ตัวอย่างการสร้างการแสดง

วิธีสร้างตัวอย่างของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ถือสมมติ ? $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}$ $\mathbb{P}(X\ne0)=1$

ความไม่เท่าเทียมกันซึ่งต่อไปนี้จากความไม่เท่าเทียมกันของเซ่นสำหรับบวกมูลค่ารถอาร์วีเป็นเหมือน (ความไม่เท่าเทียมกันย้อนกลับถ้า ) เพราะนี่คือการทำแผนที่นูนสำหรับและเว้าสำหรับ<0 ตามเงื่อนไขความเสมอภาคในความไม่เท่าเทียมกันของ Jensen ฉันเดาว่าการกระจายต้องทำให้เสื่อมถอยลงเพื่อให้เกิดความเสมอภาคที่จำเป็น กรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ความเสมอภาคถือเป็นเรื่องแน่นอนถ้า ae นี่คือตัวอย่างที่ฉันพบในหนังสือปัญหา: พิจารณาตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเช่นนั้น $X$ $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)\ge\frac{1}{\mathbb{E}(X)}$ $X<0$ $x\mapsto\frac{1}{x}$ $x>0$ $x<0$ $X=1$ $X$ $\mathbb{P}(X=-1)=\frac{1}{9}, \mathbb{P}(X=\frac{1}{2})=\mathbb{P}(X=2)=\frac{4}{9}$ {9} มันก็จะมีการยืนยันได้อย่างง่ายดายว่า 1 $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}=1$

ตัวอย่างนี้แสดงว่าไม่จำเป็นต้องเป็นค่าบวก (หรือลบ) ae สำหรับความเสมอภาคในหัวเรื่องที่จะถือ การกระจายที่นี่ไม่ได้ลดลงเช่นกัน $X$

ฉันจะสร้างตัวอย่างได้อย่างไรเหมือนอย่างที่ฉันพบในหนังสือเล่มนี้? มีแรงจูงใจอะไรบ้าง?

— StubbornAtom
แหล่งที่มา

ตัวอย่างของคุณเก็บไว้สำหรับตัวแปรสุ่มใด ๆ ที่เป็นค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างที่สองของคุณก็ไม่ได้แย่ลง

— Michael R. Chernick

ความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้มาจากความไม่เท่าเทียมของเซ่นโดยไม่คิดว่านั้นจะเป็นบวกอย่างแน่นอน

X

$X$

— whuber

@MichaelChernick ฉันไม่ได้หมายความว่าตัวอย่างมีการกระจายที่แย่ลง

— StubbornAtom

ฉันกำลังอ้างถึงคำแถลงของคุณ "หลังจากเงื่อนไขความเสมอภาคในความไม่เท่าเทียมของเจนเซ่นฉันเดาว่าการแจกจ่ายจะต้องแย่ลงสำหรับความเสมอภาคที่จำเป็นในการถือครอง" ถึงกระนั้นคุณก็แสดงให้เห็นถึงตัวอย่างที่ไม่ได้สร้าง

— Michael R. Chernick

@whuber ฉันเพียงต้องการทราบวิธีการหาตัวอย่างที่ความเท่าเทียมกันในชื่อเรื่องเป็นจริง

— StubbornAtom

คำตอบ:

สร้าง Let 's ทุกตัวอย่างที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มที่ 1 จากนั้นในหมู่พวกเราเราอาจทำตามฮิวริสติกบางอย่างเพื่อให้ได้ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด ฮิวริสติกเหล่านี้ประกอบด้วยการให้ค่าที่เป็นไปได้ง่ายที่สุดสำหรับนิพจน์ทั้งหมดที่เลื่อนออกจากการวิเคราะห์เบื้องต้น สิ่งนี้กลายเป็นตัวอย่างของตำราเรียน $X$ $E[X]E[1/X]=1$

การวิเคราะห์เบื้องต้น

สิ่งนี้ต้องการการวิเคราะห์เพียงเล็กน้อยตามคำจำกัดความ การแก้ปัญหาเป็นเพียงความสนใจรอง: วัตถุประสงค์หลักคือการพัฒนาข้อมูลเชิงลึกเพื่อช่วยให้เราเข้าใจผลลัพธ์อย่างสังหรณ์ใจ

แรกสังเกตว่าความไม่เท่าเทียมกันของ Jensen (หรือ Cauchy-Schwarz Inequality) หมายถึงว่าสำหรับตัวแปรสุ่มที่เป็นบวก ,โดยมีความเท่าเทียมกันหากหากคือ "degenerate": นั่น คือเกือบจะคงที่แน่นอน เมื่อเป็นตัวแปรสุ่มเชิงลบจะเป็นค่าบวกและผลลัพธ์ก่อนหน้าจะมีเครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกันกลับด้าน ดังนั้นตัวอย่างใด ๆ ที่จะต้องมีความน่าจะเป็นบวกที่จะเป็นลบและน่าจะเป็นบวกที่เป็นบวก $X$ $E[X]E[1/X] \ge 1$ $X$ $X$ $X$ $-X$ $E[1/X]=1/E[X]$

ข้อมูลเชิงลึกที่นี่คือใด ๆ ที่มีจะต้อง "สมดุล" ความไม่เท่าเทียมกันจากส่วนที่เป็นบวกกับความไม่เท่าเทียมในทิศทางอื่นจากส่วนที่เป็นลบ สิ่งนี้จะชัดเจนขึ้นเมื่อเราไป $X$ $E[X]E[1/X]=1$

พิจารณาใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวแปรสุ่มXขั้นตอนแรกในการกำหนดคำจำกัดความของความคาดหวัง (อย่างน้อยเมื่อสิ่งนี้กระทำโดยทั่วไปโดยใช้ทฤษฎีการวัด) คือการแยกส่วนออกเป็นส่วนที่เป็นบวกและลบซึ่งทั้งคู่เป็นตัวแปรสุ่มที่เป็นบวก: $X$ $X$

\begin{aligned} Y & = Positive part (X) = max (0, X); \\ Z & = Negative part (X) = - min (0, X) . \end{aligned}

$\eqalign{ Y &= \operatorname{Positive part}(X) = \max(0, X);\\ Z &= \operatorname{Negative part}(X) = -\min(0, X). }$

ลองคิดว่าเป็นส่วนผสมของมีน้ำหนักและพร้อมน้ำหนักโดยที่ เห็นได้ชัดว่านี้จะช่วยให้เราสามารถเขียนความคาดหวังของและในแง่ของความคาดหวังของตัวแปรเชิงบวกและZ $X$ $Y$ $p$ $-Z$ $1-p$

p = Pr (X > 0), 1 - p = Pr (X < 0) .

$p=\Pr(X\gt 0),\ 1-p = \Pr(X \lt 0).$

0 < p < 1.

$0 \lt p \lt 1.$ $X$ $1/X$ $Y$ $Z$

เพื่อลดความซับซ้อนของพีชคณิตที่ใกล้เข้ามาเล็กน้อยให้ทราบว่า rescalingอย่างสม่ำเสมอโดยตัวเลขจะไม่เปลี่ยน - แต่มันจะคูณและโดย . สำหรับในเชิงบวกนี้ก็จะมีจำนวนการเลือกหน่วยของการวัดของXลบสลับบทบาทของและZการเลือกสัญลักษณ์ของอย่างเหมาะสมเราอาจสมมติ $X$ $\sigma$ $E[X]E[1/X]$ $E[Y]$ $E[Z]$ $\sigma$ $\sigma$ $X$ $\sigma$ $Y$ $Z$ $\sigma$

\begin{matrix} (1) & E [Z] = 1 and E [Y] \geq E [Z] . \end{matrix}

$E[Z]=1\text{ and }E[Y] \ge E[Z].\tag{1}$

เอกสาร

นั่นเป็นเพียงการทำให้เข้าใจง่ายเบื้องต้น เพื่อสร้างสัญกรณ์ที่ดีให้เราเขียน

μ = E [Y]; ν = E [1 / Y]; λ = E [1 / Z]

$\mu = E[Y];\ \nu = E[1/Y];\ \lambda=E[1/Z]$

สำหรับความคาดหวังสามประการที่เราไม่สามารถควบคุมได้ ทั้งสามปริมาณเป็นบวก ความไม่เท่าเทียมของเซ่นยืนยัน

\begin{matrix} (2) & μ ν \geq 1 and λ \geq 1. \end{matrix}

$\mu\nu \ge 1\text{ and }\lambda \ge 1.\tag{2}$

กฎความน่าจะเป็นทั้งหมดแสดงถึงความคาดหวังของและในแง่ของปริมาณที่เราได้ตั้งชื่อ: $X$ $1/X$

E [X] = E [X ∣ X > 0] Pr (X > 0) + E [X ∣ X < 0] Pr (X < 0) = μ p - (1 - p) = (μ + 1) p - 1

$E[X] = E[X\mid X\gt 0]\Pr(X \gt 0) + E[X\mid X \lt 0]\Pr(X \lt 0) = \mu p - (1-p) = (\mu + 1)p - 1$

และตั้งแต่มีการเข้าสู่ระบบเดียวกับ , $1/X$ $X$

E [\frac{1}{X}] = E [\frac{1}{X} ∣ X > 0] Pr (X > 0) + E [\frac{1}{X} ∣ X < 0] Pr (X < 0) = ν p - λ (1 - p) = (ν + λ) p - λ .

$E\left[\frac{1}{X}\right] = E\left[\frac{1}{X}\mid X\gt 0\right]\Pr(X \gt 0) + E\left[\frac{1}{X}\mid X \lt 0\right]\Pr(X \lt 0) = \nu p - \lambda(1-p) = (\nu + \lambda)p - \lambda.$

การเทียบผลคูณของนิพจน์ทั้งสองนี้ด้วยให้ความสัมพันธ์ที่สำคัญระหว่างตัวแปร: $1$

\begin{matrix} (*) & 1 = E [X] E [\frac{1}{X}] = ((μ + 1) p - 1) ((ν + λ) p - λ) . \end{matrix}

$1 = E[X]E\left[\frac{1}{X}\right] = ((\mu +1)p - 1)((\nu + \lambda)p - \lambda).\tag{*}$

การปฏิรูปของปัญหา

สมมติว่าส่วนของ -และ --are ใดตัวแปรสุ่มบวก (คนเลวหรือไม่) ที่กำหนดและ\ เมื่อใดที่เราสามารถหา , ด้วย , ซึ่งถืออยู่? $X$ $Y$ $Z$ $\mu, \nu,$ $\lambda$ $p$ $0 \lt p \lt 1$ $(*)$

นี้อย่างชัดเจนปวารณาว่า "สมดุล" ความเข้าใจระบุไว้ก่อนหน้าเพียงราง: เราจะไปถือและคงที่และความหวังที่จะหาค่าที่เหมาะสมสมดุลผลงานญาติของพวกเขาเพื่อXแม้ว่าจะไม่เห็นได้ชัดทันทีว่าเช่นจำเป็นที่จะต้องมีอยู่สิ่งที่เป็นที่ชัดเจนก็คือว่ามันขึ้นอยู่กับช่วงเวลา , ,และZ] ปัญหาจึงลดลงเป็นพีชคณิตที่ค่อนข้างง่าย - การวิเคราะห์ตัวแปรสุ่มเสร็จสมบูรณ์แล้ว $Y$ $Z$ $p$ $X$ $p$ $E[Y]$ $E[1/Y]$ $E[Z]$ $E[1/Z]$

วิธีการแก้

ปัญหาพีชคณิตนี้ไม่ยากเกินไปที่จะแก้เพราะเป็นสมการกำลังสองที่แย่ที่สุดสำหรับและความไม่เท่าเทียมกันในการปกครองและค่อนข้างง่าย แน่นอนบอกเราว่าผลิตภัณฑ์ของรากของและคืออะไร $(*)$ $p$ $(1)$ $(2)$ $(*)$ $p_1$ $p_2$

p_{1} p_{2} = (λ - 1) \frac{1}{(μ + 1) (ν + λ)} \geq 0

$p_1p_2 = (\lambda - 1)\frac{1}{(\mu+1)(\nu+\lambda)} \ge 0$

และผลรวมคือ

p_{1} + p_{2} = (2 λ + λ μ + ν) \frac{1}{(μ + 1) (ν + λ)} > 0.

$p_1 + p_2 = (2\lambda + \lambda \mu + \nu)\frac{1}{(\mu+1)(\nu+\lambda)} \gt 0.$

ดังนั้นรากทั้งสองจะต้องเป็นค่าบวก นอกจากนี้ค่าเฉลี่ยของพวกเขาน้อยกว่าเพราะ $1$

1 - \frac{(p_{1} + p_{2})}{2} = \frac{λ μ + ν + 2 μ ν}{2 (μ + 1) (ν + λ)} > 0.

$1 - \frac{(p_1+p_2)}{2} = \frac{\lambda \mu + \nu + 2 \mu \nu}{2(\mu+1)(\nu+\lambda)} \gt 0.$

(โดยการทำพีชคณิตเล็กน้อยก็ไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่ารากที่ใหญ่กว่าของทั้งสองนั้นไม่เกินเช่นกัน) $1$

ทฤษฎีบท

นี่คือสิ่งที่เราได้พบ:

ให้ตัวแปรสุ่มใด ๆ ที่เป็นบวกสองตัวและ (อย่างน้อยหนึ่งตัวคือ nondegenerate) ซึ่ง , , , และและมี จำกัด จากนั้นจะมีค่าหนึ่งหรือสองค่าด้วยซึ่งกำหนดตัวแปรผสมมีน้ำหนักสำหรับและน้ำหนักสำหรับและ 1 ทุกตัวอย่างเช่นของตัวแปรสุ่มกับเป็นรูปแบบนี้ $Y$ $Z$ $E[Y]$ $E[1/Y]$ $E[Z]$ $E[1/Z]$ $p$ $0 \lt p \lt 1$ $X$ $p$ $Y$ $1-p$ $-Z$ $E[X]E[1/X]=1$ $X$ $E[X]E[1/X]=1$

นั่นทำให้เรามีตัวอย่างมากมาย!

การสร้างตัวอย่างที่เป็นไปได้ที่ง่ายที่สุด

มีความโดดเด่นทุกตัวอย่างขอดำเนินการสร้างหนึ่งที่ง่ายที่สุด

สำหรับส่วนที่ลบลองเลือกตัวแปรที่เสื่อมลง $Z$ - ตัวแปรสุ่มที่ง่ายที่สุด มันจะถูกปรับขนาดเพื่อให้คุ้มค่าคุ้มดังนั้น 1 คำตอบของรวมถึงลดให้เป็นสมการเชิงเส้นที่แก้ไขได้ง่าย: รากบวกเท่านั้น $1$ $\lambda=1$ $(*)$ $p_1=0$

$\begin{matrix} (3) & p = \frac{1}{1 + μ} + \frac{1}{1 + ν} . \end{matrix}$ $p = \frac{1}{1+\mu} + \frac{1}{1+\nu}.\tag{3}$
สำหรับส่วนที่เป็นบวกเราได้รับอะไรที่มีประโยชน์ถ้าเป็นคนเลวจึงขอให้มันน่าจะเป็นบางที่เพียงสองค่าในเชิงบวกที่แตกต่างกันพูด Q $Y$ $Y$ $a \lt b$ $\Pr(X=b)=q$ ในกรณีนี้คำจำกัดความของความคาดหวังให้

$μ = E [Y] = (1 - q) a + q b; ν = E [1 / Y] = (1 - q) / a + q / b .$ $\mu = E[Y] = (1-q)a + qb;\ \nu = E[1/Y] = (1-q)/a + q/b.$
จะทำให้เรื่องนี้ได้ง่ายขอให้และเหมือน: $Y$ $1/Y$ นี้กองกำลังและ b ตอนนี้ $q=1-q=1/2$ $a=1/b$

$μ = ν = \frac{b + 1 / b}{2} .$ $\mu = \nu = \frac{b + 1/b}{2}.$
โซลูชันลดความซับซ้อนลง $(3)$

$p = \frac{2}{1 + μ} = \frac{4}{2 + b + 1 / b} .$ $p = \frac{2}{1+\mu} = \frac{4}{2 + b + 1/b}.$
เราจะทำให้เรื่องนี้เกี่ยวข้องกับตัวเลขอย่างง่ายได้อย่างไร ตั้งแต่และจำเป็นต้อง1 ลองเลือกจำนวนที่ง่ายที่สุดที่มากกว่าสำหรับ ; คือ 2 สูตรข้างต้นให้ผลและผู้สมัครของเราสำหรับตัวอย่างที่ง่ายที่สุดที่เป็นไปได้คือ $a\lt b$ $ab=1$ $b\gt 1$ $1$ $b$ $b=2$ $p = 4/(2+2+1/2) = 8/9$

$\begin{aligned} Pr (X = 2) = Pr (X = b) = Pr (Y = b) p = q p = \frac{1}{2} \frac{8}{9} = \frac{4}{9}; \\ Pr (X = 1 / 2) = Pr (X = a) = Pr (Y = a) p = q p = \dots = \frac{4}{9}; \\ Pr (X = - 1) = Pr (Z = 1) (1 - p) = 1 - p = \frac{1}{9} . \end{aligned}$ $\eqalign{ \Pr(X=2) = \Pr(X=b) = \Pr(Y=b)p = qp = \frac{1}{2}\frac{8}{9} = \frac{4}{9};\\ \Pr(X=1/2) = \Pr(X=a) = \Pr(Y=a)p = qp = \cdots = \frac{4}{9};\\ \Pr(X=-1) = \Pr(Z=1)(1-p) = 1-p = \frac{1}{9}. }$

นี่คือตัวอย่างที่นำเสนอในหนังสือเรียน

— whuber
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี แม้จะมีความสงสัยครั้งแรกของฉันมันง่ายที่จะหาตัวอย่างกับการแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน(0,1)

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— P.Windridge

ดังที่คุณได้กล่าวไปแล้วถ้าเป็นบวกดังนั้นจะเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อนั้นเกือบจะคงที่แน่นอน มิฉะนั้นคุณต้องใช้เพื่อหาค่าลบและค่าบวก $X$ $E(1/X)=1/E(X)$ $X$ $X$

ในการสร้างตัวอย่างเช่นก่อนอื่นให้ง่ายที่สุด สมมติว่ารับค่าสองค่าคือและโดยมีความน่าจะเป็นและตามลำดับ จากนั้น และ ในการมีเราต้องการ ซึ่งจัดเรียงใหม่ตามความต้องการ ที่นี้หมายถึงวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้จะต้องมีทั้งหรือหรือ 1 ในทุกกรณีเรากลับไปที่กรณีเลว:เป็นค่าคงที่ $X$ $a$ $b$ $p$ $1-p$

E (X) = a p + b (1 - p)

$E(X)=ap+b(1-p)$

E (1 / X) = \frac{1}{a} p + \frac{1}{b} (1 - p) .

$E(1/X)=\frac1ap+\frac1b(1-p).$

1 / E (X) = E (1 / X)

$1/E(X)=E(1/X)$

a p + b (1 - p) = \frac{1}{\frac{1}{a} p + \frac{1}{b} (1 - p)}

$ap+b(1-p)=\frac1{\frac1ap+\frac1b(1-p)}$

(a - b)^{2} p (1 - p) = 0.

$(a-b)^2p(1-p)=0.$

a = b

$a=b$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

X

$X$

ลองถัดไป: การกระจายที่มีสามค่าที่เป็นไปได้ ที่นี่มีตัวเลือกเพิ่มเติมมากมาย ตัวอย่างที่คุณอ้างถึงลองใช้ซึ่งมีการแจกแจงแบบเดียวกัน ถ้าเรารู้ใช้เวลาสามค่ามันจะต้องเป็นที่หนึ่งของค่าที่เป็นทั้งหรือและอื่น ๆ ที่ทั้งสองจะต้องและสำหรับทางเลือกของบางส่วน สำหรับความชัดเจนลองและPจากนั้น เพื่อตอบสนองความต้องการเราต้องการหรือ $X$ $1/X$ $X$ $1$ $-1$ $a$ $1/a$ $a$ $P(X=a)=P(X=1/a)=p$ $P(X=-1)=1-2p$

\begin{matrix} (1) & E (1 / X) = E (X) = (a + \frac{1}{a}) p - (1 - 2 p) = (2 + a + \frac{1}{a}) p - 1. \end{matrix}

$E(1/X)=E(X)=(a+\frac1a)p-(1-2p)=(2+a+\frac1a)p-1.\tag1$

1 / E (X) = E (1 / X)

$1/E(X)=E(1/X)$

E (X) = 1

$E(X)=1$

E (X) = - 1

$E(X)=-1$ . การแสดงออก (1) ไม่เคยเว้นแต่ซึ่งจะส่งกลับเราไปยังกรณีที่เลวลงอีกครั้ง ดังนั้นเล็งไปที่ซึ่งให้ Expression (2) มอบโซลูชันทั้งหมดที่ตรงกับความต้องการ ข้อ จำกัด เพียงอย่างเดียวคือต้องเป็นบวก ตัวอย่างที่คุณอ้างว่าจะใช้เวลา 2 เฉพาะกรณีเท่านั้นที่เสื่อมสภาพ

- 1

$-1$

p = 0

$p=0$

E (X) = 1

$E(X)=1$

\begin{matrix} (2) & (2 + a + \frac{1}{a}) p = 2 \Leftrightarrow p = \frac{2}{2 + a + \frac{1}{a}} = \frac{2 a}{(a + 1)^{2}} . \end{matrix}

$(2+a+\frac1a)p=2\quad\Leftrightarrow\quad p=\frac2{2+a+\frac1a}=\frac{2a}{(a+1)^2}.\tag2$

a

$a$

a = 2

$a=2$

a = 1

$a=1$

— grand_chat
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าบรรทัดแรกของคุณตั้งใจจะเป็น "ถ้าเป็นบวกแล้วเกิดขึ้นเมื่อเกือบคงที่แน่นอน" เช่นในคำถาม . สิ่งนี้ลดลงจาก (ความไม่เท่าเทียม) ของ Jensen ซึ่งเราใช้ความจริงที่ว่าไม่ตรง

X

$X$

E [1 / X] = 1 / E [X]

$\mathbb{E}[1/X]=1/\mathbb{E}[X]$

X

$X$

h (x) = 1 / x

$h(x) = 1/x$

— P.Windridge

@ P.Windridge คุณพูดถูก! แก้ไขแล้ว.

— grand_chat