ความแตกต่างระหว่างแบบจำลองทางสถิติกับตัวแบบความน่าจะเป็นคืออะไร?

ความน่าจะเป็นประยุกต์เป็นสาขาที่สำคัญในความน่าจะเป็นรวมถึงความน่าจะเป็นในการคำนวณ เนื่องจากสถิติใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นในการสร้างแบบจำลองเพื่อจัดการกับข้อมูลเป็นความเข้าใจของฉันฉันจึงสงสัยว่าอะไรคือความแตกต่างที่สำคัญระหว่างตัวแบบเชิงสถิติและตัวแบบความน่าจะเป็น รูปแบบความน่าจะเป็นไม่ต้องการข้อมูลจริงหรือ? ขอบคุณ

probability mathematical-statistics

— วังหลังวัง
แหล่งที่มา

ความน่าจะเป็นรุ่นประกอบด้วยแฝดที่เป็นพื้นที่ตัวอย่างเป็นพีชคณิต (เหตุการณ์) และเป็นตัวชี้วัดความน่าจะเป็นในการเรนไฮน์ $(\Omega,{\mathcal F},{\mathbb P})$ $\Omega$ ${\mathcal F}$ $\sigma$ ${\mathbb P}$ ${\mathcal F}$

คำอธิบายที่ใช้งานง่าย รูปแบบความน่าจะสามารถตีความได้เป็นที่รู้จักกันเป็น ตัวแปรสุ่ม Xตัวอย่างเช่นให้เป็นตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน $X$ $X$ $0$ $1$ 1ในกรณีนี้การวัดความน่าจะเป็นนั้นสัมพันธ์กับฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ถึง ${\mathbb P}$ $F$

F (x) = P (X \leq x) = P (ω \in Ω : X (ω) \leq x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{t^{2}}{2}) d t .

$F(x)={\mathbb P}(X\leq x) = {\mathbb P}(\omega\in\Omega:X(\omega)\leq x) =\int_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left({-\dfrac{t^2}{2}}\right)dt.$

ภาพรวม ความหมายของความน่าจะเป็นรุ่นขึ้นอยู่กับความหมายทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะดูตัวอย่างความน่าจะเป็นฟรีและควอนตัมน่าจะเป็น

สถิติรุ่น เป็นชุดของแบบจำลองความน่าจะเป็นนี้เป็นชุดของความน่าจะเป็นมาตรการ / กระจายในพื้นที่ตัวอย่างΩ ${\mathcal S}$ $\Omega$

ชุดการแจกแจงความน่าจะเป็นนี้มักจะถูกเลือกสำหรับการสร้างแบบจำลองปรากฏการณ์ที่เรามีข้อมูล

คำอธิบายที่ใช้งานง่าย ในแบบจำลองทางสถิติพารามิเตอร์และการแจกแจงที่อธิบายปรากฏการณ์บางอย่างไม่เป็นที่รู้จัก ตัวอย่างนี้เป็น familiy ของการกระจายปกติมีค่าเฉลี่ยและแปรปรวนนี้เป็นพารามิเตอร์ทั้งสองเป็นที่รู้จักและคุณมักจะต้องการที่จะใช้ชุดข้อมูลสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ (เช่นการเลือกองค์ประกอบของ ) ชุดการแจกแจงนี้สามารถเลือกได้ในและใด ๆแต่ถ้าฉันไม่เข้าใจผิดในตัวอย่างจริงเท่านั้นที่จะถูกกำหนดในคู่เดียวกัน $\mu\in{\mathbb R}$ $\sigma^2\in{\mathbb R_+}$ ${\mathcal S}$ $\Omega$ ${\mathcal F}$ $(\Omega,{\mathcal F})$ มีเหตุผลที่จะต้องพิจารณา

ภาพรวม บทความนี้ให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของแบบจำลองทางสถิติ แต่ผู้เขียนกล่าวว่า "แบบจำลองแบบเบย์ต้องการส่วนประกอบเพิ่มเติมในรูปแบบของการกระจายก่อนหน้า ... แม้ว่าสูตรแบบเบย์ไม่ได้เป็นจุดสนใจหลักของบทความนี้" ดังนั้นคำจำกัดความของแบบจำลองทางสถิติขึ้นอยู่กับชนิดของแบบจำลองที่เราใช้: พารามิเตอร์หรือแบบพารามิเตอร์ นอกจากนี้ในการตั้งค่าพารามิเตอร์ความหมายขึ้นอยู่กับวิธีการปฏิบัติต่อพารามิเตอร์ (เช่น Classical กับ Bayesian)

ความแตกต่างคือ: ในแบบจำลองความน่าจะเป็นที่คุณรู้ว่าการวัดความน่าจะเป็นตัวอย่างเช่นโดยที่เป็นพารามิเตอร์ที่รู้จักในขณะที่ในแบบจำลองทางสถิติคุณพิจารณาชุดการแจกแจง ตัวอย่างเช่นโดยที่เป็นพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก $\mbox{Normal}(\mu_0,\sigma_0^2)$ $\mu_0,\sigma_0^2$ $\mbox{Normal}(\mu,\sigma^2)$ $\mu,\sigma^2$

ไม่มีใครต้องการชุดข้อมูล แต่ฉันจะบอกว่าแบบจำลองทางสถิติมักจะถูกเลือกสำหรับการสร้างแบบจำลองหนึ่ง

— ซีอาน
แหล่งที่มา

@ HonglangWang นั่นถูกต้องพอสมควร ความแตกต่างที่สำคัญคือแบบจำลองความน่าจะเป็นเป็นเพียงการแจกแจงแบบหนึ่ง (รู้จัก) ในขณะที่แบบจำลองทางสถิติเป็นชุดของแบบจำลองความน่าจะเป็น ข้อมูลจะใช้ในการเลือกแบบจำลองจากชุดนี้หรือชุดย่อยขนาดเล็กของโมเดลที่ดีกว่า (ในบางกรณี) อธิบายปรากฏการณ์ (ในแง่ของข้อมูล)

(+1) นี่เป็นคำตอบที่ดีแม้ว่าฉันจะมีความคิดเห็นสองสามข้อ ครั้งแรกฉันคิดว่านี่อาจจะขายนัก probabilist สั้น ๆ มันไม่ใช่เรื่องแปลกเลยที่จะพิจารณาชุดของความน่าจะเป็นช่องว่างในแบบจำลองความน่าจะเป็นและแน่นอนมาตรการที่เป็นไปได้อาจเป็นแบบสุ่ม (สร้างบนพื้นที่ขนาดใหญ่กว่าที่เหมาะสม) ประการที่สองแบบเบย์ (โดยเฉพาะ) อาจพบคำตอบนี้เล็กน้อยอึกอักในที่แบบจำลองทางสถิติแบบเบย์ที่มักจะถูกมองว่าเป็นรูปแบบที่น่าจะเป็นเพียงครั้งเดียวบนพื้นที่ผลิตภัณฑ์ที่เหมาะสม

Ω \times Θ

$\Omega \times \Theta$

— พระคาร์ดินัล

@gung นี่เป็นคำถามที่เกี่ยวข้องกับการวัดเชิงทฤษฎีมากกว่า สำหรับคำถามแรกของคุณ

ถูกกำหนดผ่าน CDF ตอนนี้การตีความของ

เป็นเรื่องยากเพราะอย่างเป็นทางการ

หมายความว่า

แล้ว

ไม่ได้ค่าที่สังเกตได้

คือ

พีชคณิตซึ่งเป็นภาพล่วงหน้าของ Borel

พีชคณิตภายใต้

P

${\mathbb P}$

Ω

$\Omega$

P (X \leq x)

${\mathbb P}(X\leq x)$

P (ω \in Ω : X (ω) \leq x)

${\mathbb P}(\omega\in\Omega: X(\omega)\leq x)$

Ω

$\Omega$

F

${\mathcal F}$

σ -

$\sigma-$

σ -

$\sigma-$

X

$X$ อีกครั้งสิ่งนี้ไม่สามารถสังเกตได้ ฉันไม่แน่ใจว่าจะอธิบายเรื่องนี้อย่างไรในระดับที่เข้าใจง่าย

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

X

$X$

t

$t$

Ω

$\Omega$

X

$X$

Ω

$\Omega$

X

$X$

F

$\mathcal{F}$

— whuber

@gung

F

$\mathcal{F}$ is a sigma algebra: it's a collection of subsets (the "events"). In the financial application, it's a set of price histories; in the forearm measurements application, the events would be sets of people. We can talk about this more if you want in a chat room.

— whuber