ทำ

ทำให้แสดงถึงความเป็นอิสระของและ $\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$ $X$ $Y$ ?

ฉันคุ้นเคยกับคำจำกัดความความเป็นอิสระต่อไปนี้เท่านั้น $X$ และ $Y$ .

ฉ_{x, Y} (x, Y) = ฉ_{x} (x) ฉ_{Y} (Y)

$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$

random-variable independence

— stollenm
แหล่งที่มา

คุณต้องการ

C o v (f (X), g (Y)) = 0 for all (measurable) f (\cdot), g (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),g(Y)\right) = 0 ~\text{for all (measurable)} ~f(\cdot), g(\cdot)$ ไม่ใช่แค่

C o v (f (X), Y) = 0 \forall f (\cdot)

$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(\cdot)$

— Dilip Sarwate

เริ่มต้นด้วยสัญชาตญาณ ความชันของการถดถอยกำลังสองน้อยสุดสามัญ $Y$ ต่อต้าน $h(X)$ สำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ $h$ เป็นสัดส่วนกับความแปรปรวนร่วมของ $h(X)$ และ $Y$ . สมมติฐานคือทุกถดถอยเป็นศูนย์ทั้งหมด (ไม่เพียง แต่คนที่เชิงเส้น) ถ้าคุณจินตนาการ $(X,Y)$ แสดงโดยคลาวด์แบบจุด (จริง ๆ แล้วคือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นคลาวด์) จากนั้นไม่ว่าคุณจะเชือดมันในแนวตั้งและจัดลำดับชิ้นใหม่ (ซึ่งดำเนินการแมป $h$ ) การถดถอยยังคงเป็นศูนย์ สิ่งนี้แสดงถึงความคาดหวังตามเงื่อนไขของ $Y$ (ซึ่งเป็นฟังก์ชันการถดถอย) เป็นค่าคงที่ทั้งหมด เราสามารถหมุนไปรอบ ๆ พร้อมกับการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขในขณะที่รักษาความคาดหวังไว้อย่างต่อเนื่อง ดังนั้นเราจึงควรคาดหวังว่าข้อสรุปนั้นไม่ได้ถืออยู่เสมอ

มีตัวอย่างที่เรียบง่าย พิจารณาพื้นที่ตัวอย่างขององค์ประกอบนามธรรมเก้าอย่าง

Ω = {ω_{ผม, J} | - 1 \leq ผม, J, \leq 1}

$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$ และการวัดแบบไม่ต่อเนื่องโดยพิจารณาความน่าจะเป็น

P (ω_{0, 0}) = 0; P (ω_{0, J}) = 1 / 5 (J = \pm 1); P (ω_{ผม, J} = 1 / 10) มิฉะนั้น.

$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$

กำหนด

X (ω_{ผม, J}) = J, Y (ω_{ผม, J}) = ผม .

$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$

เราสามารถแสดงความน่าจะเป็นเหล่านี้เป็นอาร์เรย์ได้

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix})

$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$

(กับทุกรายการคูณด้วย $1/10$ ) จัดทำดัชนีทั้งสองทิศทางด้วยค่า $-1,0,1$ .

ความน่าจะเป็นที่ขอบคือ

ฉ_{X} (- 1) = ฉ_{X} (1) = 3 / 10; ฉ_{X} (0) = 4 / 10

$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$ และ

ฉ_{Y} (- 1) = ฉ_{Y} (1) = 4 / 10; ฉ_{Y} (0) = 2 / 10,

$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$ คำนวณโดยผลรวมคอลัมน์และผลรวมแถวของอาร์เรย์ตามลำดับ ตั้งแต่

ฉ_{X} (0) ฉ_{Y} (0) = (4 / 10) (2 / 10) \neq 0 = P (ω_{0, 0}) = ฉ_{X Y} (0, 0),

$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$ ตัวแปรเหล่านี้ไม่ได้เป็นอิสระ

นี้ถูกสร้างขึ้นเพื่อให้การกระจายตามเงื่อนไขของ $Y$ เมื่อไหร่ $X=0$ แตกต่างจากการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขอื่น ๆ สำหรับ $X=\pm 1$ . คุณสามารถดูได้โดยการเปรียบเทียบคอลัมน์กลางของเมทริกซ์กับคอลัมน์อื่น ความสมมาตรใน $Y$ พิกัดและความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขทั้งหมดแสดงความคาดหวังตามเงื่อนไขทั้งหมดทันทีเป็นศูนย์ซึ่งค่าความแปรปรวนร่วมทั้งหมดเป็นศูนย์ไม่ว่าค่าที่เกี่ยวข้องของ $X$ อาจถูกกำหนดใหม่ให้กับคอลัมน์

สำหรับผู้ที่อาจไม่มั่นใจตัวอย่างเคาน์เตอร์อาจแสดงผ่านการคำนวณโดยตรง - มีเพียง $27$ ฟังก์ชันที่ต้องพิจารณาและสำหรับแต่ละค่าความแปรปรวนร่วมนั้นเป็นศูนย์

— whuber
แหล่งที่มา