ลักษณะทั่วไปอย่างต่อเนื่องของการแจกแจงทวินามลบ

การแจกแจงลบทวินาม (NB)ถูกกำหนดในจำนวนเต็มไม่เป็นลบและมีฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น

f (k; r, p) = (\binom{k + r - 1}{k}) p^{k} (1 - p)^{r} .

$f(k;r,p)={\binom {k+r-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}.$ มันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่จะต้องพิจารณาการกระจายอย่างต่อเนื่องบน reals ที่ไม่เป็นลบซึ่งกำหนดโดยสูตรเดียวกัน (แทนที่

k \in N_{0}

$k\in \mathbb N_0$ โดย

x \in R_{\geq 0}

$x\in\mathbb R_{\ge 0}$ )? ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามสามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ของ

(k + 1) \cdot \dots \cdot (k + r - 1)

$(k+1)\cdot\ldots\cdot(k+r-1)$ ซึ่งเป็นที่ที่ดีที่กำหนดจริงใด ๆk

k

$k$ ดังนั้นเราจะมี PDF

f (x; r, p) \propto \prod_{i = 1}^{r - 1} (x + i) \cdot p^{x} (1 - p)^{r} .

$f(x;r,p)\propto\prod_{i=1}^{r-1}(x+i)\cdot p^{x}(1-p)^{r}.$ โดยทั่วไปเราสามารถแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามด้วยฟังก์ชันแกมมาทำให้ค่า

ไม่ใช่จำนวนเต็ม

r

$r$ :

f (x; r, p) \propto \frac{Γ (x + r)}{Γ (x + 1) Γ (r)} \cdot p^{x} (1 - p)^{r} .

$f(x;r,p)\propto\frac{\Gamma(x+r)}{\Gamma(x+1)\Gamma(r)}\cdot p^{x}(1-p)^{r}.$

เป็นการกระจายที่ถูกต้องหรือไม่ มันมีชื่อหรือไม่? มันมีประโยชน์อะไรบ้าง? มันอาจจะเป็นสารประกอบหรือส่วนผสมบางอย่าง? มีสูตรปิดสำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน (และค่าคงที่สัดส่วนใน PDF) หรือไม่

(ขณะนี้ฉันกำลังศึกษากระดาษที่ใช้แบบผสม NB (ที่มีค่าคงที่ $r=2$ ) และเหมาะกับมันผ่านทาง EM อย่างไรก็ตามข้อมูลเป็นจำนวนเต็มหลังจากการทำให้เป็นมาตรฐานบางอย่างเช่นไม่ใช่จำนวนเต็มอย่างไรก็ตามผู้เขียนใช้สูตร NB มาตรฐานเพื่อคำนวณ ความเป็นไปได้และผลลัพธ์ที่สมเหตุสมผลดังนั้นทุกอย่างดูเหมือนจะใช้ได้ดีฉันพบว่ามันน่างงมากโปรดทราบว่าคำถามนี้ไม่เกี่ยวกับ NB GLM)

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica
แหล่งที่มา

นั่นจะไม่ใช่ส่วนผสมของ Gammas ที่มีพารามิเตอร์มาตราส่วน

- \log p

$-\log p$ หรือไม่ หากคุณขยายพหุนาม

Π_{i = 1}^{r - 1} (x + i)

$\Pi_{i=1}^{r-1}(x+i)$ คุณจะได้รับ

\sum_{i = 2}^{r} a_{i} x^{i - 1}

$\sum_{i=2}^ra_ix^{i-1}$ แล้วคูณด้วย

p^{x}

$p^x$ เหมือนกับ

\exp {x \log p}

$\exp\{x\log p\}$ โดยที่

a_{i}

$a_i$ คือสัมประสิทธิ์ของ

x^{i - 1}

$x^{i-1}$ ในพหุนามและ

\log p < 0

$\log p < 0$ แน่นอนดังนั้นดูเหมือนว่ามันจะแปลงเป็น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของการแจกแจงแกมมาคือส่วนผสม

— jbowman

... ควรเป็น

i = 1

$i=1$ จากผลรวมข้างต้นจริง ๆ แล้ว

— jbowman

เนื่องจาก

(1 - p)^{r}

$(1-p)^r$ ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เท่านั้นจึงเป็นค่าคงที่ที่สามารถดูดซึมได้ในสัดส่วน ยิ่งกว่านั้น

(\binom{x + r - 1}{x}) = Γ (x + r) / (Γ (r) Γ (x + 1))

$\binom{x+r-1}{x}=\Gamma(x+r)/(\Gamma(r)\Gamma(x+1))$ ก็มีค่าคงที่

1 / Γ (r)

$1/\Gamma(r)$ ที่สามารถ ถูกเพิกเฉย การเขียน

p^{k} = e^{- k ρ}

$p^k=e^{-k\rho}$ สำหรับ

ρ = - \log (p) \geq 0

$\rho=-\log(p) \ge 0$ คุณกำลังถามเกี่ยวกับความหนาแน่นตามสัดส่วนของ

f (x; r, ρ) = \frac{Γ (x + r)}{Γ (x + 1)} e^{- ρ x} .

$f(x;r,\rho)=\frac{\Gamma(x+r)}{\Gamma(x+1)}\,e^{-\rho x}.$ ที่ระบุ

ρ

$\rho$ เป็นปัจจัยขนาดและ

r

$r$ เป็นพารามิเตอร์รูปร่าง สำหรับอินทิกรัล

r

$r$ มันชัดเจนว่าเป็นส่วนผสมของการแจกแจงแกมม่า แม้ว่าจะไม่มีเหตุผลที่จะ จำกัด

r

$r$ เป็นจำนวนเต็ม

— whuber

@whuber ถูกต้อง ที่จริงฉันใช้การแจกแจงที่ต่อเนื่องกับค่าบวกและมีจุดมวลที่ศูนย์ ฉันเชื่อว่านี่เป็นวิธีการที่ถูกต้อง แต่ฉันได้รับการแนะนำให้ใช้การวางนัยทั่วไปแบบต่อเนื่องของ NB ที่น่าจะมีค่าเป็นศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นคำถามของฉัน

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

ฉันคิดว่าอาจมีความสับสนในข้อเสนอแนะ: ดูเหมือนจะทำให้เกิดความน่าจะเป็นสับสน(ซึ่งเป็นสิ่งที่มวลมีจุดหรือการกระจาย NB มีศูนย์) ด้วยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (ซึ่งเป็นค่าจะเป็น) ความหนาแน่นที่ไม่ใช่ศูนย์ไม่อนุญาตให้คุณจัดการกับศูนย์ที่แน่นอนเพราะมันยังทำนายโอกาสที่ไม่มีศูนย์ว่าค่าใด ๆจะเกิดขึ้น!

f (0, θ)

$f(0,\theta)$

0

$0$

— whuber

นั่นเป็นคำถามที่น่าสนใจ กลุ่มวิจัยของฉันใช้การแจกจ่ายที่คุณอ้างถึงเป็นเวลาหลายปีในซอฟท์แวร์ชีวสารสนเทศศาสตร์ของเรา เท่าที่ฉันรู้การกระจายไม่มีชื่อและไม่มีวรรณกรรมในนั้น ในขณะที่รายงานโดย Chandra et al (2012) ที่อ้างถึงโดย Aksakal นั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดการแจกแจงที่พวกเขาคิดว่าจะถูก จำกัด ด้วยค่าจำนวนเต็มสำหรับและดูเหมือนว่าพวกเขาจะไม่ได้แสดงออกอย่างชัดเจนสำหรับ pdf $r$

เพื่อให้คุณมีพื้นหลังการกระจาย NB ถูกใช้อย่างมากในการวิจัยจีโนมเพื่อจำลองข้อมูลการแสดงออกของยีนที่เกิดจาก RNA-seq และเทคโนโลยีที่เกี่ยวข้อง ข้อมูลการนับเกิดขึ้นเมื่อจำนวนของลำดับ DNA หรือ RNA อ่านสกัดจากตัวอย่างทางชีวภาพที่สามารถแมปกับแต่ละยีน โดยทั่วไปแล้วจะมีการอ่านจำนวนสิบล้านครั้งจากตัวอย่างทางชีวภาพแต่ละชนิดที่แมปกับยีนประมาณ 25,000 ยีน อีกทางเลือกหนึ่งอาจมีตัวอย่างดีเอ็นเอจากการอ่านที่แมปไปยังหน้าต่างจีโนม เราและคนอื่น ๆ ได้รับความนิยมเป็นแนวทางโดยที่ NB glms ถูกติดตั้งตามลำดับการอ่านสำหรับแต่ละยีนและวิธีการเชิงประจักษ์ Bayes ถูกใช้เพื่อกลั่นกรองตัวประมาณการกระจายตัวของ genewise (การกระจาย $\phi=1/r$ ) วิธีการนี้ได้รับการอ้างถึงในบทความวารสารนับหมื่นในวรรณคดีจีโนมดังนั้นคุณจะได้รับความคิดว่ามันถูกใช้ไปมากน้อยเพียงใด

กลุ่มของฉันเก็บรักษาชุดซอฟท์แวร์ edgeR R ไว้. เมื่อหลายปีก่อนเราได้ทำการปรับปรุงบรรจุภัณฑ์ทั้งหมดเพื่อให้สามารถใช้งานได้กับการนับเศษส่วนโดยใช้ NB pmf เวอร์ชันต่อเนื่อง เราเพียงแปลงค่าสัมประสิทธิ์ทวินามทั้งหมดใน NB pmf เป็นอัตราส่วนของฟังก์ชันแกมม่าและใช้เป็น pdf แบบต่อเนื่อง (ผสม) แรงจูงใจสำหรับเรื่องนี้คือการนับลำดับการอ่านบางครั้งอาจเป็นเศษส่วนเนื่องจาก (1) การทำแผนที่ที่คลุมเครือของการอ่านไปที่ transcriptome หรือจีโนมและ / หรือ (2) การทำให้มาตรฐานของการนับถูกต้องเพื่อผลทางเทคนิค ดังนั้นการนับบางครั้งจึงคาดว่าจะมีการนับหรือการนับโดยประมาณมากกว่าการนับที่สังเกตได้ และแน่นอนจำนวนการอ่านอาจเป็นศูนย์อย่างแน่นอนด้วยความน่าจะเป็นในเชิงบวก วิธีการของเราทำให้มั่นใจได้ว่าการอนุมานเป็นผลมาจากซอฟต์แวร์ของเราอย่างต่อเนื่องในการนับการจับคู่กับผลลัพธ์ NB โดยสิ้นเชิงเมื่อจำนวนการประมาณการโดยประมาณเกิดขึ้นเป็นจำนวนเต็ม

เท่าที่ฉันรู้ไม่มีรูปแบบปิดสำหรับค่าคงที่ normalizing ใน pdf และไม่มีรูปแบบปิดสำหรับค่าเฉลี่ยหรือความแปรปรวน เมื่อพิจารณาแล้วเห็นว่าไม่มีรูปแบบปิดสำหรับอินทิกรัล (ค่าคงที่ของ Fransen-Robinson) เป็นที่ชัดเจนว่าไม่มีอินทิกรัลของอินทิกรัลต่อเนื่อง NB pdf เช่นกัน อย่างไรก็ตามสำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าสูตรเฉลี่ยและความแปรปรวนแบบดั้งเดิมสำหรับ NB ควรจะเป็นค่าประมาณที่ดีสำหรับ NB ต่อเนื่อง ยิ่งไปกว่านั้นค่าคงที่ normalizing ควรแปรผันอย่างช้าๆด้วยพารามิเตอร์และสามารถเพิกเฉยได้เนื่องจากมีอิทธิพลเล็กน้อยในการคำนวณความน่าจะเป็นสูงสุด

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (x)} d z

$\int_0^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}dz$

เราสามารถยืนยันสมมติฐานเหล่านี้ได้ด้วยการรวมเชิงตัวเลข การกระจาย NB เกิดขึ้นในชีวสารสนเทศศาสตร์เป็นส่วนผสมแกมมาของการแจกแจงปัวซง (ดูWikipedia บทความทวินามลบหรือ McCarthy et al ด้านล่าง) การกระจาย NB อย่างต่อเนื่องเกิดขึ้นเพียงแค่แทนที่การกระจาย Poisson ด้วยอะนาล็อกต่อเนื่องกับ pdf สำหรับที่เป็นค่าคงที่ normalizing เพื่อให้แน่ใจว่าบูรณาการความหนาแน่น 1. สมมติว่าเช่นว่า\การแจกแจงปัวซองนั้น pmf เท่ากับ pdf ข้างต้นในจำนวนเต็มไม่เป็นลบและมี

f (x; λ) = a (λ) \frac{e^{- λ} λ^{x}}{Γ (x + 1)}

$f(x;\lambda)=a(\lambda)\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{\Gamma(x+1)}$

x \geq 0

$x\ge 0$

a (λ)

$a(\lambda)$

λ = 10

$\lambda=10$

λ = 10

$\lambda=10$ ค่าเฉลี่ยของปัวซองและค่าความแปรปรวนเท่ากับ 10 การรวมตัวเลขแสดงให้เห็นว่าและค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบต่อเนื่องเท่ากับ 10 ถึง 4 ตัวเลขที่มีนัยสำคัญ ดังนั้นค่าคงที่การทำให้เป็นปกติเท่ากับ 1 และค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเกือบจะเหมือนกับการกระจายตัวแบบปัวซองโดยสิ้นเชิง การประมาณมีการปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นถ้าเราเพิ่มการแก้ไขความต่อเนื่องซึ่งรวมจากถึงแทนที่จะเป็น 0 ด้วยการแก้ไขความต่อเนื่องทุกอย่างถูกต้อง (การปรับค่าคงที่ปกติคือ 1 และช่วงเวลาที่เห็นพ้องกับปัวซอง ตัวเลข

a (10) = 1 / 0.999875

$a(10)=1/0.999875$

- 1 / 2

$-1/2$

\infty

$\infty$

ในแพ็คเกจ edgeR ของเราเราไม่จำเป็นต้องทำการปรับเปลี่ยนใด ๆ สำหรับความจริงที่ว่ามีมวลเป็นศูนย์เพราะเรามักจะทำงานกับความน่าจะเป็นบันทึกตามเงื่อนไขหรือความแตกต่างของบันทึกโอกาสและฟังก์ชั่นเดลต้าใด ๆ นี่คือ BTW ทั่วไปสำหรับ glms ที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบผสม หรือเราอาจพิจารณาการกระจายตัวที่ไม่มีมวลที่ศูนย์ แต่ต้องมีการสนับสนุนเริ่มต้นที่ -1/2 แทนที่จะเป็นศูนย์ มุมมองทางทฤษฎีนำไปสู่การคำนวณเดียวกันในทางปฏิบัติ

แม้ว่าเราจะใช้ประโยชน์จากการกระจาย NB อย่างต่อเนื่อง แต่เรายังไม่ได้เผยแพร่อะไรเลยอย่างชัดเจน บทความที่อ้างถึงด้านล่างอธิบายวิธีการ NB ของข้อมูลจีโนม แต่ไม่ได้กล่าวถึงการกระจาย NB อย่างต่อเนื่องอย่างชัดเจน

โดยสรุปแล้วฉันไม่แปลกใจเลยว่าบทความที่คุณกำลังศึกษาได้รับผลลัพธ์ที่สมเหตุสมผลจาก NB pdf รุ่นต่อเนื่องเพราะนั่นเป็นประสบการณ์ของเราเช่นกัน ความต้องการหลักคือเราควรสร้างแบบจำลองค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนอย่างถูกต้องและจะต้องให้ข้อมูลไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็มหรือไม่ก็ตามแสดงรูปแบบเดียวกันของความสัมพันธ์แปรปรวนกำลังสองแบบสมการกำลังสองที่การกระจาย NB ทำ

อ้างอิง

โรบินสัน, M. และ Smyth, GK (2008) การประมาณค่าตัวอย่างเล็ก ๆ ของการกระจายทวินามเชิงลบกับการใช้งานข้อมูล ชีวสถิติ 9, 321-332

Robinson, MD และ Smyth, GK (2007) การตรวจสอบการทดสอบทางสถิติสำหรับการประเมินความแตกต่างในความอุดมสมบูรณ์แท็ก ชีวสารสนเทศศาสตร์ 23, 2881-2887

McCarthy, DJ, Chen, Y, Smyth, GK (2012) การวิเคราะห์การแสดงออกที่แตกต่างกันของการทดลอง Multifactor RNA-Seq ส่วนที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงทางชีวภาพ การวิจัยกรดนิวคลีอิก 40, 4288-4297

เฉิน, Y, Lun, ATL, และ Smyth, GK (2014) การวิเคราะห์การแสดงออกที่แตกต่างของการทดลอง RNA-seq ที่ซับซ้อนโดยใช้ edgeR ใน: การวิเคราะห์ทางสถิติของข้อมูลลำดับถัดไป, Somnath Datta และ Daniel S Nettleton (บรรณาธิการ), Springer, New York, หน้า 51-74 preprint

Lun, ATL, Chen, Y และ Smyth, GK (2016) DE-licious: สูตรสำหรับการวิเคราะห์การแสดงออกที่แตกต่างกันของการทดลอง RNA-seq โดยใช้วิธีเสมือนจริงใน edgeR วิธีการทางอณูชีววิทยา 1418, 391-416 preprint

Chen Y, Lun ATL และ Smyth, GK (2016) จากการอ่านยีนไปอย่างทุลักทุเล: วิเคราะห์การแสดงออกของความแตกต่างของการทดลอง RNA-Seq ใช้ Rsubread และ edger ท่อกึ่งโอกาส F1000 การวิจัย 5, 1438

— Gordon Smyth
แหล่งที่มา

สิ่งนี้มีประโยชน์อย่างยิ่ง @Gordon; ขอบคุณมากที่สละเวลาเขียนมัน ฉันกำลังทำงานกับข้อมูล RNA-seq เช่นกันดังนั้นคำตอบจากมุมมองนี้จึงมีคุณค่าอย่างยิ่ง (ตอนนี้ฉันได้เพิ่มแท็ก [ชีวสารสนเทศ] ไว้ในคำถาม) งานของคุณเกี่ยวกับการแสดงออกที่แตกต่างในขณะที่งานปัจจุบันของฉันเกี่ยวกับการจัดกลุ่ม (กระดาษที่ฉันอ่านคือแฮร์ริสและคณะ CA1 interneurons; biorxiv ) อย่างไรก็ตามฉันขอถามคำถามเล็ก ๆ สองสามข้อ / คำชี้แจง [ต่อ]

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

(1) คุณบอกว่า NB ต่อเนื่องคือส่วนผสมแกมม่าของ Poissons ต่อเนื่อง คุณช่วยขยายมันหน่อยได้ไหมแสดงให้ชัดขึ้นอีกหน่อย? ฉันคิดว่านี่จะเป็นประโยชน์สำหรับผู้ชมทั่วไป ที่เกี่ยวข้องกับการว่าในการแสดงความคิดเห็นภายใต้คำถามของฉันคนสองคนที่เขียนว่าอย่างต่อเนื่อง NB ควรจะเป็นส่วนผสมของ gammas กับพารามิเตอร์ขนาดแต่สำหรับจำนวนเต็มRมุมมองทั้งสองเป็นจริงหรือไม่ (2) คุณบอกว่าฟังก์ชัน delta ในศูนย์ไม่สำคัญสำหรับ GLMs ในขณะเดียวกันก็มีวรรณกรรมขนาดใหญ่เกี่ยวกับ GLMs ที่มีการแจกแจงที่ไม่พอง มันเข้ากันได้อย่างไร

- \log (p)

$-\log(p)$

r

$r$

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

(3) ในงานภาคปฏิบัติคุณใช้ ML ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ทั้งหมดรวมถึงหรือคุณกำหนดค่าเป็นค่าเฉพาะล่วงหน้า (อาจเป็นค่าเดียวกันที่ใช้ร่วมกันสำหรับยีนทั้งหมดหรือไม่) แล้วให้ค่าคงที่หรือไม่ ฉันเดาว่านี่น่าจะง่ายกว่ามาก (เช่น NB เองเป็นตระกูลการกระจายแบบเอกซ์ แต่มีค่าคงที่ )

r

$r$

r

$r$

r

$r$

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

@ amoeba ขอบคุณสำหรับการอ้างอิง biorxiv (1) ความเป็นมาของ NB ในฐานะส่วนผสมของ Poissons ค่อนข้างเป็นที่รู้จักกันดีและอยู่ในเอกสารของเราเช่น McCarthy และคณะ ความเป็นมาของ NB อย่างต่อเนื่องดังต่อไปนี้เพียงแค่แทนที่ Poisson ต่อเนื่องของ Poisson ฉันควรเพิ่มสิ่งนี้ในคำตอบของฉันหรือไม่ จะทำให้มันยาว ฉันไม่เห็นว่า NB ต่อเนื่องสามารถนำไปใช้ประโยชน์ในฐานะเป็นส่วนผสมของ gammas ได้อย่างไร (2) ไม่ศูนย์เงินเฟ้อเป็นภาวะแทรกซ้อนที่แตกต่างเพิ่มเติม เราหลีกเลี่ยงความยุ่งยากในการทำงานของเรา

— Gordon Smyth

@amoeba (3) เราประเมินพารามิเตอร์ทั้งหมด จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องประเมินการกระจายของ genewise เพื่อให้ได้การควบคุมอัตราความผิดพลาดและสิ่งนี้จะต้องดำเนินการด้วยความระมัดระวังเป็นพิเศษเพราะขนาดตัวอย่างมักจะเล็ก เราใช้ขั้นตอนที่ซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นของโปรไฟล์ที่ถูกปรับ (คิดว่า REML) ภายในแต่ละยีนที่เชื่อมโยงกับกระบวนวิธีเบส์เชิงประจักษ์ถ่วงน้ำหนักระหว่างยีน Genewise NB glms นั้นติดตั้งโดย ML โดยมีการกระจายตัวคงที่ สุดท้ายทดสอบสัมประสิทธิ์โดยใช้การทดสอบเสมือน

— Gordon Smyth

ดูกระดาษนี้: จันทรานิมามาร์และดิลิปรอย รุ่นต่อเนื่องของการแจกแจงทวินามลบ Statistica 72, no. 1 (2012): 81

มันถูกนิยามไว้ในกระดาษว่าเป็นฟังก์ชันการอยู่รอดซึ่งเป็นวิธีการทางธรรมชาติเนื่องจากมีทวินามทวินามในการวิเคราะห์ความน่าเชื่อถือ:

S_{r} (x) = {\begin{cases} q^{x} & for r = 1 \\ \sum_{k = 0}^{r - 1} (\binom{x + k - 1}{k}) p^{k} q^{x} & for r = 2, 3, \dots \end{cases}

$S_r(x)=\begin{cases}q^x & \text{for}\ r=1 \\ \sum_{k=0}^{r-1}\binom {x+k-1}{k}p^kq^x & \text{for}\ r=2,3,\dots \end{cases}$ โดยที่และ 0

q = e^{- λ}, λ \geq 0, p + q = 1

$q=e^{-\lambda},\lambda\ge 0,p+q=1$

r \in N, r > 0

$r\in\mathbb N,r>0$

— Aksakal
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! ฉันจะดูเอกสารนี้ (ไม่ใช่ฉันที่ลงคะแนน)

— อะมีบากล่าวว่า Reinstate Monica

@ amoeba, ฉันไม่ต้องกังวลกับ downvoting, มันเป็นอินเทอร์เน็ต :)

— Aksakal

(มันแปลกประหลาดที่คำตอบนี้ถูกลดระดับลง ... ) +1

— whuber

มันเป็นการดีที่มีการอ้างอิงนี้ แต่นึกคิดฉันต้องการที่จะเห็นการอภิปรายรายละเอียดเพิ่มเติมที่นี่ ฟังก์ชันการอยู่รอดนี้กำหนดการกระจายตัวแบบเดียวกับ PDF ในคำถามของฉันหรือไม่ (อย่างไรก็ตามฉันพบว่ามันแปลกเล็กน้อยที่ผู้เขียนใช้สัมประสิทธิ์ทวินามสำหรับค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็มของ ) ความคิดเห็นหลายข้อข้างต้นชี้ให้เห็นว่านี่เป็นส่วนผสมของการแจกแจงแกมมา (ฉันไม่เห็นการสนทนานี้ใน กระดาษ); พารามิเตอร์ของ gammas เหล่านี้คืออะไรน้ำหนักผสมคืออะไร สูตร NB สำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนมีไว้สำหรับเวอร์ชันต่อเนื่องหรือไม่

x

$x$

— อะมีบากล่าวว่า Reinstate Monica

@ amoeba, กระดาษมีช่วงเวลา, พวกเขาไม่เหมือนกับใน NB, น่าเสียดายที่

— Aksakal