เราสามารถสรุปได้จากที่เป็นอิสระหรือไม่?

เราไม่สามารถดูตัวอย่างhttps://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence สำหรับตัวอย่างที่น่าสนใจ แต่คำถามที่แท้จริงคือ: มีวิธีที่จะเสริมสร้างสภาพเพื่อให้ความเป็นอิสระดังต่อไปนี้? ตัวอย่างเช่นมีชุดของฟังก์ชั่นดังนั้นถ้าสำหรับทั้งหมดจึงเป็นอิสระต่อไปนี้? และชุดฟังก์ชั่นดังกล่าวต้องใหญ่ขนาดไหนไม่มีที่สิ้นสุด? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

และนอกจากนี้มีการอ้างอิงที่ดีที่ปฏิบัติต่อคำถามนี้หรือไม่?

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

คุณเคยโชคกับเรื่องนี้บ้างไหม? ฉันชอบที่จะดูว่ามีชุดของฟังก์ชันที่ใช้ได้กับ RVs คู่ใด ๆ หรือไม่โดยเฉพาะอย่างยิ่งการให้เหตุผลเป็นสิ่งอื่นนอกเหนือจากการแยกตัวประกอบของ CDF

— jld

ฉันจะดูมัน! ฉันสงสัยว่ามีชุด จำกัด แน่นอน แต่ชุดใด ๆ ที่เป็นพื้นฐานของชุดเชิงเส้นของฟังก์ชันควรทำ (เช่นถ้าทั้งคู่มีค่าเป็นดังนั้น a ชุดของฟังก์ชันพหุนามเป็นเชิงเส้นอย่างอิสระ (หรืออื่น ๆ ) ควรทำ

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

— kjetil b halvorsen

ให้เป็นพื้นที่ความน่าจะเป็น ตามคำนิยามสองตัวแปรสุ่มมีความเป็นอิสระของพวกเขาถ้า -algebrasและมีความเป็นอิสระคือเรามี(B) $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

ให้และรับ (ขอบคุณ @grand_chat สำหรับการชี้ให้เห็นว่าเพียงพอ) จากนั้นเรามี และ $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

ถ้าเราคิดว่า จากนั้นเราสามารถดึงดูดทฤษฎีบทที่จะแสดงให้เห็นว่า เช่นY $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

ดังนั้นถ้าฉันทำผิดพลาดไปอย่างน้อยเราก็มีคอลเลกชันที่นับได้ของฟังก์ชั่นดังกล่าวและสิ่งนี้ใช้กับตัวแปรสุ่มคู่ใด ๆ ที่กำหนดไว้ในพื้นที่ความน่าจะเป็นทั่วไป

— JLD
แหล่งที่มา

คุณแสดงให้เห็นอะไรจริง ๆ แล้ว? แม้ว่าคุณจะได้กำหนดคอลเลกชันของฟังก์ชั่นที่นับไม่ได้คุณได้แสดงให้เห็นแล้วว่าสิ่งเหล่านี้จำเป็นต้องมีที่ไหนบ้าง? มันยากที่จะจินตนาการว่าฟังก์ชั่นจำนวนมากจะมีความจำเป็นเมื่อและแต่ละคนมีค่า จำกัด ที่เป็นไปได้เช่นกัน

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@ เมื่อฉันพยายามตอบคำถามว่ามีชุดของฟังก์ชั่นดังกล่าวหรือไม่ ฉันยอมรับว่าสิ่งที่น่าสนใจยิ่งกว่าคือการหาชุดที่น้อยที่สุด (ซึ่งฉันยังทำงานอยู่)

— jld

คุณสามารถลดชุดนับโดยพิจารณาเพียงแค่เหตุผล

G

$G$

a

$a$

— grand_chat

@grand_chat เป็นจุดที่ดีฉันได้รับการปรับปรุง

— jld