ทำไมการทดสอบสมมติฐานขั้นพื้นฐานมุ่งเน้นไปที่ค่าเฉลี่ยและไม่ได้อยู่บนค่ามัธยฐาน?

ในหลักสูตรสถิติขั้นพื้นฐานระดับล่างนักเรียนจะได้รับการสอนการทดสอบสมมติฐานสำหรับค่าเฉลี่ยของประชากร
เหตุใดจึงให้ความสำคัญกับค่าเฉลี่ยและไม่ใช่ค่ามัธยฐาน? ฉันเดาว่ามันง่ายกว่าที่จะทดสอบค่าเฉลี่ยเนื่องจากทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง แต่ฉันชอบอ่านคำอธิบายที่มีการศึกษา

เพราะอลันทัวริงเกิดหลังจากโรนัลด์ฟิชเชอร์

ในสมัยก่อนก่อนคอมพิวเตอร์ทุกอย่างต้องทำด้วยมือหรืออย่างดีที่สุดกับสิ่งที่เราจะเรียกเครื่องคิดเลข การทดสอบสำหรับการเปรียบเทียบสามารถทำได้ด้วยวิธีนี้ - มันลำบาก แต่เป็นไปได้ การทดสอบควอไทล์ (เช่นค่ามัธยฐาน) จะเป็นไปไม่ได้ที่จะทำแบบนี้

ตัวอย่างเช่นการถดถอยแบบควอไทล์อาศัยการลดฟังก์ชั่นที่ค่อนข้างซับซ้อนซึ่งเป็นไปไม่ได้ด้วยมือ เป็นไปได้ด้วยการเขียนโปรแกรม ดูเช่นKoenkerหรือวิกิพีเดีย

Quantile ถดถอยมีสมมติฐานน้อยกว่า OLS ถดถอยและให้ข้อมูลเพิ่มเติม

ฉันต้องการเพิ่มเหตุผลข้อที่สามให้กับเหตุผลที่ถูกต้องของ Harrell และ Flom เหตุผลคือเราใช้ระยะทางแบบยุคลิด (หรือ L2) และไม่ใช่ระยะทางแบบแมนฮัตตัน (หรือ L1) เป็นตัววัดความใกล้ชิดหรือข้อผิดพลาดมาตรฐานของเรา หากมีจุดข้อมูลจำนวนหนึ่งและต้องการตัวเลขเดียว เพื่อประเมินความคิดที่ชัดเจนคือการหาจำนวนที่ลดจำนวนข้อผิดพลาดที่ทำให้เกิดความแตกต่างน้อยที่สุดระหว่างจำนวนที่เลือกและ ตัวเลขที่ประกอบเป็นข้อมูล ในสัญกรณ์คณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชันข้อผิดพลาดที่กำหนด E ต้องการค้นหาหากมีใครใช้สำหรับ E (x, y) L2 ปกติหรือระยะทางนั่นคือ$x_1, \ldots x_n$$\theta$$min_{\theta \in \Bbb{R}} (E(\theta,x_1, \ldots x_n) = min_{\theta \in \Bbb{R}}(\sum_{i=1}^{i=n} E(\theta,x_i))$$E(x,y) = (x-y)^2$จากนั้นตัวขยายขนาดเล็กทั้งหมดคือค่าเฉลี่ย หากใครใช้ระยะทาง L1 หรือแมนฮัตตันตัวย่อเล็กสุดเหนือคือค่ามัธยฐาน ดังนั้นค่าเฉลี่ยคือตัวเลือกทางคณิตศาสตร์ตามธรรมชาติ - ถ้าใครใช้ระยะทาง L2!$\theta \in \Bbb{R}$$\theta \in \Bbb{R}$

บ่อยครั้งที่ค่าเฉลี่ยถูกเลือกมากกว่าค่ามัธยฐานไม่ใช่เพราะมันเป็นตัวแทนที่แข็งแกร่งกว่าหรือมีความหมาย แต่เป็นเพราะผู้คนสับสนกับตัวประมาณ อีกวิธีหนึ่งบางคนเลือกค่าเฉลี่ยประชากรเป็นปริมาณดอกเบี้ยเพราะด้วยการแจกแจงแบบปกติค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะแม่นยำกว่าค่ามัธยฐานตัวอย่าง แต่พวกเขาควรคิดให้มากขึ้นเกี่ยวกับปริมาณดอกเบี้ยที่แท้จริง

แถบด้านข้างหนึ่ง: เรามีช่วงความเชื่อมั่นแบบไม่มีพารามิเตอร์สำหรับค่ามัธยฐานของประชากร แต่ไม่มีวิธีการแบบไม่มีพารามิเตอร์ (นอกเหนือจากวิธีการเชิงประจักษ์เชิงตัวเลขอย่างเข้มข้น) เพื่อให้ได้ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยประชากร ถ้าคุณต้องการพักแบบกระจายคุณอาจมีสมาธิอยู่กับค่ามัธยฐาน

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางนั้นมีประโยชน์น้อยกว่าที่คิดไว้ดังที่ได้กล่าวไว้ที่อื่นในเว็บไซต์นี้ สันนิษฐานว่าความแปรปรวนเป็นที่รู้จักอย่างมีประสิทธิภาพหรือการแจกแจงแบบสมมาตรและมีรูปร่างเช่นนั้นความแปรปรวนตัวอย่างเป็นตัวประมาณการแข่งขันของการกระจายตัว