คุณสามารถพิสูจน์ได้โดยการคำนวณความหนาแน่นของเงื่อนไขอย่างชัดเจนโดยใช้กำลังดุร้ายเช่นในลิงก์ของ Procrastinator (+1) ในความคิดเห็น แต่ก็มีทฤษฎีบทที่บอกว่าการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขทั้งหมดของการแจกแจงแบบหลายตัวแปรตามปกตินั้นเป็นเรื่องปกติ ดังนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการคำนวณเมทริกซ์ค่าเฉลี่ยและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ฉันจำได้ว่าเราได้สิ่งนี้ในคลาสอนุกรมเวลาในวิทยาลัยโดยการกำหนดตัวแปรที่สามอย่างชาญฉลาดและใช้คุณสมบัติของมันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์มากกว่าการแก้ปัญหากำลังดุร้ายในลิงค์ (ตราบใดที่คุณพอใจกับพีชคณิตเมทริกซ์) ฉันไปจากความทรงจำ แต่มันเป็นอะไรแบบนี้:
ให้เป็นพาร์ติชั่นแรกและที่สอง ตอนนี้กำหนดโดยที่x 2 z = x 1 + A x 2 A =- Σ 12 Σ - 1 22x1x2z=x1+Ax2A=−Σ12Σ−122 . ตอนนี้เราสามารถเขียน
cov(z,x2)=cov(x1,x2)+cov(Ax2,x2)=Σ12+Avar(x2)=Σ12−Σ12Σ−122Σ22=0
ดังนั้นและมี uncorrelated และเนื่องจากพวกเขามีกันปกติพวกเขามีความเป็นอิสระ ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าx 2zx2E(z)=μ1+Aμ2ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น
E(x1|x2)=E(z−Ax2|x2)=E(z|x2)−E(Ax2|x2)=E(z)−Ax2=μ1+A(μ2−x2)=μ1+Σ12Σ−122(x2−μ2)
ซึ่งพิสูจน์ส่วนแรก สำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมทราบว่า
var(x1|x2)=var(z−Ax2|x2)=var(z|x2)+var(Ax2|x2)−Acov(z,−x2)−cov(z,−x2)A′=var(z|x2)=var(z)
ตอนนี้เราเกือบจะเสร็จแล้ว:
var(x1|x2)=var(z)=var(x1+Ax2)=var(x1)+Avar(x2)A′+Acov(x1,x2)+cov(x2,x1)A′=Σ11+Σ12Σ−122Σ22Σ−122Σ21−2Σ12Σ−122Σ21=Σ11+Σ12Σ−122Σ21−2Σ12Σ−122Σ21=Σ11−Σ12Σ−122Σ21
ซึ่งพิสูจน์ส่วนที่สอง
หมายเหตุ:สำหรับผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับพีชคณิตเมทริกซ์ใช้ที่นี่นี้เป็นทรัพยากรที่ดี
แก้ไข:หนึ่งคุณสมบัติที่ใช้ที่นี่สิ่งนี้ไม่ได้อยู่ในตำราอาหารเมทริกซ์ (good catch @FlyingPig) คือคุณสมบัติ 6 ในหน้าวิกิพีเดียเกี่ยวกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม:ซึ่งเป็นสองเวกเตอร์สุ่ม ,สำหรับ scalars แน่นอนแต่สำหรับเวกเตอร์พวกมันต่างกันตราบเท่าที่เมทริกซ์จัดเรียงต่างกันv a r ( x + y ) = v a r ( x ) + v a r ( yx,y
var(x+y)=var(x)+var(y)+cov(x,y)+cov(y,x)
cov(X,Y)=cov(Y,X)