ใช้วิธีการทั่วไปของช่วงเวลา (GMM) ในการคำนวณพารามิเตอร์การถดถอยโลจิสติก

ฉันต้องการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยที่คล้ายกับการถดถอยแบบลอจิสติก (จริง ๆ แล้วการถดถอยแบบโลจิสติกที่มีสัมประสิทธิ์อื่น: เมื่อได้รับ ) ฉันคิดว่าจะใช้ GMM เพื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าควรใช้เงื่อนไขใดในขณะนี้

\frac{A}{1 + e^{- (b_{0} + b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + \dots)}},

$\frac{A}{1 + e^{- (b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + \ldots)}},$

A

$A$

มีใครช่วยฉันได้บ้าง

ขอบคุณ!

logistic generalized-moments

— user5497
แหล่งที่มา

เมื่อคุณพูดว่า " จะได้รับ" คุณหมายความว่ามันจะถูกระบุโดยผู้ใช้หรือมันเป็นที่คาดโดยรูปแบบ?

A

$A$

— มาโคร

ทางใดทางหนึ่ง ฉันสามารถใส่เป็นอินพุต (เช่น A = 0.25) หรือเป็นหนึ่งในค่าสัมประสิทธิ์ที่จะพบ

— user5497

มันแตกต่างจากเรื่องไปยังเรื่อง (เช่นข้อมูล) หรือเป็นค่าคงที่ในทุกการสังเกต?

— มาโคร

แก้ไขในการสังเกตทั้งหมด (เช่น b0, b1, ... )

— user5497

ทำไมไม่ใช้โอกาสสูงสุดแทน GMM

— มาโคร

สมมติว่าโมเดลนี้มีตัวแปรตอบกลับของ Bernoulliด้วย $A\leq 1$ $Y_i$

P r (Y_{i} = 1) = \frac{A}{1 + e^{- X_{i}^{'} b}},

$Pr(Y_i = 1) = \frac{A}{1+e^{-X_i'b}},$

ที่ (และอาจขึ้นอยู่กับว่ามันจะถือว่าเป็นค่าคงที่หรือพารามิเตอร์) เป็นค่าสัมประสิทธิ์การติดตั้งและเป็นข้อมูลสำหรับการสังเกตฉันฉันคิดว่าคำว่าดักจับถูกจัดการโดยการเพิ่มตัวแปรที่มีค่าคงที่ 1 ในเมทริกซ์ข้อมูล $b$ $A$ $X_i$ $i$

เงื่อนไขขณะนี้คือ:

\begin{aligned} E [(Y_{i} - \frac{A}{1 + e^{- X_{i}^{'} b}}) X_{i}] & = 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}\bigg[\bigg(Y_i-\frac{A}{1+e^{-X_i'b}}\bigg)X_i\bigg] &= 0. \end{align*}$

เราแทนที่สิ่งนี้ด้วยตัวอย่างคู่ของเงื่อนไขโดยสมมติว่ามีการสังเกต : $N$

m = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} [(Y_{i} - \frac{A}{1 + e^{- X_{i}^{'} b}}) X_{i}] = 0

$m = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \bigg[\bigg(Y_i-\frac{A}{1+e^{-X_i'b}}\bigg)X_i\bigg] = 0$

สิ่งนี้ได้รับการแก้ไขในทางปฏิบัติโดยการลดในค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ด้านล่างเราจะใช้Nelder-Mead simplexเพื่อทำการเพิ่มประสิทธิภาพนี้) $m'm$ $b$

การยืมตัวจากการสอน R-bloggers ที่ยอดเยี่ยมในหัวข้อนั้นมันค่อนข้างตรงไปตรงมาที่จะใช้มันใน R กับแพ็คเกจ gmm ตัวอย่างเช่นลองทำงานกับชุดข้อมูล iris โดยทำนายว่าม่านตามีสีหลายสีตามความยาวและความกว้าง sepal และความยาวกลีบดอกและความกว้าง ฉันจะถือว่าคงที่และเท่ากับ 1 ในกรณีนี้: $A$

dat <- as.matrix(cbind(data.frame(IsVersicolor = as.numeric(iris$Species == "versicolor"), Intercept=1), iris[,1:4]))
head(dat)
#      IsVersicolor Intercept Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
# [1,]            0         1          5.1         3.5          1.4         0.2
# [2,]            0         1          4.9         3.0          1.4         0.2
# [3,]            0         1          4.7         3.2          1.3         0.2
# [4,]            0         1          4.6         3.1          1.5         0.2
# [5,]            0         1          5.0         3.6          1.4         0.2
# [6,]            0         1          5.4         3.9          1.7         0.4

นี่คือสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสมโดยใช้การถดถอยโลจิสติก:

summary(glm(IsVersicolor~., data=as.data.frame(dat[,-2]), family="binomial"))
# Coefficients:
#              Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
# (Intercept)    7.3785     2.4993   2.952 0.003155 ** 
# Sepal.Length  -0.2454     0.6496  -0.378 0.705634    
# Sepal.Width   -2.7966     0.7835  -3.569 0.000358 ***
# Petal.Length   1.3136     0.6838   1.921 0.054713 .  
# Petal.Width   -2.7783     1.1731  -2.368 0.017868 *

ชิ้นส่วนหลักที่เราจำเป็นต้องใช้ gmm เป็นฟังก์ชั่นที่ให้ผลตอบแทนเงื่อนไขช่วงเวลาคือแถวสำหรับแต่ละสังเกต : $(Y_i-\frac{A}{1+e^{-X_i'b}})X_i$ $i$

moments <- function(b, X) {
  A <- 1
  as.vector(X[,1] - A / (1 + exp(-(X[,-1] %*% cbind(b))))) * X[,-1]
}

ตอนนี้เราสามารถใส่ตัวเลขสัมประสิทธิ์โดยใช้สัมประสิทธิ์การถดถอยเชิงเส้นเป็นจุดเริ่มต้นที่สะดวก (ตามที่แนะนำในการสอนที่เชื่อมโยงด้านบน): $b$

init.coef <- lm(IsVersicolor~., data=as.data.frame(dat[,-2]))$coefficients
library(gmm)
fitted <- gmm(moments, x = dat, t0 = init.coef, type = "iterative", crit = 1e-19,
              wmatrix = "optimal", method = "Nelder-Mead",
              control = list(reltol = 1e-19, maxit = 20000))
fitted
#  (Intercept)  Sepal.Length   Sepal.Width  Petal.Length   Petal.Width  
#      7.37849      -0.24536      -2.79657       1.31364      -2.77834  
# 
# Convergence code =  0

รหัสการบรรจบของ 0 หมายถึงขั้นตอนการรวมกันและพารามิเตอร์เหมือนกันกับการคืนค่าโดยการถดถอยโลจิสติก

ดูอย่างรวดเร็วที่แหล่งแพคเกจ gmm (ฟังก์ชั่นmomentEstim.baseGmm.iterativeและgmm:::.obj1พารามิเตอร์ที่ให้ไว้) แสดงให้เห็นว่าแพคเกจ gmm จะลดตามที่ระบุข้างต้น รหัสที่เทียบเท่าดังต่อไปนี้จะเรียกใช้ฟังก์ชันR โดยตรงโดยดำเนินการเพิ่มประสิทธิภาพเดียวกันกับที่เราได้รับด้านบนด้วยการเรียกไปที่: $m'm$ optimgmm

gmm.objective <- function(theta, x, momentFun) {
  avg.moment <- colMeans(momentFun(theta, x))
  sum(avg.moment^2)
}
optim(init.coef, gmm.objective, x=dat, momentFun=moments,
      control = list(reltol = 1e-19, maxit = 20000))$par
#  (Intercept) Sepal.Length  Sepal.Width Petal.Length  Petal.Width 
#    7.3784866   -0.2453567   -2.7965681    1.3136433   -2.7783439

— josliber
แหล่งที่มา