธของ RHS เราสามารถแก้ปัญหาสำหรับโดยใช้สูตรสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่นในสามารถใช้รหัสต่อไปนี้: $a=-2$$b=2(N\bar{x} - \sum_{i=1}^{N-2}x_i)$$c$$z$R

find.yz = function(x, xbar, s2){
  N    = length(x) + 2
  sumx = sum(x)
  sx2  = as.numeric(x%*%x)          # this is the sum of x^2
  a    = -2
  b    = 2*(N*xbar - sumx)
  c    = -N*xbar^2*(N-1) - sx2 - sumx^2 + 2*N*xbar*sumx + (N-1)*s2
  rt   = sqrt(b^2 - 4*a*c)

  z    = (-b + rt)/(2*a)
  y    = N*xbar - (sumx + z)
  newx = c(x, y, z)
  return(newx)
}

set.seed(62)
x    = rnorm(2)
newx = find.yz(x, xbar=0, s2=1)
newx                                # [1] 0.8012701  0.2844567  0.3757358 -1.4614627
mean(newx)                          # [1] 0
var(newx)                           # [1] 1

มีบางสิ่งที่จะเข้าใจเกี่ยวกับวิธีการนี้ อันดับแรกไม่รับประกันว่าจะทำงาน ยกตัวอย่างเช่นมันเป็นไปได้ว่าครั้งแรกของคุณข้อมูลเช่นว่าไม่มีค่าและมีอยู่ที่จะทำให้ความแปรปรวนของผลจากการตั้งค่าเท่ากับ 2 พิจารณา: Y Z s $N-2$$y$$z$$s^2$

set.seed(22)    
x    = rnorm(2)
newx = find.yz(x, xbar=0, s2=1)
Warning message:
In sqrt(b^2 - 4 * a * c) : NaNs produced
newx                                # [1] -0.5121391  2.4851837        NaN        NaN
var(c(x, mean(x), mean(x)))         # [1] 1.497324

ประการที่สองในขณะที่การกำหนดมาตรฐานทำให้การกระจายเล็กน้อยของตัวแปรทั้งหมดของคุณมีความเหมือนกันมากขึ้นวิธีการนี้มีผลเฉพาะค่าสองค่าสุดท้ายเท่านั้น

set.seed(82)
xScaled = matrix(NA, ncol=4, nrow=10000)
for(i in 1:10000){
  x           = rnorm(4)
  xScaled[i,] = scale(x)
}

set.seed(82)
xDf = matrix(NA, ncol=4, nrow=10000)
i   = 1
while(i<10001){
  x       = rnorm(2)
  xDf[i,] = try(find.yz(x, xbar=0, s2=2), silent=TRUE)  # keeps the code from crashing
  if(!is.nan(xDf[i,4])){ i = i+1 }                      # increments if worked
}

ประการที่สามตัวอย่างผลลัพธ์อาจดูไม่ปกติ มันอาจดูเหมือนว่ามี 'ค่าผิดปกติ' (เช่นจุดที่มาจากกระบวนการสร้างข้อมูลที่แตกต่างจากส่วนที่เหลือ) เนื่องจากเป็นกรณี นี่เป็นโอกาสน้อยที่จะมีปัญหากับขนาดตัวอย่างที่ใหญ่กว่าเนื่องจากสถิติตัวอย่างจากข้อมูลที่สร้างขึ้นควรรวมเข้ากับค่าที่ต้องการและทำให้ต้องมีการปรับเปลี่ยนน้อยลง ด้วยตัวอย่างขนาดเล็กคุณสามารถรวมวิธีการนี้กับอัลกอริทึมการยอมรับ / ปฏิเสธที่พยายามอีกครั้งหากตัวอย่างที่สร้างขึ้นมีสถิติรูปร่าง (เช่นความเบ้และความโด่ง) ที่อยู่นอกขอบเขตที่ยอมรับได้ (cf. , @ cardinal's comment ) หรือขยาย วิธีนี้เพื่อสร้างตัวอย่างที่มีค่าเฉลี่ยคงที่ความแปรปรวนความเบ้และkurtosis (ฉันจะทิ้งพีชคณิตให้คุณ) อีกวิธีหนึ่งคุณสามารถสร้างตัวอย่างจำนวนน้อยและใช้ตัวอย่างที่มีค่าสถิติ Kolmogorov-Smirnov ที่เล็กที่สุด

library(moments)
set.seed(7900)  
x = rnorm(18)
newx.ss7900 = find.yz(x, xbar=0, s2=1)
skewness(newx.ss7900)                       # [1] 1.832733
kurtosis(newx.ss7900) - 3                   # [1] 4.334414
ks.test(newx.ss7900, "pnorm")$statistic     # 0.1934226

set.seed(200)  
x = rnorm(18)
newx.ss200 = find.yz(x, xbar=0, s2=1)
skewness(newx.ss200)                        # [1] 0.137446
kurtosis(newx.ss200) - 3                    # [1] 0.1148834
ks.test(newx.ss200, "pnorm")$statistic      # 0.1326304 

set.seed(4700)  
x = rnorm(18)
newx.ss4700 = find.yz(x, xbar=0, s2=1)
skewness(newx.ss4700)                       # [1]  0.3258491
kurtosis(newx.ss4700) - 3                   # [1] -0.02997377
ks.test(newx.ss4700, "pnorm")$statistic     # 0.07707929S

เทคนิคทั่วไปคือ 'วิธีการปฏิเสธ' ซึ่งคุณเพียงแค่ปฏิเสธผลลัพธ์ที่ไม่ตรงตามข้อ จำกัด ของคุณ นอกจากว่าคุณจะมีคำแนะนำบางอย่าง (เช่น MCMC) คุณอาจจะสร้างหลายกรณี (ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ของคุณ) ซึ่งถูกปฏิเสธ!

ที่คุณกำลังมองหาบางอย่างเช่นค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและคุณสามารถสร้างตัวชี้วัดระยะทางเพื่อบอกว่าคุณอยู่ห่างจากเป้าหมายของคุณมากแค่ไหนคุณสามารถใช้การเพิ่มประสิทธิภาพเพื่อค้นหาตัวแปรอินพุตที่ให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ ค่า

เป็นตัวอย่างที่น่าเกลียดที่เราจะหาเวกเตอร์แบบสุ่มที่มีความยาว 100 ซึ่งมีค่าเฉลี่ย = 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 1

# simplistic optimisation example
# I am looking for a mean of zero and a standard deviation of one
# but starting from a plain uniform(0,1) distribution :-)
# create a function to optimise
fun <- function(xvec, N=100) {
  xmin <- xvec[1]
  xmax <- xvec[2]
  x <- runif(N, xmin, xmax)
  xdist <- (mean(x) - 0)^2 + (sd(x) - 1)^2
  xdist
}
xr <- optim(c(0,1), fun)

# now lets test those results
X <- runif(100, xr$par[1], xr$par[2])
mean(X) # approx 0
sd(X)   # approx 1

มีโปรแกรมใด ๆ ใน R ที่ทำเช่นนี้หรือไม่?

Runuranแพคเกจ R มีหลายวิธีในการสร้าง variates สุ่ม มันใช้ไลบรารี C จากโครงการUNU.RAN (เครื่องกำเนิดหมายเลข RAndom หมายเลขไม่สม่ำเสมอ) ความรู้ของฉันเองเกี่ยวกับสนามของการสร้างตัวแปรแบบสุ่มนั้นมี จำกัด แต่บทความใน Runuran ให้ภาพรวมที่ดี ด้านล่างนี้เป็นวิธีการที่มีอยู่ในแพ็คเกจ Runuran ซึ่งนำมาจากบทความสั้น ๆ :

การกระจายอย่างต่อเนื่อง:

• การสุ่มตัวอย่างการปฏิเสธแบบปรับตัว
• การปฏิเสธการแปลงความหนาแน่นผกผัน
• การแก้ไขพหุนามของ Inverse CDF
• วิธีอัตราส่วนง่ายของเครื่องแบบ
• ปฏิเสธการเปลี่ยนความหนาแน่น

การกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง:

• การปฏิเสธการปฏิเสธโดยอัตโนมัติแบบไม่ต่อเนื่อง
• วิธี Alias-Urn
• วิธีการตารางแนะนำสำหรับการผกผันแบบไม่ต่อเนื่อง

การกระจายหลายตัวแปร:

• อัลกอริทึม Hit-and-Run ด้วยวิธี Ratio-of-Uniforms
• วิธีการหาอัตราส่วนของชุดเครื่องแบบหลายตัวแปร

ตัวอย่าง:

สำหรับตัวอย่างอย่างรวดเร็วสมมติว่าคุณต้องการสร้างการแจกแจงแบบปกติที่ล้อมรอบระหว่าง 0 ถึง 100:

require("Runuran")

## Normal distribution bounded between 0 and 100
d1 <- urnorm(n = 1000, mean = 50, sd = 25, lb = 0, ub = 100)

summary(d1)
sd(d1)
hist(d1)

urnorm()ฟังก์ชั่นฟังก์ชั่นเสื้อคลุมสะดวก ฉันเชื่อว่าเบื้องหลังมันใช้วิธี Polynomial Interpolation ของ Inverse CDF แต่ไม่แน่ใจ สำหรับสิ่งที่ซับซ้อนกว่านั้นให้บอกว่าการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องที่ล้อมรอบอยู่ระหว่าง 0 ถึง 100:

require("Runuran")

## Discrete normal distribution bounded between 0 and 100
# Create UNU.RAN discrete distribution object
discrete <- unuran.discr.new(pv = dnorm(0:100, mean = 50, sd = 25), lb = 0, ub = 100)

# Create UNU.RAN object using the Guide-Table Method for Discrete Inversion
unr <- unuran.new(distr = discrete, method = "dgt")

# Generate random variates from the UNU.RAN object
d2 <- ur(unr = unr, n = 1000)

summary(d2)
sd(d2)
head(d2)
hist(d2)

ดูเหมือนว่าจะมีแพ็คเกจ R ที่ตอบสนองความต้องการของคุณเมื่อวานนี้! simstudyโดย Keith Goldfeld

จำลองชุดข้อมูลเพื่อสำรวจเทคนิคการสร้างแบบจำลองหรือเข้าใจกระบวนการสร้างข้อมูลได้ดีขึ้น ผู้ใช้ระบุชุดของความสัมพันธ์ระหว่าง covariates และสร้างข้อมูลตามข้อกำหนดเหล่านี้ ชุดข้อมูลสุดท้ายสามารถแสดงข้อมูลจากการทดลองควบคุมแบบสุ่มการวัดซ้ำ (ตามยาว) การออกแบบและการทดลองแบบสุ่มกลุ่ม การหายไปสามารถเกิดขึ้นได้โดยใช้กลไกต่าง ๆ (MCAR, MAR, NMAR)

นี่เป็นคำตอบที่มาช้ามากมันไม่มีความหมายอย่างแน่นอน แต่มักจะมีทางออกของคำถาม MCMC อยู่เสมอ กล่าวคือเพื่อฉายความหนาแน่นของตัวอย่างบนท่อร่วมที่กำหนดโดยข้อ จำกัด เช่น ปัญหาเดียวเท่านั้นคือในการจำลองค่าเหนือนานานั่นคือการหาพารามิเตอร์ของมิติที่ถูกต้อง 2,015 กระดาษโดย Bornn, Shephard และ Solgi ศึกษาปัญหานี้มาก (ด้วยการที่น่าสนใจคำตอบที่ดีที่สุดหากไม่ได้ )

$$\prod_{i=1}^n f(x_i)$$ $$\sum_{i=1}^n x_i=\mu_0\qquad\sum_{i=1}^n x_i^2=\sigma_0^2$$

คำตอบนี้จะพิจารณาวิธีการอื่นในการกรณีที่คุณต้องการบังคับ variates ที่จะอยู่ในช่วงที่ระบุและนอกจากนี้ยังกำหนดค่าเฉลี่ยและ / หรือความแปรปรวน

จำกัด การความสนใจของเราช่วงหน่วย[0,1]ลองใช้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักสำหรับค่าทั่วไปดังนั้นให้แก้ไขน้ำหนักด้วยหรือตั้งหากคุณต้องการน้ำหนักมาตรฐาน สมมติว่าปริมาณและเป็นตัวแทนของความแปรปรวนเฉลี่ย (น้ำหนัก) ที่ต้องการและ (ถ่วงน้ำหนัก) ตามลำดับ จำเป็นต้องใช้ขอบเขตบนของเพราะนั่นเป็นความแปรปรวนสูงสุดที่เป็นไปได้ในช่วงหน่วย เรามีความสนใจในการวาดบางตัวแปรจากด้วยข้อ จำกัด ช่วงเวลาเหล่านี้$[0,1]$$w_k\in[0,1]$$\sum_{k=1}^Nw_k=1$$w_k=1/N$$\mu\in(0,1)$$0<\sigma^2<\mu(1-\mu)$$\sigma^2$$x_1,...,x_N$$[0,1]$

ครั้งแรกที่เราวาดบาง variatesจากการจำหน่ายใด ๆ เช่น(0,1) การกระจายนี้จะส่งผลต่อรูปร่างของการกระจายขั้นสุดท้าย จากนั้นเราจะ จำกัด ช่วงเวลาโดยใช้ฟังก์ชันโลจิสติก:$y_1,...,y_N$$N(0,1)$$[0,1]$

$$x_k=\frac{1}{1+e^{-(y_k v-h)}}$$

ก่อนที่เราจะทำ แต่เท่าที่เห็นในสมการข้างต้นเราเปลี่ยน 's กับการแปลและขนาดวีนี่คล้ายกับสมการแรกในคำตอบของ @ Macro เคล็ดลับคือตอนนี้ให้เลือกและเพื่อให้ตัวแปรที่แปลงแล้วมีช่วงเวลาที่ต้องการ นั่นคือเราต้องการเก็บไว้หนึ่งหรือทั้งสองอย่างต่อไปนี้: $y_k$$h$$v$$h$$v$$x_1,...,x_N$

$$\mu=\sum_{k=1}^N \frac{w_k}{1+e^{-(y_k v-h)}} \\ \sigma^2=\sum_{k=1}^N \frac{w_k}{(1+e^{-(y_k v-h)})^2} - \left( \sum_{k=1}^N \frac{w_k}{1+e^{-(y_k v-h)}} \right)^2$$

Inverting สมการเหล่านี้สำหรับและวิเคราะห์ไม่เป็นไปได้ แต่การทำเช่นนั้นตัวเลขตรงไปตรงมาโดยเฉพาะอย่างยิ่งตั้งแต่สัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่เกี่ยวกับและมีความง่ายต่อการคำนวณ; ใช้วิธีการซ้ำสองสามครั้งของวิธีการของนิวตันเท่านั้น$v$$h$$v$$h$

เป็นตัวอย่างแรกสมมติว่าเราใส่ใจเฉพาะการควบคุมค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักไม่ใช่ความแปรปรวน แก้ไข , , , Nจากนั้นสำหรับการแจกแจงพื้นฐาน ,และเราจบด้วยฮิสโตแกรมต่อไปนี้ตามลำดับและค่าเฉลี่ยของตัวแปรเท่ากับ (แม้สำหรับขนาดเล็ก):v = 1 w k = 1 / N N = 200000 N ( 0 , 1 ) N ( 0 , 0.1 ) Unif ( 0 , 1 ) 0.8 $\mu=0.8$$v=1$$w_k=1/N$$N=200000$$N(0,1)$$N(0,0.1)$$\text{Unif}(0,1)$ $0.8$$N$

ต่อไปให้เรา จำกัด ทั้งค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ใช้ , ,และพิจารณาสามต้องการเบี่ยงเบนมาตรฐาน\การใช้การแจกแจงต้นแบบเดียวกันนี่คือฮิสโตแกรมสำหรับแต่ละรายการ:w k = 1 / N N = 2000 σ = 0.1 , 0.05 , 0.01 N ( 0 , 1 $\mu=0.2$$w_k=1/N$$N=2000$$\sigma=0.1,0.05,0.01$$N(0,1)$

โปรดทราบว่าสิ่งเหล่านี้อาจดูเหมือนเป็นรุ่นเบต้าแต่ไม่ใช่

ในคำตอบของฉันที่นี่ฉันแสดงรายการแพ็คเกจ R สามชุดสำหรับการทำสิ่งนี้:

• SimCorrMix
• SimMultiCorrData
• simrel