การใช้งานเชิงประจักษ์ของความเป็นไปได้เชิงประจักษ์มีอะไรบ้าง

ฉันเคยได้ยินความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์ของโอเว่น แต่จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้มันก็ไม่ต้องสนใจจนกระทั่งฉันเจอมันในกระดาษดอกเบี้ย ( Mengersen et al. 2012 )

ในความพยายามของฉันที่จะเข้าใจฉันได้รวบรวมว่าโอกาสที่ข้อมูลที่สังเกตได้จะแสดงเป็น ที่และ0

L = \prod_{i} p_{i} = \prod_{i} P (X_{i} = x) = \prod_{i} P (X_{i} \leq x) - P (X_{i} < x)

$L = \prod_i p_i = \prod_i P(X_i=x) = \prod_i P(X_i \le x) - P(X_i \lt x)$

\sum_{i} p_{i} = 1

$\sum_i p_i = 1$

p_{i} > 0

$p_i > 0$

อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถทำให้การก้าวกระโดดทางจิตที่เชื่อมโยงการเป็นตัวแทนนี้กับวิธีที่มันสามารถใช้ในการอ้างถึงเกี่ยวกับการสังเกต บางทีฉันอาจหยั่งรากเกินไปในการคิดถึงพารามิเตอร์ความน่าจะเป็นของโมเดล

ไม่ว่าฉันกำลังค้นหา Google Scholar สำหรับกระดาษบางเล่มที่ใช้โอกาสเชิงประจักษ์ที่จะช่วยฉันกำหนดแนวคิด ... เพื่อประโยชน์ เห็นได้ชัดว่ามีหนังสือของ Art Owen เกี่ยวกับความเป็นไปได้ในเชิงประจักษ์แต่ Google Books หลุดพ้นความน่าเบื่อไปหมดแล้วและฉันยังอยู่ในขั้นตอนการขอสินเชื่อระหว่างห้องสมุดที่ช้า

ในขณะเดียวกันใครบางคนสามารถชี้แนะฉันไปที่เอกสารและเอกสารที่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความเป็นไปได้ในเชิงประจักษ์และวิธีการใช้งาน? ตัวอย่างคำอธิบายของ EL ก็ยินดีด้วยเช่นกัน!

— เมียร์
แหล่งที่มา

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเศรษฐมิติได้หลงรักเอล หากคุณกำลังมองหาแอพพลิเคชั่นวรรณกรรมนั้นอาจเป็นหนึ่งในสถานที่ที่น่ามองกว่า

— พระคาร์ดินัล

คำตอบ:

ฉันคิดว่าไม่มีที่ไหนดีไปกว่าหนังสือของโอเว่นที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับความเป็นไปได้ในเชิงประจักษ์

วิธีหนึ่งในการปฏิบัติที่จะคิดเกี่ยวกับเป็นโอกาสสำหรับการกระจายพหุนามในจุดข้อมูลที่สังเกต nความน่าจะเป็นจึงเป็นหน้าที่ของความน่าจะเป็นเวกเตอร์ , พื้นที่พารามิเตอร์เป็นเวกเตอร์ความน่าจะเป็น -dimensional มิติและ MLE ใส่น้ำหนัก $L = L(p_1, \ldots, p_n)$ $x_1, \ldots, x_n$ $(p_1, \ldots, p_n)$ $n$ $1/n$ ในการสังเกตแต่ละครั้ง (สมมติว่าพวกมันต่างกันทั้งหมด) มิติของพื้นที่พารามิเตอร์เพิ่มขึ้นตามจำนวนการสังเกต

จุดสำคัญคือความเป็นไปได้ในเชิงประจักษ์จะให้วิธีการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นโดยการทำโปรไฟล์โดยไม่ต้องระบุตัวแบบพารามิเตอร์ ถ้าพารามิเตอร์ที่สนใจเป็นค่าเฉลี่ยแล้วสำหรับการใด ๆ น่าจะเป็นเวกเตอร์เราได้ว่าเฉลี่ย และเรา สามารถคำนวณความน่าจะเป็นของโปรไฟล์ได้เช่น $\mu$ $p = (p_1, \ldots, p_n)$

μ (p) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i},

$\mu(p) = \sum_{i=1}^n x_i p_i,$

แล้วเราสามารถคำนวณช่วงความเชื่อมั่นของรูปแบบ

กับ

)

ที่นี่

คือค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์และ

L_{prof} (μ) = max {L (p) ∣ μ (p) = μ} .

$L_{\text{prof}}(\mu) = \max \{ L(p) \mid \mu(p) = \mu \}.$

I_{r} = {μ ∣ L_{prof} (μ) \geq r L_{prof} (\bar{x})}

$I_r = \{ \mu \mid L_{\text{prof}}(\mu) \geq r L_{\text{prof}}(\bar{x}) \}$

r \in (0, 1)

$r \in (0,1)$

\bar{x}

$\bar{x}$

ช่วงเวลา

ควรอาจจะเป็นเพียงแค่ช่วงเวลาที่จะเรียกว่า (โปรไฟล์) โอกาสตั้งแต่คำสั่งเกี่ยวกับการรายงานข่าวไม่ได้ทำล่วงหน้า ด้วยการลด

ช่วงเวลาที่

(ใช่พวกมันเป็นช่วงเวลา) ทำให้เกิดกลุ่มของความเชื่อมั่นที่เพิ่มขึ้น ทฤษฎีแบบอะซิติกติกหรือบูทสแตรปสามารถใช้ในการปรับเทียบ

เพื่อให้ได้ความครอบคลุม 95%

L_{prof} (\bar{x}) = n^{- n}

$L_{\text{prof}}(\bar{x}) = n^{-n}$

I_{r}

$I_r$

r

$r$

I_{r}

$I_r$

r

$r$

หนังสือของโอเว่นครอบคลุมเรื่องนี้อย่างละเอียดและให้ส่วนขยายสำหรับปัญหาทางสถิติที่ซับซ้อนและพารามิเตอร์ที่น่าสนใจอื่น ๆ

— NRH
แหล่งที่มา

(+1) หากไม่มีการเข้าถึงหนังสือหนึ่งสามารถเริ่มต้นด้วยเอกสารต้นฉบับเพื่อรับพื้นฐานของทฤษฎี เช่นเดียวกับหนังสือเอกสารที่เขียนค่อนข้างชัดเจน

— พระคาร์ดินัล

บางลิงค์: ( 1 ) เอโอเว่น (1988), ช่วงความเชื่อมั่นอัตราส่วนเชิงประจักษ์สำหรับเดียวทำงาน , Biometrikaฉบับ 75, No. 2, pp. 237-249, ( 2 ) A. Owen (1990), เขตความเชื่อมั่นของอัตราส่วนความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์ , Ann. statist ฉบับ 18 หมายเลข 1, PP. 90-120 ( เปิดการเข้าถึง ) และ ( 3 ) เอโอเว่น (1991) ความน่าจะเป็นเชิงประจักษ์สำหรับรูปแบบเชิงเส้น , แอน statist ฉบับ 19 หมายเลข 4, pp. 1725-1747 ( เปิดการเข้าถึง )

— พระคาร์ดินัล

@cardinal Fantastic! น่าจะมีความคิดของตัวเองว่า

— Sameer

L_{p r o f} (μ)

$L_{prof}(\mu)$

a r g m a x

$argmax$

p

$p$

L_{p r o f} (\bar{x}) = n^{n}

$L_{prof}(\bar{x})=n^n$

\prod_{i} n^{- 1} = n^{- n}

$\prod_i n^{-1} = n^{-n}$

μ

$\mu$

E [g (X, θ)] = 0

$E[g(X,\theta)] = 0$

X

$X$

g

$g$

q

$q$

θ \in Θ \subseteq R^{p}

$\theta \in \Theta \subseteq \mathbb{R}^p$

q \geq p

$q \geq p$

g

$g$

θ

$\theta$

{\hat{θ}}_{GMM} = {argmin}_{θ \in Θ} {\bar{g}}_{n} (θ)^{'} W {\bar{g}}_{n} (θ)

$\hat{\theta}_\text{GMM} = \text{argmin}_{\theta \in \Theta} \; \bar{g}_n(\theta) 'W \bar{g}_n(\theta)$

W

$W$

{\bar{g}}_{n} (θ) := \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} g (X_{i}, θ) .

$\bar{g}_n(\theta) := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n g(X_i,\theta).$

θ

$\theta$

L (θ) = max_{p_{1}, \dots, p_{n}} \prod_{i = 1}^{n} p_{i}

$L(\theta) = \max_{p_1,\ldots,p_n} \; \prod_{i=1}^n p_i$

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1, p_{i} \geq 0, \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \cdot g (X_{i}, θ) = 0.

$\sum_{i=1}^n p_i=1, \qquad p_i \geq 0, \qquad \sum_{i=1}^n p_i \cdot g(X_i,\theta) = 0.$

θ

$\theta$

{\hat{θ}}_{EL} = {argmax}_{θ \in Θ} \log L (θ) .

$\hat{\theta}_\text{EL} = \text{argmax}_{\theta \in \Theta} \; \log L(\theta).$

มีเหตุผลหลายประการที่ทำให้ EL ให้ความสนใจด้านเศรษฐมิติ แต่ฉันหวังว่านี่เป็นจุดเริ่มต้นที่มีประโยชน์ โมเดลความเสมอภาคช่วงเวลาเป็นเรื่องธรรมดามากในเศรษฐศาสตร์เชิงประจักษ์

— Aelmore
แหล่งที่มา

ขอบคุณที่เขียนคำตอบที่ชัดเจนและมีการอ้างอิงดี ยินดีต้อนรับสู่ชุมชนของเรา!

— whuber

ในการวิเคราะห์การอยู่รอดเส้นโค้ง Kaplan-Meier เป็นตัวประมาณค่าแบบไม่อิงพารามิเตอร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดของฟังก์ชันการอยู่รอด $S(t) = Pr(T > t)$ ที่ไหน $T$ หมายถึงตัวแปรสุ่มแบบเวลาต่อเหตุการณ์ โดยทั่วไป $\hat{S}$ เป็นลักษณะทั่วไปของฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์ซึ่งอนุญาตให้มีการเซ็นเซอร์ มันสามารถได้มาจากการเรียนรู้แบบ Heuristically ตามที่กำหนดไว้ในตำราปฏิบัติมากที่สุด แต่มันยังสามารถได้รับอย่างเป็นทางการเป็นตัวประมาณค่าความเป็นไปได้สูงสุด (เชิงประจักษ์) นี่คือรายละเอียดเพิ่มเติม

— ocram
แหล่งที่มา