เหตุใดความคาดหวังจึงเหมือนกับเลขคณิตหมายความว่าอย่างไร

วันนี้ฉันได้พบกับหัวข้อใหม่ที่เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ หนังสือที่ฉันกำลังพูดว่าคาดหวังคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรสุ่มที่มาจากการแจกแจงความน่าจะเป็นใด ๆ แต่มันกำหนดความคาดหวังว่าเป็นผลรวมของข้อมูลบางอย่างและความน่าจะเป็นของมัน สองคนนี้ (ค่าเฉลี่ยและความคาดหวัง) จะเหมือนกันได้อย่างไร ผลรวมของความน่าจะเป็นคูณข้อมูลเป็นค่าเฉลี่ยของการแจกแจงทั้งหมดอย่างไร

อย่างไม่เป็นทางการการแจกแจงความน่าจะเป็นเป็นตัวกำหนดความถี่สัมพัทธ์ของผลลัพธ์ของตัวแปรสุ่ม - ค่าที่คาดหวังสามารถคิดได้ว่าเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของผลลัพธ์เหล่านั้น (ถ่วงน้ำหนักด้วยความถี่สัมพัทธ์) ในทำนองเดียวกันมูลค่าที่คาดว่าจะสามารถนำมาคิดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดของตัวเลขที่สร้างขึ้นในสัดส่วนที่แน่นอนน่าจะเป็นของพวกเขาเกิดขึ้น (ในกรณีของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องนี้ไม่ได้ว่าเป็นความจริงตั้งแต่ค่าเฉพาะมีความน่าจะเป็น )$0$

การเชื่อมต่อระหว่างค่าที่คาดหวังและค่าเฉลี่ยเลขคณิตนั้นชัดเจนที่สุดด้วยตัวแปรสุ่มแยกซึ่งเป็นค่าที่คาดหวัง

$$E(X) = \sum_{S} x P(X=x)$$

โดยที่คือพื้นที่ตัวอย่าง ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณมีความต่อเนื่องตัวแปรสุ่มดังกล่าวว่า:$S$$X$

$$X = \begin{cases} 1 & \mbox{with probability } 1/8 \\ 2 & \mbox{with probability } 3/8 \\ 3 & \mbox{with probability } 1/2 \end{cases}$$

นั่นคือมวลฟังก์ชันคือ ,และ2/1 การใช้สูตรด้านบนค่าที่คาดหวังคือ$P(X=1)=1/8$$P(X=2)=3/8$$P(X=3)=1/2$

$$E(X) = 1\cdot (1/8) + 2 \cdot (3/8) + 3 \cdot (1/2) = 2.375$$

ตอนนี้พิจารณาตัวเลขที่สร้างขึ้นด้วยความถี่ที่แน่นอนตามสัดส่วนกับฟังก์ชันความน่าจะเป็นของมวลตัวอย่างเช่นชุดของตัวเลข - สองวินาที, หกวินาทีและแปดวินาที ทีนี้ลองหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขเหล่านี้:$\{1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3\}$$1$$2$$3$

$$\frac{1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3}{16} = 2.375$$

และคุณสามารถเห็นว่ามันเท่ากับค่าที่คาดหวัง

ความคาดหวังคือค่าเฉลี่ยหรือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มไม่ใช่การแจกแจงความน่าจะเป็น เช่นนี้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าตัวแปรแบบสุ่มที่ใช้ในการกำหนดน้ำหนักเป็นไปตามความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดขึ้นของค่าแต่ละค่าเหล่านั้น สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องที่แน่นอนมันคืออินทิกรัลของค่า x คูณด้วยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ข้อมูลที่สังเกตสามารถดูได้เป็นค่าของคอลเลกชันของตัวแปรสุ่มที่กระจายตัวแบบอิสระ ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (หรือการคาดการณ์ตัวอย่าง) หมายถึงความคาดหวังของข้อมูลเกี่ยวกับการแจกแจงเชิงประจักษ์สำหรับข้อมูลที่สังเกตได้ นี่ทำให้มันเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล

เรามาใส่ใจกับคำจำกัดความ:

Mean หมายถึงผลรวมของการรวบรวมตัวเลขหารด้วยจำนวนตัวเลขในการรวบรวม การคำนวณจะเป็น "สำหรับ i ใน 1 ถึง n, (ผลรวมของ x sub i) หารด้วย n"

ค่าที่คาดหวัง (EV) คือค่าเฉลี่ยระยะยาวของการทำซ้ำของการทดสอบที่แสดงถึง การคำนวณจะเป็น "สำหรับ i ใน 1 ถึง n, ผลรวมของ event x sub i คูณความน่าจะเป็น (และผลรวมของ p sub ทั้งหมดที่ฉันต้อง = 1)"

ในกรณีของการตายอย่างยุติธรรมมันง่ายที่จะเห็นว่าค่าเฉลี่ยและ EV เหมือนกัน Mean - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 - 3.5 และ EV จะเป็น:

prob xp * x

0.167 1 0.17

0.167 2 0.33

0.167 3 0.50

0.167 4 0.67

0.167 5 0.83

0.167 6 1.00

EV = ผลรวม (p * x) = 3.50

แต่ถ้าตายไม่ได้ "ยุติธรรม" วิธีง่าย ๆ ในการสร้างตายอย่างไม่ยุติธรรมคือการเจาะรูที่มุมตรงสี่แยกหน้า 4, 5 และ 6 ตอนนี้สมมุติว่าความน่าจะเป็นที่จะกลิ้ง 4, 5, หรือ 6 จากการตายที่คดเคี้ยวใหม่และที่ปรับปรุงแล้วของเราคือตอนนี้ .2 และความน่าจะเป็นที่จะกลิ้ง 1, 2, หรือ 3 เป็นตอนนี้. 133 มันเป็นแบบเดียวกันกับ 6 ใบหน้าจำนวนหนึ่งในแต่ละหน้าและค่าเฉลี่ยสำหรับการตายนี้ยังคงเป็น 3.5 อย่างไรก็ตามหลังจากหมุนแม่พิมพ์นี้หลายครั้ง EV ของเราตอนนี้คือ 3.8 เนื่องจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะไม่เหมือนกันสำหรับเหตุการณ์ทั้งหมดอีกต่อไป

prob xp * x

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV = ผลรวม (p * x) = 3.80

อีกครั้งให้ระวังและกลับไปที่คำนิยามก่อนที่จะสรุปว่าสิ่งหนึ่งจะ "เหมือนเดิม" เหมือนเดิมเสมอ ดูการตั้งค่าการตายตามปกติและการเจาะรูในอีก 7 มุมและดูว่า EV เปลี่ยนไปอย่างไร - สนุก

Bob_T

ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่าง "ค่าเฉลี่ย" และ "ค่าที่คาดหวัง" คือค่าเฉลี่ยส่วนใหญ่จะใช้สำหรับการแจกแจงความถี่และการคาดการณ์ใช้สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็น ในการแจกแจงความถี่พื้นที่ตัวอย่างประกอบด้วยตัวแปรและความถี่ที่เกิดขึ้น ในการแจกแจงความน่าจะเป็นพื้นที่ตัวอย่างประกอบด้วยตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็น ตอนนี้เรารู้แล้วว่าความน่าจะเป็นรวมของตัวแปรทั้งหมดในพื้นที่ตัวอย่างต้องเป็น = 1 ความแตกต่างพื้นฐานอยู่ที่นี่ คำที่เป็นตัวหารสำหรับการคาดหวังคือ = 1 เสมอ (เช่นการสรุป f (xi) = 1) อย่างไรก็ตามไม่มีข้อ จำกัด ดังกล่าวในการรวมความถี่ (ซึ่งโดยทั่วไปคือจำนวนรายการทั้งหมด)