พิสูจน์ง่ายของ

ให้เป็นตัวแปรสุ่มมาตรฐานแบบอิสระที่เป็นอิสระ มีหลักฐานมากมาย (ยาว) ออกมาแสดงว่า $Z_1,\cdots,Z_n$

\sum_{i = 1}^{n} {(Z_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Z_{j})}^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\sum_{i=1}^n \left(Z_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j \right)^2 \sim \chi^2_{n-1}$

หลักฐานจำนวนมากค่อนข้างยาวและบางส่วนใช้การเหนี่ยวนำ (เช่นการอนุมานเชิงสถิติของ Casella) ฉันสงสัยว่ามีข้อพิสูจน์เรื่องผลการทดลองนี้หรือไม่

mathematical-statistics sampling

— 3x89g2
แหล่งที่มา

สำหรับวิธีการทางเรขาคณิตที่ใช้งานง่าย (ปราศจากการประสานงาน) ให้ดูหัวข้อ 1.2 ของข้อความที่ยอดเยี่ยมแนวทางการประสานงานกับโมเดลเชิงเส้นโดย Michael J. Wichura (รายละเอียดทางเทคนิคเต็มไปด้วยทฤษฎีบท 8.2) ซึ่งผู้เขียนเปรียบเทียบจริง ๆ หลักฐานเมทริกซ์ (จัดทำโดยคำตอบของคนผิวขาว) และวิธีการฉายของเขาแสดงให้เห็นว่าวิธีการทางเรขาคณิตของเขาเป็นธรรมชาติมากขึ้นและชัดเจนน้อยลง โดยส่วนตัวแล้วฉันคิดว่าหลักฐานนี้มีความลึกซึ้งและรัดกุม

— Zhanxiong

คำตอบ:

สำหรับ , define $k=1, 2, \ldots, n-1$

X_{k} = (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{k} - k Z_{k + 1}) / \sqrt{k + k^{2}} .

$X_k = (Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_k - kZ_{k+1})/\sqrt{k+k^2}.$

เป็นเชิงเส้นของการเปลี่ยนแปลงการกระจาย multinormally ตัวแปรสุ่มยังมีการกระจาย multinormal สังเกตได้ว่า $X_k$ $Z_i$

Variance-covariance matrix ของคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ $(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})$ $n-1\times n-1$
$X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{n-1}^2 = \sum_{i=1}^n (Z_i-\bar Z)^2.$

$(1)$ ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบหมายถึงโดยตรงเมื่อการสังเกตทั้งหมดไม่เกี่ยวข้องกับ การคำนวณทั้งหมดมาถึงข้อเท็จจริงที่ว่าโดยที่ มีคน $(2)$ $X_k$ $\bar Z.$ $1+1+\cdots+1 - k = 0$ $k$

ร่วมกันแสดงให้เห็นว่ามีการกระจายของผลรวมของหน่วยแปรปรวนหน่วยที่ไม่เกี่ยวข้องตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้อง ตามคำนิยามนี้เป็นการจัดจำหน่ายQED $\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2$ $n-1$ $\chi^2(n-1)$

อ้างอิง

สำหรับคำอธิบายที่ก่อสร้างที่มาจากการดูที่จุดเริ่มต้นของคำตอบของฉันที่วิธีการดำเนินการเปลี่ยนแปลงเข้าสู่ระบบอัตราส่วนภาพวาดสามมิติที่เกี่ยวข้องกับการฝึกอบรม Helmert $X_k$
นี่คือความเรียบง่ายของการสาธิตทั่วไปในคำตอบ ocram ที่เป็นเหตุผลว่าทำไม RSS กระจายไคตารางเวลา NP คำตอบนั้นอ้างว่า "มีเมทริกซ์อยู่" เพื่อสร้าง ; ที่นี่ฉันแสดงเมทริกซ์ดังกล่าว $X_k$

— whuber
แหล่งที่มา

สิ่งก่อสร้างนี้มีการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย (1) ตัวแปร

นั้นกระจายอยู่ในการกระจายสมมาตรทรงกลม n มิติ (ดังนั้นเราสามารถหมุนได้ทุกอย่างที่เราต้องการ) (2)

ถูกพบว่าเป็นวิธีการแก้ปัญหาเชิงเส้น

ซึ่งเป็นการฉายภาพเวกเตอร์

บน

อย่างมีประสิทธิภาพ (3) ถ้าเราหมุนพื้นที่พิกัดซึ่งหนึ่งในพิกัดนั้นสอดคล้องกับเวกเตอร์เส้นโครง,

, ส่วนที่เหลือคือการแจกแจงแบบหลายมิติ (n-1) - แทนส่วนที่เหลือ

Z_{i}

$Z_i$

\bar{Z}

$\overline{Z}$

Z_{i} = \bar{Z} + ϵ_{i}

$Z_i = \overline{Z} + \epsilon_i$

Z

$\mathbf{Z}$

1

$\mathbf{1}$

1

$\mathbf{1}$

— Sextus Empiricus

คุณแสดงให้เห็นว่า

ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องซึ่งกันและกัน แต่เท่าที่ผมเข้าใจที่จะกล่าวว่าผลรวมของตัวแปรปกติ Squared มาตรฐานคือ

เราต้องเป็นอิสระซึ่งเป็นความต้องการที่แข็งแกร่งกว่า uncorrelated? แก้ไข: โอ้เดี๋ยวก่อนถ้าเรารู้ว่าสองตัวแปรมีการกระจายตามปกติแล้ว uncorrelated หมายถึงความเป็นอิสระ

X_{i}

$X_i$

χ^{2}

$\chi^2$

— user56834

นอกจากนี้ฉันไม่เข้าใจว่าคุณไปจากความจริงที่ว่า

ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ

(ซึ่งฉันเข้าใจ) ถึง (2) คุณสามารถทำอย่างละเอียด?

X_{i}

$X_i$

\bar{Z}

$\bar Z$

— user56834

@Programmer ขออภัย; ฉันไม่ได้ตั้งใจจะบอกว่ามันเป็นการหักเชิงตรรกะ - (1) และ (2) เป็นสองข้อสังเกตที่แยกกัน (2) เป็นเพียงข้อมูลเชิงพีชคณิต (ตรงไปตรงมา)

— whuber

โปรแกรมเมอร์ให้สังเกตลิงก์ไปยังคำตอบอื่น ๆ ที่ Whuber ให้ไว้ ( stats.stackexchange.com/questions/259208/ ...... )

สร้างขึ้นจากเมทริกซ์

และแถวมุมฉาก ดังนั้นคุณสามารถประเมินได้ในทางที่เป็นนามธรรม (ผิดพลาดน้อยลง) วิธี

เป็น

X_{k}

$X_k$

H

$H$

\sum K_{i}^{2}

$\sum K_i^2$

(โปรดทราบว่าเราต้องขยาย K ด้วยเวกเตอร์ 1111 เพื่อให้เป็น n คูณ n)

K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (H Z)^{T} (H Z) = Z^{T} (H^{T} H) Z = Z^{T} I Z = Z \cdot Z

$K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (HZ)^T (HZ) = Z^T (H^TH) Z= Z^T I Z = Z \cdot Z$

— Sextus Empiricus

หมายเหตุ: คุณบอกว่าเป็น iid ด้วยค่ามาตรฐานโดยมีและ $Z_is$ $N(0,1)$ $\mu=0$ $\sigma=1$

จากนั้น $Z_i^2\sim \chi^2_{(1)}$

จากนั้น

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} & = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z} + \bar{Z})^{2} = Σ_{ผม = 1}^{n} (Z_{ผม} - \bar{Z})^{2} + n {\bar{Z}}^{2} \\ (1) & = Σ_{ผม = 1}^{n} (Z_{ผม} - \bar{Z})^{2} + {[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{i=1}^n Z_i^2&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z}+\bar{Z})^2=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+n\bar{Z}^2\\&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \tag{1} \end{align}$

โปรดทราบว่าด้านซ้ายมือของ (1), และคำที่สองทางด้านขวามือ

Σ_{ผม = 1}^{n} Z_{ผม}^{2} ~ χ_{(n)}^{2}

$\sum_{i=1}^n Z_i^2\sim\chi^2_{(n)}$

{[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} ~ χ_{(1)}^{2} .

$\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \sim\chi^2_{(1)}.$

นอกจากนี้เช่นนั้นและเป็นอิสระ ดังนั้นทั้งสองคำสุดท้ายใน (1) (ฟังก์ชั่นของและ ) นอกจากนี้ยังมีความเป็นอิสระ mgfs ของพวกเขาจึงเกี่ยวข้องกับ mgf ของด้านซ้ายมือของ (1) ถึง $\operatorname{Cov}(Z_i-\bar Z,\bar Z)=0$ $Z_i-\bar Z$ $\bar Z$ $Z_i-\bar Z$ $Z_i$ ที่และ 2mgf ของจึงเป็น

M_{n} (เสื้อ) = M_{n - 1} (เสื้อ) M_{1} (เสื้อ)

$M_n(t) = M_{n-1}(t)M_1(t)$

M_{n} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2}

$M_n(t)=(1-2t)^{-n/2}$

M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- 1 / 2}

$M_1(t)=(1-2t)^{-1/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

ดังนั้น

คือไคสแควร์ที่มี

องศาอิสระ

M_{n - 1} (t) = M_{n} (t) / M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$M_{n-1}(t)=M_n(t)/M_1(t)=(1-2t)^{-(n-1)/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

n - 1

$n-1$

— ภาคเหนือตอนล่าง
แหล่งที่มา

"ดังนั้น" ล่าสุดเป็นความประมาทเกินไป

— Zhanxiong

อิสระสามารถมองเห็นได้จากการเบี่ยงเบนมาตรฐานขึ้นอยู่กับ

\bar{X}

$\bar{X}$

— ลึกเหนือ

\bar{X}

$\bar{X}$

\sum Z_{i}^{2}

$\sum Z_i^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

\sum (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum (Z_i - \bar{Z})^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

ฉันคิดว่าฉันใช้ทฤษฎีบทของ Cochran

— Deep North

@DeepNorth หากคุณกรอกข้อมูลบางส่วนที่ขาดหายไปในหลักฐานของคุณ

— Jarle Tufto