มันมีความหมายอะไรกับ

บ่อยครั้งที่ในการศึกษาสถิติของฉันฉันพบคำศัพท์ " $\sigma$ -algebra ที่สร้างโดยตัวแปรสุ่ม" ฉันไม่เข้าใจคำจำกัดความของวิกิพีเดียแต่สิ่งสำคัญที่สุดคือฉันไม่เข้าใจสัญชาตญาณ ทำไม / เมื่อไหร่ที่เราต้องการ $\sigma-$ จีบราส์ที่สร้างขึ้นโดยตัวแปรสุ่ม? ความหมายของพวกเขาคืออะไร? ฉันรู้ดังต่อไปนี้:

$\sigma$ พีชคณิตในชุด $\Omega$ คือชุดของว่างย่อยของ $\Omega$ ซึ่งมี $\Omega$ , ปิดให้บริการภายใต้การเติมเต็มและอยู่ภายใต้สหภาพนับ
เราแนะนำ $\sigma$ -algebras ไปที่ช่องว่างสร้างความน่าจะเป็นตัวอย่างในช่องว่างที่ไม่มีที่สิ้นสุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า $\Omega$ ไม่มีที่สิ้นสุดนับไม่ถ้วนเรารู้ว่ามีเซตย่อยที่ไม่สามารถวัดค่าได้ (ชุดที่เราไม่สามารถกำหนดความน่าจะเป็น) ดังนั้นเราไม่สามารถใช้ชุดพลังของ $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ เป็นชุดเหตุการณ์ $\mathcal{F}$ เรา เราต้องการชุดที่มีขนาดเล็กกว่าซึ่งยังใหญ่พอที่จะกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่น่าสนใจและเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการลู่เข้าของลำดับของตัวแปรสุ่ม

ในระยะสั้นฉันคิดว่าฉันมีความเข้าใจอย่างเป็นธรรมชาติเกี่ยวกับ $\sigma-$ algebras ฉันต้องการที่จะมีความเข้าใจคล้ายกันสำหรับ $\sigma-$ algebras ที่สร้างขึ้นโดยตัวแปรสุ่ม: นิยามว่าทำไมเราต้องใช้พวกเขาปรีชาตัวอย่าง ...

probability random-variable sigma-algebra

— DeltaIV
แหล่งที่มา

หนึ่งลักษณะที่มีประสิทธิภาพ (และมีความหมายอย่างสังหรณ์ใจ) คือว่านี่คือซิกม่า - พีชคณิตหยาบใน

ที่ทำให้ตัวแปรสุ่มวัดได้

Ω

$\Omega$

— whuber

@whuber coarsest แปลว่าเล็กที่สุด? ในคำอื่น ๆ ที่ฉันมีพื้นที่น่าจะเป็นของฉัน

ฉันมี RV

(ซึ่งเป็นที่วัดได้โดยความหมายของตัวแปรสุ่ม) และ

เป็นส่วนย่อยที่เล็กที่สุดของ

ดังกล่าวว่า

ยังคงเป็น พอประมาณ ตกลง แต่สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามว่ามันหมายถึงอะไรโดยสังเขปว่า

สามารถวัดได้ :-) มันจะสมเหตุสมผลที่จะพูดว่าเราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดในรูป

(Ω, F, P)

$(\Omega,\mathcal{F},P)$

X : Ω \to R

$X:\Omega\to\mathcal{R}$

σ

$\sigma$

F

$\mathcal{F}$

X

$X$

X

$X$

a < X < b

$a\lt X \lt b$ และสหภาพ / ทางแยก?

— DeltaIV

มองไปที่เดียว

ในช่วงเวลาที่กำบังสัญชาตญาณของเล็ก ๆ น้อย ๆ เกี่ยวกับการวัด แนวคิดนี้มาเป็นของตัวเองเมื่อคุณศึกษาคอลเลกชันของตัวแปรสุ่ม - กระบวนการสุ่ม ในทางกลับกันกระบวนการสโตแคสติกที่ง่ายที่สุด (เช่นการเดินสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง จำกัด แบบสุ่ม) ให้การตั้งค่าที่สามารถตีความได้ซึ่งพีชคณิตซิกม่าที่สร้างขึ้นโดยตัวแปรทั้งหมด

สามารถคิดได้ว่า ถึง (และรวมถึง) เวลา

. "

X

$X$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{t}

$X_0, X_1, \ldots, X_t$

t

$t$

— whuber

@whuber ขออภัยฉันไม่เข้าใจ :) ฉันขอขอบคุณถ้าคุณสามารถชี้ให้ฉันเห็นคำตอบของคุณที่คุณไปในรายละเอียดเพิ่มเติมหรือถ้าคุณต้องการที่จะขยายนี้เป็นคำตอบ ไม่อย่างนั้นก็ไม่ต้องกังวล - บางทีฉันอาจไม่รู้กระบวนการสโตแคสติกพอที่จะทำให้คุณได้คะแนน Altough .. ฉันต้องฝึกฝนทักษะ Dynamic Bayesian Network ของฉันดังนั้นถ้าสัญชาตญาณนี้ช่วยเมื่อทำงานในซีรีย์เวลาฉันจะสนใจมาก

— DeltaIV

ดูstats.stackexchange.com/a/123754/919 นอกจากนี้ยังอาจจะเป็นประโยชน์stats.stackexchange.com/a/164995/919และstats.stackexchange.com/a/74339/919

— whuber

พิจารณาตัวแปรสุ่มX $X$ เรารู้ว่า $X$ ไม่มีอะไรเลยนอกจากฟังก์ชั่นที่วัดได้จาก $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ ถึง $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ โดยที่ $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ เป็นเซต Borel ของเส้นจริง ตามคำจำกัดความของการวัดได้เรารู้ว่าเรามี

X^{- 1} (B) \in A, \forall B \in B (R)

$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$

แต่ในทางปฏิบัติ preimages ในชุดโบเรลอาจจะไม่ทั้งหมดของแต่พวกเขาอาจเป็นส่วนย่อยหยาบมากของมัน หากต้องการดูสิ่งนี้ให้เรากำหนด $\mathcal{A}$

Σ = {S \in A : S = X^{- 1} (B), B \in B (R)}

$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$

การใช้คุณสมบัติของ preimages ไม่ยากเกินกว่าที่จะแสดงว่า $\mathcal{\Sigma}$ เป็นซิกม่า - พีชคณิต นอกจากนี้ยังดังต่อไปนี้ได้ทันทีว่า $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ จึง $\mathcal{\Sigma}$ เป็นย่อยพีชคณิตซิกมา เพิ่มเติมโดยคำจำกัดความมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าการทำแผนที่ $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ สามารถวัดได้ $\mathcal{\Sigma}$ ในความเป็นจริงที่เล็กที่สุดพีชคณิตซิกมาที่ทำให้ $X$ ตัวแปรสุ่มทั้งหมด Sigma-จีบอื่น ๆ ของชนิดที่จะอย่างน้อยที่สุด ได้แก่ $\mathcal{\Sigma}$ . สำหรับเหตุผลที่เราจะจัดการกับ preimages ของตัวแปรสุ่ม $X$ เราเรียก $\mathcal{\Sigma}$ ซิกพีชคณิตที่เกิดจากการสุ่มตัวแปรX $X$

นี่คือตัวอย่างมาก: พิจารณาค่าคงที่ตัวแปรสุ่ม $X$ , ที่อยู่, $X(\omega) \equiv \alpha$ อัลฟ่าแล้ว $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ เท่ากับทั้ง $\Omega$ หรือ $\varnothing$ ขึ้นอยู่กับว่า $\alpha \in B$ Bซิกม่า - พีชคณิตที่สร้างขึ้นจึงไม่สำคัญและเป็นเช่นนั้นมันรวมอยู่ใน $\mathcal{A}$ แน่นอน

หวังว่านี่จะช่วยได้

— JohnK
แหล่งที่มา

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— DeltaIV

Yes, I was born with the condition of finding

A

$\mathcal{A}$ more appealing than

F

$\mathcal{F}$ .

— JohnK

excellent! Very clear. You should write a book :)

— DeltaIV