ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มหารด้วยค่าเฉลี่ยคืออะไร

ให้จะ IID และx_i ดูเหมือนชัดเจน แต่ฉันมีปัญหาอย่างเป็นทางการที่ได้มา $X_i$ $\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} X_i$

E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] = ?

$E\left[\frac{X_i}{\bar{X}}\right] = \ ?$

probability random-variable expected-value

— stollenm
แหล่งที่มา

ปล่อย $X_1,\dots,X_n$ เป็นตัวแปรและกำหนดแบบสุ่มที่เป็นอิสระและกระจายเหมือนกัน

\bar{X} = \frac{X_{1} + X_{2} \dots + X_{n}}{n} .

$\bar{X}=\frac{X_1+X_2\dots+X_n}{n}.$

สมมติว่า $\Pr\{\bar{X}\ne 0\}=1$ . เนื่องจากมีการกระจายตัวแบบสมมาตรจึงบอกเราว่าสำหรับตัวแปรสุ่ม (ขึ้นอยู่กับ)มีการแจกแจงแบบเดียวกัน: หากความคาดหวังมีอยู่ (นี่คือประเด็นสำคัญ) ดังนั้น และสำหรับเรามี $X_i$ $i=1,\dots n$ $X_i/\bar{X}$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} \sim \frac{X_{2}}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_{n}}{\bar{X}} .

$\frac{X_1}{\bar{X}} \sim \frac{X_2}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_n}{\bar{X}}.$

E [X_{i} / \bar{X}]

$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$

E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] = E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] = \dots = E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}],

$\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right],$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

\begin{aligned} E [\frac{X_{i}}{\bar{X}}] & = \frac{1}{n} (E [\frac{X_{1}}{\bar{X}}] + E [\frac{X_{2}}{\bar{X}}] + \dots + E [\frac{X_{n}}{\bar{X}}]) \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1}}{\bar{X}} + \frac{X_{2}}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{\bar{X}}] \\ = \frac{1}{n} E [\frac{n \bar{X}}{\bar{X}}] \\ = \frac{n}{n} E [\frac{\bar{X}}{\bar{X}}] = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[ \frac{X_i}{\bar{X}} \right] &= \frac{1}{n} \left( \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] + \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] + \dots + \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \right) \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} + \frac{X_2}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{1}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{n\bar{X}}{\bar{X}} \right] \\ &= \frac{n}{n}\,\mathrm{E}\left[ \frac{\bar{X}}{\bar{X}} \right] = 1. \end{align}$

เรามาดูว่าเราสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้ง่ายๆโดย Monte Carlo

x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5)
mean(x[, 3] / rowMeans(x))

[1] 1.00511

ไม่เป็นไรและผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลงมากนักภายใต้การทำซ้ำ

— เซน
แหล่งที่มา

(+1) ข้อสรุปว่าไม่มีอยู่จริง แต่ต้องใช้อาร์กิวเมนต์ตัวแปลที่เล็กกว่าข้อใดข้อหนึ่งที่คุณยังเชื่อมโยงอยู่เนื่องจากและไม่เป็นอิสระ

E [X_{i} / \bar{X}]

$E[X_i/\bar X]$

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber: คุณสามารถขยายนี้เล็กน้อย Bill? ฉันพูดถึงการพึ่งพาและในหนึ่งในความคิดเห็นของคำถามที่เชื่อมโยง นอกจากนี้คำตอบของซีอานยังระบุกรณีที่ด้วยการเปลี่ยนแปลงอย่างง่าย นอกจากนี้เขายังให้การกระจายของในหนึ่งในความคิดเห็นของเขา ขอบคุณสำหรับความคิดของคุณในเรื่องนี้

X_{i}

$X_i$

\bar{X}

$\bar{X}$

n = 2

$n=2$

X_{i} / \bar{X}

$X_i/\bar{X}$

— Zen

@whuber: ฉันคิดว่าคำอธิบายของฉันได้ผลตั้งแต่ซึ่งเป็น ,เป็น Cauchy มาตรฐาน ไม่มีการพึ่งพาอาศัยกัน

X_{i} / \bar{X} = n / {1 + X_{2} / X_{1} + \dots + X_{n} / X_{1}}

$X_i/\bar{X}=n/\{1+X_2/X_1+\cdots+X_n/X_1\}$

n / {1 + (n - 1) Z}

$n/\{1+(n-1)Z\}$

Z

$Z$

— ซีอาน

@ ซีอาน: คุณใช้ที่นี่ (พิจารณากรณี ) เนื่องจากและเป็นมาตรฐาน Cauchy แล้วเป็นมาตรฐาน Cauchy ด้วยหรือไม่ แต่นั่นไม่จริงเพราะและไม่เป็นอิสระใช่มั้ย

n = 3

$n=3$

U = X_{2} / X_{1}

$U=X_2/X_1$

V = X_{3} / X_{1}

$V=X_3/X_1$

(U + V) / 2

$(U+V)/2$

U

$U$

V

$V$

— เซน

@Zen: แต่และมีความเป็นอิสระปกติ variates เพราะฉะนั้นเป็น Cauchy ถ้ามีขนาดมากกว่าn-1

(X_{2} + \dots + X_{n})

$(X_2+\cdots+X_n)$

X_{1}

$X_1$

(X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}

$(X_2+\cdots+X_n)/X_1$

\sqrt{n - 1}

$\sqrt{n-1}$

n - 1

$n-1$

— ซีอาน