ความเป็นไปได้ที่บุคคลนี้เป็นเพศหญิงคืออะไร

มีคนอยู่ด้านหลังม่าน - ฉันไม่รู้ว่าคนนั้นเป็นผู้หญิงหรือผู้ชาย

ฉันรู้ว่าคนที่มีผมยาวและ 90% ของคนที่มีผมยาวเป็นผู้หญิง

ฉันรู้ว่าบุคคลนั้นมีกรุ๊ปเลือด AX3 ที่หายากและ 80% ของคนทั้งหมดที่มีกรุ๊ปเลือดนี้เป็นผู้หญิง

ความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นเป็นผู้หญิงคืออะไร

หมายเหตุ: สูตรดั้งเดิมนี้ได้ขยายออกไปพร้อมกับสมมติฐานสองข้อเพิ่มเติม: 1. กรุ๊ปเลือดและความยาวผมมีความเป็นอิสระ 2. อัตราส่วนเพศชาย: หญิงในประชากรส่วนใหญ่คือ 50:50

(สถานการณ์ที่เฉพาะเจาะจงที่นี่ไม่เกี่ยวข้อง - แต่ฉันมีโครงการเร่งด่วนที่ต้องการให้ฉันทราบวิธีการที่ถูกต้องในการตอบคำถามนี้ความรู้สึกของฉันคือว่ามันเป็นคำถามของความน่าจะเป็นแบบง่าย กว่าสิ่งที่มีคำตอบที่ถกเถียงกันหลายอย่างตามทฤษฎีทางสถิติที่แตกต่างกัน)

หลายคนพบว่าการคิดในแง่ของ "ประชากร" ในกลุ่มย่อยนั้นมีประโยชน์และเป็นสัดส่วน (แทนที่จะเป็นความน่าจะเป็น) นี่เป็นการให้เหตุผลทางภาพเอง

ฉันจะอธิบายตัวเลขในรายละเอียด แต่ความตั้งใจก็คือการเปรียบเทียบอย่างรวดเร็วของทั้งสองตัวเลขควรระบุอย่างชัดเจนและทันทีว่าอย่างไรและทำไมไม่มีคำตอบเฉพาะสำหรับคำถาม การตรวจสอบอีกเล็กน้อยจะแนะนำว่าข้อมูลเพิ่มเติมใดที่จะเป็นประโยชน์ในการพิจารณาคำตอบหรืออย่างน้อยก็มีขอบเขตในคำตอบ

ตำนาน

Cross-hatching : เพศหญิง / พื้นหลังแข็ง : เพศชาย

ด้านบน : ผมยาว / ด้านล่าง : ผมสั้น

ขวา (และสี) : AX3 / ซ้าย (ไม่มีสี) : ไม่ใช่ AX3

ข้อมูล

cross-hatching ด้านบนคือ 90% ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนสุด ("90% ของคนที่มีผมยาวเป็นผู้หญิง")

การฟักไข่ไขว้รวมในสี่เหลี่ยมสีที่ถูกต้องคือ 80% ของสี่เหลี่ยมนั้น ("80% ของคนที่มีกรุ๊ปเลือดนี้เป็นผู้หญิง")

คำอธิบาย

แผนภาพนี้แสดงให้เห็นว่าแผนผังประชากร (ของผู้หญิงทั้งหมดและไม่ใช่เพศหญิงภายใต้การพิจารณา) สามารถแบ่งออกเป็นเพศหญิง / ไม่ใช่เพศหญิงพร้อมกัน, AX3 / ไม่ใช่ - AX3, และผมยาว / ผมยาว / ไม่ใช่ผมสั้น ("สั้น") มันใช้พื้นที่อย่างน้อยประมาณเพื่อแสดงสัดส่วน (มีการพูดเกินจริงเพื่อให้ภาพชัดเจนขึ้น)

เห็นได้ชัดว่าการจำแนกประเภทไบนารีทั้งสามนี้สร้างกลุ่มที่เป็นไปได้แปดกลุ่ม แต่ละกลุ่มจะปรากฏขึ้นที่นี่

ข้อมูลระบุว่ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าข้ามแฮทช์ (หญิงผมยาว) ประกอบด้วย 90% ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าบน (คนที่มีผมยาวทั้งหมด) นอกจากนี้ยังระบุว่าส่วนที่รวมกันข้ามของสี่เหลี่ยมสี (หญิงขนยาวกับ AX3 และหญิงขนสั้นกับ AX3) ประกอบด้วย 80% ของพื้นที่สีทางด้านขวา (ทุกคนที่มี AX3) มีคนบอกว่ามีคนอยู่ที่มุมขวาบน (ลูกศร): คนผมยาวกับ AX3 สัดส่วนของสี่เหลี่ยมนี้มีลักษณะเป็นตัวช่องฟักข้าม (เพศหญิง)?

ฉันยังมี (โดยปริยาย) สันนิษฐานว่ากรุ๊ปเลือดและความยาวผมมีความเป็นอิสระ : สัดส่วนของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบน (ผมยาว) ที่มีสี (AX3) เท่ากับสัดส่วนของสี่เหลี่ยมล่าง (ผมสั้น) ที่มีสี (AX3) นั่นคือสิ่งที่หมายถึงความเป็นอิสระ มันเป็นข้อสันนิษฐานที่เป็นธรรมและเป็นธรรมชาติที่จะสร้างขึ้นเมื่อตอบคำถามเช่นนี้ แต่แน่นอนว่าจะต้องมีการระบุไว้

ไม่ทราบตำแหน่งของสี่เหลี่ยมมุมฉากบน (หญิงขนยาว) เราสามารถนึกภาพการเลื่อนสี่เหลี่ยมข้ามแฮทช์ด้านบนจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่งและเลื่อนสี่เหลี่ยมไขว้ด้านล่างแบบแฮทช์จากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่งและอาจเปลี่ยนความกว้างของมัน หากเราทำเช่นนี้เพื่อให้ 80% ของสี่เหลี่ยมสียังคงเป็นช่องว่างการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวจะไม่เปลี่ยนแปลงข้อมูลที่ระบุ แต่มันสามารถเปลี่ยนสัดส่วนของผู้หญิงในสี่เหลี่ยมผืนผ้าขวาบนได้ เห็นได้ชัดว่าสัดส่วนอาจอยู่ที่ใดก็ได้ระหว่าง 0% ถึง 100% และยังคงสอดคล้องกับข้อมูลที่ได้รับดังเช่นในภาพนี้:

จุดแข็งของวิธีนี้คือสร้างการมีอยู่ของคำตอบหลาย ๆ คำถาม เราสามารถแปลพีชคณิตทั้งหมดได้และโดยการกำหนดความน่าจะเป็นนำเสนอสถานการณ์เฉพาะเป็นตัวอย่างที่เป็นไปได้ แต่จากนั้นคำถามจะเกิดขึ้นว่าตัวอย่างดังกล่าวสอดคล้องกับข้อมูลจริงหรือไม่ ตัวอย่างเช่นหากมีคนแนะนำว่าบางทีผม 50% ของคนที่มีผมยาวเป็น AX3 ในตอนแรกก็ไม่ปรากฏว่าสิ่งนี้เป็นไปได้แม้จะได้รับข้อมูลทั้งหมดที่มี ไดอะแกรม (Venn) เหล่านี้ของประชากรและกลุ่มย่อยทำให้สิ่งต่าง ๆ ชัดเจน

นี่เป็นคำถามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข คุณรู้ไหมว่าคนที่มีผมยาวและกรุ๊ปเลือด Ax3 ให้A = { 'บุคคลที่มีผมยาว' } ดังนั้นคุณแสวงหา P ( C |และB ) คุณรู้ไหมว่า P ( C | ) = 0.9และ P ( C | B ) = 0.8 การคำนวณ P ( C | A และB )เพียงพอหรือไม่ สมมติว่า P ( A และB และC ) =

ตอนนี้ทั้งสองเป็นไปได้เมื่อและP ( $P(C|A)=0.9$ 0.8 ดังนั้นเราจึงไม่สามารถบอกได้อย่างแน่นอนว่า P ( C | A และB )คืออะไร$P(C|B)=0.8$$P(C|A\ \text{and}\ B)$

การสนทนาที่น่าสนใจ! ฉันสงสัยว่าถ้าเราระบุ P (A) และ P (B) ด้วยหรือไม่ว่าช่วงของ P (C | A, B) จะไม่แคบกว่าช่วงเต็ม [0,1] เพียงเพราะข้อ จำกัด มากมาย เรามี.

ติดกับสัญลักษณ์ที่แนะนำข้างต้น:

A = เหตุการณ์ที่บุคคลนั้นมีผมยาว

B = เหตุการณ์ที่บุคคลนั้นมีกรุ๊ปเลือด AX3

C = เหตุการณ์ที่บุคคลนั้นเป็นเพศหญิง

P (C | A) = 0.9

P (C | B) = 0.8

P (C) = 0.5 (กล่าวคือสมมติอัตราส่วนของผู้ชายและผู้หญิงในจำนวนที่เท่ากัน)

ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ที่จะสันนิษฐานว่าเหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระจากเงื่อนไข C! สิ่งนั้นนำไปสู่ความขัดแย้งโดยตรง: ถ้า$P(A \wedge B | C) = P(A| C) \cdot P(B| C) = P(C| A) \frac{P(A)}{P(C)} \cdot P(C| B) \frac{P(B)}{P(C)}$

แล้วก็

$P(C| A \wedge B ) = P(A \wedge B | C) \cdot \left( \frac{P(C)}{P(A \wedge B)} \right) = P(C| A) \frac{P(A)}{P(C)} \cdot P(C| B) \frac{P(B)}{P(C)} \cdot \left( \frac{P(C)}{P(A \wedge B)} \right)$

ถ้าเราสมมติว่า A และ B นั้นมีความเป็นอิสระเช่นกัน: $P(A \wedge B) = P(A) P(B)$ข้อตกลงส่วนใหญ่จะถูกยกเลิกและท้ายที่สุดเราก็จบลงด้วย

$P(C| A \wedge B ) = \frac{P(C| A) \cdot P(C| B)}{P(C)} = \frac{0.9 \cdot 0.8}{0.5} > 1$

การติดตามปัญหาทางเรขาคณิตที่ยอดเยี่ยมของ whuber: ในขณะที่มันเป็นความจริงที่พูดโดยทั่วไปสามารถถือว่าค่าใด ๆ ในช่วงเวลา [ 0 , 1 ]ข้อ จำกัด ทางเรขาคณิตทำให้ช่วงของค่าที่เป็นไปได้แคบลง ค่าของ P ( A )และ P ( B )ที่ไม่ใช่ "เล็กเกินไป" (แม้ว่าเราสามารถผูกขอบไว้ด้านบน: P ( A )และ P $P(C | A \wedge B)$$[0,1]$$P(A)$$P(B)$$P(A)$ )$P(B)$

ขอให้เราคำนวณค่า {\ bf ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้} สำหรับภายใต้ข้อ จำกัด ทางเรขาคณิตต่อไปนี้:$P(C | A \wedge B)$

1.เศษส่วนของพื้นที่ส่วนบน (A TRUE) ที่ครอบคลุมโดยสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านบนจะต้องเท่ากับ$P(C|A)=0.9$

2.ผลรวมของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งสองจะต้องเท่ากับ$P(C)=0.5$

3.ผลรวมของเศษส่วนของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมสองสี (เช่นที่ทับซ้อนกับเหตุการณ์ B) ต้องเท่ากับ$P(C|B)=0.8$

4. (เล็กน้อย) สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านบนไม่สามารถเคลื่อนที่ได้เกินขอบเขตด้านซ้ายและไม่ควรเลื่อนเกินทับซ้อนขั้นต่ำสุดไปทางซ้าย

5. (เล็กน้อย) สี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านล่างไม่สามารถเคลื่อนย้ายเกินขอบเขตขวาและไม่ควรเคลื่อนเกินขอบเขตทับซ้อนสูงสุดไปทางขวา

ข้อ จำกัด เหล่านี้ จำกัด ว่าเราสามารถเลื่อนสี่เหลี่ยมที่ถูกแฮชได้อย่างอิสระและสร้างขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับได้อย่างไร รูปด้านล่าง (สร้างด้วยสิ่งนี้$P(C | A \wedge B)$สคริปต์ R ) แสดงสองตัวอย่าง

วิ่งผ่านช่วงของค่าที่เป็นไปได้สำหรับ P (A) และ P (B) (สคริปต์ R ) สร้างกราฟนี้

สรุปได้ว่าเราสามารถลดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P (c | A, B) สำหรับ P (A), P (B)

ทำให้สมมุติฐานคือบุคคลที่อยู่ด้านหลังม่านเป็นผู้หญิง

เราได้รับหลักฐานสองชิ้น ได้แก่ :

หลักฐานที่ 1: เรารู้ว่าบุคคลนั้นมีผมยาว (และเราบอกว่า 90% ของคนที่มีผมยาวเป็นผู้หญิง)

หลักฐานที่ 2: เรารู้ว่าบุคคลนั้นมีกรุ๊ปเลือดที่หายาก AX3 (และเราบอกว่า 80% ของคนทั้งหมดที่มีกรุ๊ปเลือดนี้เป็นผู้หญิง)

จากหลักฐานเพียงข้อ 1 เราสามารถระบุได้ว่าคนที่อยู่หลังม่านนั้นมีค่าความน่าจะเป็น 0.9 ในการเป็นผู้หญิง (สมมติว่า 50:50 แยกระหว่างชายและหญิง)

เกี่ยวกับคำถามที่ถูกโพสต์ก่อนหน้านี้ในหัวข้อคือ "คุณจะเห็นด้วยว่าคำตอบจะต้องยิ่งใหญ่กว่า 0.9?" โดยไม่ต้องทำคณิตศาสตร์ใด ๆ ฉันจะพูดอย่างสังหรณ์ใจคำตอบจะต้อง "ใช่" (มันยิ่งใหญ่กว่า 0.9) เหตุผลก็คือหลักฐานที่ 2 เป็นหลักฐานสนับสนุน (อีกครั้งโดยสมมติว่าแบ่ง 50:50 สำหรับจำนวนผู้ชายและผู้หญิงในโลก) หากเราได้รับแจ้งว่า 50% ของคนที่มีกรุ๊ปเลือด AX3 เป็นเพศหญิงดังนั้นหลักฐานที่ 2 จะเป็นกลางและไม่มีผลใด ๆ แต่เนื่องจากเราได้รับการบอกว่า 80% ของคนที่มีกรุ๊ปเลือดนี้เป็นเพศหญิงหลักฐาน 2 เป็นหลักฐานสนับสนุนและมีเหตุผลควรผลักดันความน่าจะเป็นสุดท้ายของผู้หญิงที่สูงกว่า 0.9

ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่เฉพาะเจาะจงเราสามารถใช้กฎของเบย์สำหรับหลักฐาน 1 แล้วใช้การปรับปรุงแบบเบย์เพื่อใช้หลักฐาน 2 กับสมมติฐานใหม่

สมมติ:

A = เหตุการณ์ที่บุคคลนั้นมีผมยาว

B = เหตุการณ์ที่บุคคลนั้นมีกรุ๊ปเลือด AX3

C = เหตุการณ์ที่บุคคลนั้นเป็นผู้หญิง (สมมติว่า 50%)

การใช้กฎของเบย์กับหลักฐาน 1:

P (C | A) = (P (A | C) * P (C)) / P (A)

ในกรณีนี้อีกครั้งหากเราถือว่า 50:50 แยกระหว่างชายและหญิง:

P (A) = (0.5 * 0.9) + (0.5 * 0.1) = 0.5

ดังนั้น P (C | A) = (0.9 * 0.5) / 0.5 = 0.9 (ไม่น่าแปลกใจ แต่มันจะแตกต่างกันถ้าเราไม่ได้แยก 50:50 ระหว่างผู้ชายกับผู้หญิง)

การใช้การปรับปรุงแบบเบย์เพื่อใช้หลักฐาน 2 และเสียบเป็นความน่าจะเป็นก่อนหน้าใหม่ 0.9 เรามี:

P (C | A AND B) = (P (B | C) * 0.9) / P (E)

ที่นี่ P (E) คือความน่าจะเป็นของหลักฐาน 2 ซึ่งตั้งสมมติฐานว่าบุคคลนั้นมีโอกาส 90% ที่จะเป็นผู้หญิง

P (E) = (0.9 * 0.8) + (0.1 * 0.2) [นี่คือกฎความน่าจะเป็นทั้งหมด: (P (หญิง) * P (AX3 | ผู้หญิง) + P (ชาย) * P (AX3 | ผู้ชาย)] ดังนั้น , P (E) = 0.74

ดังนั้น P (C | A AND B) = (0.8 * 0.9) / 0.74 = 0.97297

การกำหนดคำถามใหม่และการวางหลักเกณฑ์ทั่วไป

$A$$B$$C$$0$$1$$Z_i$$Z$$i$$(X | Y)$$X$$Y$$(A_a | B_b C_c I)$

1. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$
2. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$$(B C | I) = (B | I)(C | I)$
3. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$$(A_0 | I) = \frac{1}{2}$
4. $(A_{a_1} | B_{b_1} I) = u_1$$(A_{a_2} | C_{c_2} I) = u_2$$(A_0 | I) = \frac{1}{2}$$(B C | I) = (B | I)(C | I)$

$I$

คำตอบ

กรณีที่ 1

$(ABC | I)$$(ABC | I)$

มันแสดงให้เห็นถึงความลึกลับต่าง ๆ ซึ่งหมายความว่าการกระจายการมอบหมายเมื่อข้อมูลไม่ได้กำหนดวิธีการแก้ปัญหาเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งของการแจกแจงทั้งหมดที่สอดคล้องกับข้อมูลที่รู้จักมีการเอนโทรปีที่ยิ่งใหญ่ที่สุด การกระจายอื่นใดแสดงว่าเรารู้มากขึ้นกว่าข้อมูลที่รู้จักกันซึ่งแน่นอนว่าเป็นความขัดแย้ง

1. $\longleftrightarrow A_1$
2. $\longleftrightarrow B_1$
3. $\longleftrightarrow C_1$

$a = 1$$b = 1$$c = 1$$a_1 = 1$$b_1 = 1$$a_2 = 1$$c_2 = 1$$u_1 = 0.9$$u_2 = 0.8$$(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.932$. ดังนั้นความน่าจะเป็นที่คนหลังม่านเป็นเพศหญิงเนื่องจากเขา / เธอมีผมยาวและกรุ๊ปเลือด AX3 คือ 0.932

กรณีที่ 2

$B$$C$

กรณีที่ 3

Case 4

Finally we reintroduce the independence constraints of Case 2, and find that $(A_1 | B_1 C_1 I) \simeq 0.989$. Therefore the probability that the person behind the curtain is female, given that he/she has long hair and blood type AX3, is 0.989.

ตอนนี้ฉันเชื่อว่าถ้าเราสมมติอัตราส่วนของชายและหญิงในจำนวนมากแล้วมีคำตอบที่เถียงไม่ได้

A = เหตุการณ์ที่บุคคลนั้นมีผมยาว

B = เหตุการณ์ที่บุคคลนั้นมีกรุ๊ปเลือด AX3

C = เหตุการณ์ที่บุคคลนั้นเป็นเพศหญิง

P (C | A) = 0.9

P (C | B) = 0.8

P (C) = 0.5 (กล่าวคือสมมติอัตราส่วนของผู้ชายและผู้หญิงในจำนวนที่เท่ากัน)

จากนั้น P (C | A และ B) = [P (C | A) x P (C | B) / P (C)] / [[P (C | A) x P (C | B) / P (C )] + [[1-P (C | A)] x [1-P (C | B)] / [1-P (C)]]]

ในกรณีนี้ P (C | A และ B) = 0.972973

Note: In order to get a definitive answer, the below answers assume that the probability of a person, a long-haired man, and a long-haired women having AX3 are approximately the same. If more accuracy is desired, this should be verified.

You start out with the knowledge that the person has long hair, so at this point the odds are:

90:10

Note: The ratio of males to females in the general population does not matter to us once we find out the person has long hair. For example, if there were 1 female in a hundred in the general population, a randomly-selected long-haired person would still be a female 90% of the time. The ratio of females to males DOES matter! (see the update below for details)

Next, we learn that the person has AX3. Because AX3 is unrelated to long hair, the ratio of men to women is known to be 50:50, and because of our assumption of the probabilities being the same, we can simply multiply each side of the probability and normalize so that the sum of the sides of the probability equals 100:

(90:10) * (80:20)
==> 7200:200

    Normalize by dividing each side by (7200+200)/100 = 74

==> 7200/74:200/74
==> 97.297.. : 2.702..

Thus, the chance that the person behind the curtain is female is approximately 97.297%.

UPDATE

Here's a further exploration of the problem:

Definitions:

f - number of females
m - number of males
fl - number of females with long hair
ml - number of males with long hair
fx - number of females with AX3
mx - number of males with AX3
flx - number of females with long hair and AX3
mlx - number of males with long hair and AX3
pfl - probability that a female has long hair
pml - probability that a male has long hair
pfx - probability that a female has AX3
pmx - probability that a male has AX3

First, we are given that 90% of long-haired people are females, and 80% of people with AX3 are female, so:

fl = 9 * ml
pfl = fl / f
pml = ml / m 
    = fl / (9 * m)

fx = 4 * mx
pfx = fx / f
pmx = mx / m 
    = fx / (4 * m)

Because we assumed that the probability of AX3 is independent of gender and long hair, our calculated pfx will apply to women with long hair, and pmx will apply to men with long-hair to find the number of them that likely have AX3:

flx = fl * pfx 
    = fl * (fx / f) 
    = (fl * fx) / f
mlx = ml * pmx 
    = (fl / 9) * (fx / (4 * m)) 
    = (fl * fx) / (36 * m)

Thus, the likely ratio of the number of females with long-hair and AX3 to the number of males with long-hair and AX3 is:

flx             :   mlx
(fl * fx) / f   :   (fl * fx) / (36 * m)
1/f             :   1 / (36m)
36m             :   f

Because it is given that there is an equal number of 50:50, you can cancel both sides and end with 36 females to every male. Otherwise, there are 36*m/f females for every male in the specified subgroup. For example, if there were twice as many women as men, there would be 72 females to each male of those that have long-hair and AX3.

98% Female, simple interpolation. First premise 90% female, leaves 10%, second premise only leaves 2% of the existing 10%, hence 98% female