ความสับสนเกี่ยวกับ kriging

ฉันอ่านบทความวิกิพีเดียที่เกี่ยวข้องกับการดึงดูด ฉันไม่เข้าใจตอนที่มันบอกว่า

Kriging คำนวณตัวประมาณค่าแบบเส้นตรง $\hat Z (x_0)$ของ $Z(x_0)$เช่นนั้นความแปรปรวน kriging ของจะลดลงด้วยสภาพที่เป็นกลาง ฉันไม่ได้รับมาและวิธีลดความแปรปรวน ข้อเสนอแนะใด ๆ

พิเศษฉันไม่ได้รับส่วนที่ใช้ลดลงภายใต้เงื่อนไขที่เป็นกลาง

ฉันคิดว่ามันควรจะเป็น

E [Z '(x0) -Z (x0)] แทน E [Z' (x) -Z (x)] ใช่ไหม 'เทียบเท่ากับหมวกในบทความ wiki นอกจากนี้ฉันไม่เข้าใจว่าข้อผิดพลาดเกิดขึ้นได้อย่างไร

สมมติ $\left(Z_0, Z_1, \ldots, Z_n\right)$ เป็นเวกเตอร์ที่สันนิษฐานว่ามีการแจกแจงหลายตัวแปรของค่าเฉลี่ยที่ไม่รู้จัก $(\mu, \mu, \ldots, \mu)$และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม - ความแปรปรวนร่วมที่เป็นที่รู้จัก$\Sigma$. เราสังเกต$\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$จากการกระจายนี้และต้องการที่จะทำนาย $z_0$ จากข้อมูลนี้โดยใช้การทำนายเชิงเส้นตรง:

• เส้นตรงหมายถึงการคาดการณ์จะต้องอยู่ในรูปแบบ$\hat{z_0} = \lambda_1 z_1 + \lambda_2 z_2 + \cdots + \lambda_n z_n$ สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ $\lambda_i$ที่จะได้รับการพิจารณา ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้สามารถขึ้นอยู่กับสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันล่วงหน้ามากที่สุด: คือรายการของ$\Sigma$.

ตัวทำนายนี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่ม $\hat{Z_0} = \lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n$.

• เป็นกลางหมายถึงความคาดหวังของ$\hat{Z_0}$ เท่ากับค่าเฉลี่ย (ไม่ทราบ) $\mu$.

การเขียนออกมาให้ข้อมูลเกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์:

$$\eqalign{ \mu &= E[\hat{Z_0}] = E[\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n] \\ &= \lambda_1 E[Z_1] + \lambda_2 E[Z_2] + \cdots + \lambda_n E[Z_n] \\ &= \lambda_1 \mu + \cdots + \lambda_n \mu \\ &= \left(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n\right) \mu. \\ }$$

บรรทัดที่สองเกิดจากความเป็นเส้นตรงของความคาดหวังส่วนที่เหลือเป็นพีชคณิตแบบง่าย เพราะขั้นตอนนี้จะทำงานโดยไม่คำนึงถึงคุณค่าของ$\mu$เห็นได้ชัดว่าสัมประสิทธิ์ต้องรวมกับความสามัคคี การเขียนสัมประสิทธิ์ในสัญกรณ์เวกเตอร์$\lambda = (\lambda_i)'$นี้สามารถเขียนได้อย่างเรียบร้อย $\mathbf{1}\lambda=1$.

ในบรรดาชุดของตัวทำนายเชิงเส้นที่ไม่เอนเอียงดังกล่าวทั้งหมดเราแสวงหาสิ่งหนึ่งที่เบี่ยงเบนจากมูลค่าที่แท้จริงเท่าที่จะเป็นไปได้เล็กน้อยซึ่งวัดในห้องหมายถึงกำลังสอง นี่คือการคำนวณอีกครั้ง มันขึ้นอยู่กับความหลากหลายทางชีวภาพและความสมมาตรของความแปรปรวนร่วมซึ่งการประยุกต์ใช้เป็นผู้รับผิดชอบสำหรับการรวมในบรรทัดที่สอง:

$$\eqalign{ E[(\hat{Z_0} - Z_0)^2] &= E[(\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n - Z_0)^2] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \text{var}[Z_i, Z_j]-2\sum_{i=1}^n\lambda_i \text{var}[Z_i, Z_0] + \text{var}[Z_0, Z_0] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \Sigma_{i,j} - 2\sum_{i=1}^n\lambda_i\Sigma_{0,i} + \Sigma_{0,0}. }$$

ดังนั้นสัมประสิทธิ์สามารถลดลงได้จากการลดรูปกำลังสองนี้ให้อยู่ภายใต้ข้อ จำกัด (เชิงเส้น) $\mathbf{1}\lambda=1$. นี่คือการแก้ไขโดยใช้วิธีการคูณลากรองจ์ยอมเป็นเส้นตรงระบบของสมการที่ "สมการ Kriging"

ในแอปพลิเคชั่น $Z$เป็นกระบวนการสุ่มเชิงพื้นที่ ("สนามสุ่ม") ซึ่งหมายความว่าสำหรับชุดที่กำหนดคงที่ (ไม่ใช่แบบสุ่ม)$\mathbf{x_0}, \ldots, \mathbf{x_n}$, เวกเตอร์ของค่าของ $Z$ ที่สถานที่เหล่านั้น $\left(Z(\mathbf{x_0}), \ldots, Z(\mathbf{x_n})\right)$มีการสุ่มด้วยการแจกแจงหลายตัวแปรบางชนิด เขียน$Z_i = Z(\mathbf{x_i})$และใช้การวิเคราะห์ที่กล่าวมาข้างต้นโดยถือว่าวิธีการของกระบวนการทั้งหมด$n+1$ สถานที่ $\mathbf{x_i}$เหมือนกันและสมมติว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของค่ากระบวนการที่สิ่งเหล่านี้$n+1$ สถานที่เป็นที่รู้จักด้วยความมั่นใจ

ลองตีความสิ่งนี้ ภายใต้สมมติฐาน (รวมถึงค่าเฉลี่ยคงที่และความแปรปรวนร่วมที่รู้จัก) ค่าสัมประสิทธิ์จะกำหนดความแปรปรวนขั้นต่ำที่สามารถทำได้โดยตัวประมาณเชิงเส้นใด ๆ ลองเรียกความแปรปรวนนี้$\sigma_{OK}^2$("OK" สำหรับ "kriging ธรรมดา") มันขึ้นอยู่กับเมทริกซ์เท่านั้น$\Sigma$. มันบอกเราว่าถ้าเราต้องสุ่มตัวอย่างจาก$\left(Z_0, \ldots, Z_n\right)$ และใช้สัมประสิทธิ์เหล่านี้เพื่อทำนาย $z_0$ ค่าจากค่าที่เหลืออยู่ในแต่ละครั้งแล้ว

1. โดยเฉลี่ยการคาดการณ์ของเราจะถูกต้อง

2. โดยปกติแล้วการคาดการณ์ของเราจาก $z_0$ จะเบี่ยงเบนเกี่ยวกับ $\sigma_{OK}$ จากค่าจริงของ $z_0$.

จำเป็นต้องกล่าวเพิ่มเติมอีกก่อนหน้านี้ว่าจะสามารถนำไปใช้กับสถานการณ์จริงเช่นการประเมินพื้นผิวจากข้อมูลที่ตรงเวลา: เราต้องการสมมติฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับลักษณะทางสถิติของกระบวนการเชิงพื้นที่ที่แตกต่างกันไปจากที่หนึ่งไปอีกที่หนึ่ง ในทางปฏิบัติมักจะมีการรับรู้เพียงครั้งเดียวเท่านั้น) แต่การแสดงออกนี้ควรจะเพียงพอที่จะทำตามวิธีการค้นหา "ที่ดีที่สุด" เชิงเส้นตรงทำนาย ("BLUP") นำไปสู่ระบบสมการเชิงเส้นตรงไปตรงมา

---

โดยวิธีการที่ kriging ตามปกติจะไม่เหมือนกับการประมาณกำลังสองน้อยที่สุดเพราะ $\Sigma$ถูกประเมินในขั้นตอนเบื้องต้น (หรือที่เรียกว่า "Variography") โดยใช้ข้อมูลเดียวกัน นั่นคือสิ่งที่ตรงกันข้ามกับข้อสันนิษฐานของแหล่งที่มานี้ซึ่งสันนิษฐานว่า$\Sigma$เป็นที่รู้จัก (และFortioriเป็นอิสระจากข้อมูล) ดังนั้นเมื่อเริ่มแรกคูริงมีข้อบกพร่องทางความคิดและสถิติบางประการที่มีอยู่ในตัว ผู้ปฏิบัติที่ไตร่ตรองได้รับการตระหนักถึงสิ่งนี้มาโดยตลอดและพบวิธีการสร้างสรรค์ที่หลากหลายเพื่อพิสูจน์ความไม่สอดคล้องกัน (การมีข้อมูลจำนวนมากสามารถช่วยได้จริง ๆ ) ปัจจุบันมีกระบวนการสำหรับการประเมินพร้อมกัน$\Sigma$และทำนายการรวบรวมค่าในสถานที่ที่ไม่รู้จัก พวกเขาต้องการสมมติฐานที่แข็งแกร่งขึ้นเล็กน้อย (กฎเกณฑ์หลายตัวแปร) เพื่อบรรลุความสำเร็จนี้

Kriging เป็นเพียงการประมาณกำลังสองน้อยที่สุดสำหรับข้อมูลเชิงพื้นที่ เช่นนี้ให้ตัวประมาณเชิงเส้นตรงที่ลดผลรวมของข้อผิดพลาดกำลังสองน้อยที่สุด เนื่องจากไม่มีความเป็นกลาง MSE = ความแปรปรวนของตัวประมาณและเป็นค่าต่ำสุด