การกระจายแบบเกาส์เป็นกรณีเฉพาะของการแจกแจงแบบเบต้าหรือไม่

หากคุณดูการแจกแจงแบบเบต้าด้วย $\alpha=\beta=4$ มันจะดูคล้ายกับการแจกแจงแบบเกาส์มาก แต่มันคืออะไร คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าการแจกแจงแบบเบต้า (4,4) เป็นแบบเกาส์เซสหรือไม่?

normal-distribution beta-distribution

— user1068636
แหล่งที่มา

การสนับสนุนของพวกเขาแตกต่างกันมาก

— Deep North

@DeepNorth - ดังนั้นคุณแนะนำว่าการแจกแจงแบบเกาส์ไม่ใช่การแจกจ่ายเบต้าแบบเฉพาะเจาะจงหรือไม่

— user1068636

มากกว่าการแนะนำ หากการสนับสนุนแตกต่างกันพวกเขาจะไม่สามารถแจกจ่ายแบบเดียวกันได้

— Glen_b -Reinstate Monica

พวกเขามีทั้งรูปสมมาตรและมากกว่าหรือน้อยกว่ารูประฆัง แต่เบต้าสมมาตร (ไม่ว่าจะเป็นที่ 4,4 หรือที่ค่าใด ๆ ที่เฉพาะเจาะจงอื่น ๆ ) ไม่ได้เป็นแบบเกาส์ คุณสามารถบอกได้แม้จะไม่ได้ดูความหนาแน่น - การแจกแจงแบบเบต้าเปิดอยู่ (0,1) ในขณะที่การแจกแจงแบบเกาส์ทั้งหมดเปิดอยู่ $(-\infty,\infty)$

ลองดูการเปรียบเทียบให้ละเอียดยิ่งขึ้น เราจะสร้างมาตรฐานเบต้า (4,4) เพื่อให้มีค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 ( เบต้ามาตรฐาน ) และดูว่าความหนาแน่นเปรียบเทียบกับ Gaussian มาตรฐานได้อย่างไร:

เบต้ามาตรฐาน (4,4) ถูก จำกัด ให้อยู่ระหว่าง -3 และ 3 (Gaussian มาตรฐานสามารถรับค่าใด ๆ ); มันยังแหลมน้อยกว่าแบบเกาส์เซียนและมี "ไหล่" กลมกว่า 1 หรือประมาณมาตรฐานเบี่ยงเบนทั้งสองข้างของค่าเฉลี่ย มันเป็น kurtosis 27/11 ( , 2.45, vs 3 สำหรับ Gaussian) $\approx$

การแจกแจงแบบสมมาตรเบต้าพร้อมค่าพารามิเตอร์ที่ใหญ่กว่านั้นอยู่ใกล้กับ Gaussian มากขึ้น

ในขีด จำกัด เมื่อพารามิเตอร์เข้าใกล้อนันต์เบต้า symmetric ที่เป็นมาตรฐานจะเข้าหาการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (ตัวอย่างการพิสูจน์ที่นี่ )

ดังนั้นจึงไม่มีกรณีเฉพาะของเบต้าสมมาตรคือเกาส์เซียน แต่กรณี จำกัด ของเบต้าที่ได้มาตรฐานที่เหมาะสมคือเกาส์เซียน เราสามารถเห็นวิธีการนี้ได้ง่ายขึ้นโดยการดู cdf ของเบต้าที่ถูกเปลี่ยนโดยฟังก์ชันควอนไทล์ของเกาส์เซียน ในระดับนี้เกาส์เซียนจะอยู่บนเส้นในขณะที่ตระกูลเบต้าสมมาตรจะเข้าใกล้เส้นเนื่องจากพารามิเตอร์มีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ $y=x$ $y=x$

ในพล็อตด้านล่างเราดูความเบี่ยงเบนจากเส้นเพื่อให้เห็นอย่างชัดเจนมากขึ้นถึงวิธีการของเบต้า ( , ) ไปยังเกาส์เมื่อเพิ่มขึ้น $y=x$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

คุณไม่จำเป็นต้องสร้างมาตรฐานตัวแปรสุ่มเบต้าเพื่อให้มีความแปรปรวนอย่างแน่นอน ; ตัวอย่างเช่นนักศึกษาตัวแปรสุ่มไม่ได้มีความแปรปรวน1ถ้าแทนที่จะพูดอย่างมีประสิทธิภาพว่าถ้าดังนั้น เมื่อเพิ่มขึ้นคุณอาจลดและพูดว่าเมื่อเพิ่มขึ้นและคุณจะมีรูปร่างที่ดีกว่าในใจกลางของการกระจาย

1

$1$

t

$t$

1

$1$

X_{α, α} \sim Beta (α, α)

$X_{\alpha,\alpha} \sim \text{Beta}(\alpha,\alpha)$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (4 (2 α + 1))}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(4(2\alpha+1))}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

+ 1

$+1$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (8 α)}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(8\alpha)}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

— เฮนรี่