ความแตกต่างระหว่างสองสมมาตร rv ของยังมีการกระจายสมมาตรหรือไม่?

ถ้าฉันมีการแจกแจงสมมาตร (เทียบกับค่ามัธยฐาน) สองแบบ $X$ และ $Y$ ความแตกต่างของ ยังเป็นการกระจายแบบสมมาตร (เทียบกับค่ามัธยฐาน) ด้วยหรือไม่ $X-Y$

distributions median

— Alessio93
แหล่งที่มา

การกระจายของ

X - Y

$X-Y$ ไม่ใช่ "ความแตกต่างระหว่างการแจกแจงสองแบบ" แต่เป็นการกระจายความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มแบบกระจายแบบสมมาตร ความแตกต่างในการแจกแจงจะเป็น

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$ ; ซึ่งไม่ใช่การกระจาย; ความแตกต่างของ pdf ในทำนองเดียวกันจะไม่ใช่ pdf ... โปรดแก้ไขคำอธิบายชื่อของคุณ

— Glen_b

@Glen_b: ฉันแก้ไขชื่อ OP เพื่อพูดเช่นนั้น แต่ในอนาคตโปรดไปข้างหน้าและแก้ไขด้วยตัวเอง ผมคิดว่าทุกคนเข้าใจในสิ่งที่ผู้ปฏิบัติการพูดถึง

— smci

@smci ที่จริงแล้วฉันเลือกที่จะขอให้ OP ทำแทนตัวเองด้วยเหตุผล (ถ้าคุณตรวจสอบโปรไฟล์ของฉันคุณจะเห็นว่าฉันมีโพสต์มากกว่า 3100 โพสต์ที่แก้ไข - ฉันเข้าใจกฎทั่วไปเกี่ยวกับการแก้ไข) ขอบคุณที่ช่วยกัน ฉันยังคิดอีกว่าการเอาใจใส่เล็กน้อยเกี่ยวกับการแสดงสิ่งที่มีความหมายจะช่วยแก้ปัญหาคำถามสามเณรในไซต์ได้อย่างมาก และฉันคิดว่าความชัดเจนเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งในชื่อ

— Glen_b -Reinstate Monica

คำตอบ:

ปล่อย $X \sim f(x)$ และ $Y \sim g(y)$ เป็น PDF แบบสมมาตรเกี่ยวกับค่ามัธยฐาน $a$ และ $b$ ตามลำดับ ตราบเท่าที $X$ และ $Y$ มีความเป็นอิสระการกระจายความน่าจะเป็นของความแตกต่าง $Z = X - Y$ คือการโน้มน้าวใจ $X$ และ $-Y$ เช่น

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

ที่ไหน $h(y) = g(-y)$ เป็นเพียง PDF มากกว่า $-Y$ กับค่ามัธยฐาน $-b.$

โดยสังหรณ์ใจเราคาดหวังว่าผลลัพธ์จะสมมาตรกัน $a - b$ ดังนั้นลองทำดู

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

ในบรรทัดที่สองฉันใช้การทดแทน $v = b - y$ ในอินทิกรัล ในบรรทัดที่สามฉันใช้ทั้งความสมมาตรของ $f(x)$ เกี่ยวกับ $a$ และจาก $g(-y)$ เกี่ยวกับ $-b.$ สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่า $p(z)$ มีความสมมาตรเกี่ยวกับ $a - b$ ถ้า $f(x)$ มีความสมมาตรเกี่ยวกับ $a$ และ $g(y)$ มีความสมมาตรเกี่ยวกับ $b.$

ถ้า $X$ และ $Y$ ไม่อิสระและ $f$ และ $g$ เป็นเพียงการกระจายเล็กน้อยจากนั้นเราจะต้องรู้การกระจายตัวของข้อต่อ $X,Y \sim h(x,y).$ จากนั้นในอินทิกรัลเราจะต้องแทนที่ $f(z + y) g(-y)$ กับ $h(z + y, -y).$ อย่างไรก็ตามเนื่องจากการแจกแจงร่อแร่เป็นสมมาตรซึ่งไม่ได้หมายความว่าการกระจายข้อต่อเป็นสมมาตรเกี่ยวกับข้อโต้แย้งแต่ละข้อ ดังนั้นคุณไม่สามารถใช้เหตุผลที่คล้ายกัน

— Bridgeburners
แหล่งที่มา

สิ่งนี้จะขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่าง $x$ และ $y$ นี่คือตัวอย่างเคาน์เตอร์ที่ $x$ และ $y$ มีความสมมาตร แต่ $x-y$ ไม่ใช่:

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

ดังนั้นนี่คือค่ามัธยฐานของ $x-y$ ไม่เหมือนกับความแตกต่างของค่ามัธยฐานและ $x-y$ ไม่สมมาตร

แก้ไข

สิ่งนี้อาจชัดเจนกว่าในรูปแบบของ @ whuber:

พิจารณาการกระจายตัวแบบไม่ต่อเนื่องที่ไหน $x$ และ $y$ มีความเกี่ยวข้องเช่นนั้นคุณสามารถเลือกหนึ่งในคู่ต่อไปนี้:

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

หากคุณยืนยันในการคิดในการแจกแจงแบบเต็มแล้วให้พิจารณากรณี $x$ สามารถใช้กับค่าใด ๆ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ และ $y$ สามารถใช้ค่า $(-3, -1, 0, 1, 3)$ และการรวมกันสามารถใช้กับ 25 คู่ใด ๆ แต่ความน่าจะเป็นของคู่ที่กำหนดข้างต้นคือ 16% ในแต่ละคู่ที่เป็นไปได้อื่น ๆ มีความน่าจะเป็นที่ 1% ต่อคู่ การกระจายเล็กน้อยของ $x$ จะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งแต่ละค่ามีความน่าจะเป็น 20% ดังนั้นสมมาตรเกี่ยวกับค่ามัธยฐานของ 0 จะเป็นจริงสำหรับ $y$ . นำตัวอย่างขนาดใหญ่จากการกระจายข้อต่อและดูเพียง $x$ หรือเพียงแค่ $y$ และคุณจะเห็นการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอ (สมมาตร) แต่รับความแตกต่าง $x-y$ และผลลัพธ์จะไม่สมมาตร

— เกร็กสโนว์
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจตัวอย่างนี้เลย ถ้า

X

$X$ สามารถเท่ากับ 4 และ

Y

$Y$ สามารถเท่ากับเช่น 1 แล้ว

X - Y

$X-Y$ ควรจะเป็น 3 แต่คุณไม่ได้ระบุความเป็นไปได้นี้ บางทีฉันอาจเข้าใจผิดตัวอย่างของคุณ; เวกเตอร์สามตัวนี้คืออะไร?

— อะมีบา

x

$x$ และ

y

$y$ ไม่เป็นอิสระในตัวอย่างของเขา คิดถึง

x

$x$ ,

y

$y$ และ

x - y

$x-y$ เป็นหน้าที่ของตัวแปรสุ่มบางตัว

i

$i$ ดัชนีใดในแต่ละเวกเตอร์ ถ้าอย่างนั้น

i = 0

$i=0$ ,

x = - 4

$x=-4$ ,

y = - 1

$y=-1$ และ

x - y = - 3

$x-y=-3$

— Moormanly

หากคุณกำลังพิจารณา

x

$x$ และ

y

$y$ ไม่ให้เป็นอิสระจากนั้นคุณกำลังดูจริงๆ

(x, y)

$(x,y)$ เป็นตัวแปรสุ่มbivariate ดังเช่นสิ่งที่คุณแสดงให้เห็นว่ามาร์จิ้นแบบสมมาตรไม่ได้บอกเป็นนัยถึงการกระจายตัวของข้อต่อแบบสมมาตร เป็นการสังเกตที่ดี แต่สัญกรณ์ในคำตอบนี้ทำให้สับสน มันอาจจะชัดเจนกว่าที่จะอธิบายข้อมูลในรูปแบบของตัวแปร bivariate ว่า

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$ .

— whuber

@ อะมีบามันขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่าง

X

$X$ และ

Y

$Y$ หากพวกเขาเป็นอิสระหรือขึ้นอยู่กับความอ่อนแอแล้วใช่อาจมีกรณีเช่นคุณพูด แต่ตัวอย่างของฉันคือการพึ่งพาที่แข็งแกร่งระหว่าง 2 ตัวแปร ถ้า X มีความสูงเป็นนิ้วและ y เป็นความสูงเป็นเซนติเมตร

X = 10

$X=10$ เป็นค่าที่เป็นไปได้และ

Y = 1

$Y=1$ เป็นค่าที่เป็นไปได้ แต่ไม่ใช่ในเวลาเดียวกันสำหรับวัตถุเดียวกัน

— Greg Snow

ความคิดเห็นและการแก้ไขได้ชี้แจงสิ่งที่คุณหมายถึง ขอบคุณ

— อะมีบา

คุณจะต้องสมมติความเป็นอิสระระหว่าง X และ Y เพื่อให้สิ่งนี้ถือโดยทั่วไป ผลลัพธ์จะติดตามโดยตรงตั้งแต่การกระจายของ $X-Y$ เป็นฟังก์ชันที่สมมาตรซึ่งเป็นสมมาตรเช่นกัน

— Moormanly
แหล่งที่มา