ปัญหาความสามารถในการประมาณค่าพารามิเตอร์

ให้และเป็นตัวแปรสุ่มสี่ตัวซึ่งโดยที่เป็นพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก นอกจากนี้สมมติว่า ,แล้วอันไหนที่เป็นจริง $Y_1,Y_2,Y_3$ $Y_4$ $E(Y_1)=\theta_1-\theta_3;\space\space E(Y_2)=\theta_1+\theta_2-\theta_3;\space\space E(Y_3)=\theta_1-\theta_3;\space\space E(Y_4)=\theta_1-\theta_2-\theta_3$ $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ $Var(Y_i)=\sigma^2$ $i=1,2,3,4.$

A.สามารถประมาณได้ $\theta_1,\theta_2,\theta_3$

B.สามารถประมาณได้ $\theta_1+\theta_3$

ซีมีที่นับถือและที่ดีที่สุดคือการประมาณการเป็นกลางเชิงเส้นของ\ $\theta_1-\theta_3$ $\dfrac{1}{2}(Y_1+Y_3)$ $\theta_1-\theta_3$

D.สามารถประมาณได้ $\theta_2$

คำตอบคือ C ซึ่งดูแปลกสำหรับฉัน (เพราะฉันได้ D)

ทำไมฉันถึงได้ D? ตั้งแต่อี $E(Y_2-Y_4)=2\theta_2$

ทำไมฉันไม่เข้าใจว่า C อาจเป็นคำตอบ? ตกลงฉันสามารถดูเป็นประมาณการที่เป็นกลางจากและความแปรปรวนน้อยกว่า{2} $\dfrac{Y_1+Y_2+Y_3+Y_4}{4}$ $\theta_1-\theta_3$ $\dfrac{Y_1+Y_3}{2}$

กรุณาบอกฉันว่าฉันทำผิดอยู่ที่ไหน

โพสต์ด้วยที่นี่: /math/2568894/a-problem-on-estimability-of-parameters

self-study estimation inference

— Stat_prob_001
แหล่งที่มา

ใส่ในself-studyแท็กหรือบางคนจะเข้ามาและปิดคำถามของคุณ

— Carl

@Carl เสร็จแล้ว แต่ทำไม

— Stat_prob_001

พวกเขามีกฎสำหรับเว็บไซต์ไม่ใช่กฎของฉันกฎของไซต์

— Carl

คือ

Y_{1} \neq Y_{3}

$Y_1\neq Y_3$

— Carl

@Carl คุณสามารถคิดในลักษณะนี้:

ที่

เป็น RV ที่มีค่าเฉลี่ย

และความแปรปรวน

และ

โดยที่

คือ rv ที่มีค่าเฉลี่ย

และความแปรปรวน

Y_{1} = θ_{1} - θ_{3} + ϵ_{1}

$Y_1=\theta_1-\theta_3+\epsilon_1$

ϵ_{1}

$\epsilon_1$

0

$0$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{3} = θ_{1} - θ_{3} + ϵ_{3}

$Y_3=\theta_1-\theta_3+\epsilon_3$

ϵ_{3}

$\epsilon_3$

0

$0$

σ^{2}

$\sigma^2$

— Stat_prob_001

คำตอบนี้เน้นการตรวจสอบความสามารถในการประเมิน คุณสมบัติความแปรปรวนขั้นต่ำเป็นของการพิจารณารองของฉัน

เริ่มต้นด้วยสรุปข้อมูลในรูปแบบเมทริกซ์ของตัวแบบเชิงเส้นดังนี้ ที่(เพื่อหารือเกี่ยวกับความสามารถในการประมาณค่า, ข้อสันนิษฐานทรงกลมนั้นไม่จำเป็น แต่เพื่อหารือเกี่ยวกับสมบัติ Gauss-Markov เราต้องสมมติความกลมกลืนของ)

\begin{aligned} (1) & Y := [\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ Y_{3} \\ Y_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} θ_{1} \\ θ_{2} \\ θ_{3} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ε_{1} \\ ε_{2} \\ ε_{3} \\ ε_{4} \end{matrix}] := X β + ε, \end{aligned}

$\begin{align} Y := \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ Y_3 \\ Y_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \\ \theta_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \end{bmatrix}:= X\beta + \varepsilon, \tag{1} \end{align}$

E (ε) = 0, Var (ε) = σ^{2} I

$E(\varepsilon) = 0, \text{Var}(\varepsilon) = \sigma^2 I$

ε

$\varepsilon$

หากการออกแบบเมทริกซ์คือยศเต็มแล้วพารามิเตอร์เดิมยอมรับที่ไม่ซ้ำกันอย่างน้อยสี่เหลี่ยมประเมิน Yดังนั้นใด ๆ พารามิเตอร์กำหนดเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของคือนับถือในแง่ที่ว่ามันสามารถประมาณได้อย่างไม่น่าสงสัยโดยข้อมูลผ่านอย่างน้อยสี่เหลี่ยมประเมินเป็น β $X$ $\beta$ $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ $\phi$ $\phi(\beta)$ $\beta$ $\hat{\beta}$ $\hat{\phi} = p'\hat{\beta}$

ความบอบบางเกิดขึ้นเมื่อไม่ได้อยู่ในอันดับเต็ม เพื่อให้มีการสนทนาอย่างถี่ถ้วนเราจะแก้ไขข้อสังเกตและข้อกำหนดก่อนด้านล่าง (ฉันทำตามแบบแผนของแนวทางที่ปราศจากการประสานงานกับโมเดลเชิงเส้นส่วนที่ 4.8 คำศัพท์บางคำดูเหมือนมีเทคนิคที่ไม่จำเป็น) นอกจากนี้การอภิปรายนำไปใช้กับรุ่นทั่วไปตรงกับและ k $X$ $Y = X\beta + \varepsilon$ $X \in \mathbb{R}^{n \times k}$ $\beta \in \mathbb{R}^k$

นานาถดถอยเป็นคอลเลกชันของเวกเตอร์เฉลี่ยเป็นแตกต่างกันมากกว่า : $\beta$ $\mathbb{R}^k$ $M = {X β : β \in R^{k}} .$ $M = \{X\beta: \beta \in \mathbb{R}^k\}.$

ทำงานพารา เป็นเชิงเส้นการทำงานของ , $\phi = \phi(\beta)$ $\beta$ $ϕ (β) = p^{'} β = p_{1} β_{1} + \dots + p_{k} β_{k} .$ $\phi(\beta) = p'\beta = p_1\beta_1 + \cdots + p_k\beta_k.$

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นเมื่อไม่ใช่ฟังก์ชันการทำงานแบบพารามิเตอร์ทุกตัวที่ประมาณได้แต่เดี๋ยวก่อนคำจำกัดความของคำที่ประเมินได้ทางเทคนิคคืออะไร? ดูเหมือนยากที่จะให้คำจำกัดความที่ชัดเจนโดยไม่รบกวนพีชคณิตเชิงเส้นเล็กน้อย คำจำกัดความหนึ่งซึ่งฉันคิดว่าเป็นสิ่งที่ใช้งานง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้ (จากแหล่งอ้างอิงเดียวกัน): $\text{rank}(X) < k$ $\phi(\beta)$

นิยาม 1.พาราทำงานเป็นนับถือถ้ามันจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยในแง่ที่ว่าเมื่อใดก็ตามที่ Satisfy 2 $\phi(\beta)$ $X\beta$ $\phi(\beta_1) = \phi(\beta_2)$ $\beta_1,\beta_2 \in \mathbb{R}^k$ $X\beta_1 = X\beta_2$

การตีความ. คำจำกัดความข้างต้นกำหนดว่าการทำแผนที่จากการถดถอยไปยังพื้นที่พารามิเตอร์ของจะต้องเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งซึ่งรับประกันได้เมื่อ (เช่นเมื่อเป็นแบบตัวต่อตัว) เมื่อเรารู้ว่ามีอยู่เช่นนั้น $M$ $\phi$ $\text{rank}(X) = k$ $X$ $\text{rank}(X) < k$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 = X\beta_2$ . คำนิยามที่นับถือดังกล่าวข้างต้นในกฎระเบียบผลจากผู้ที่ขาดโครงสร้าง functionals ตัวแปรที่ส่งผลให้ค่าที่แตกต่างของตัวเองแม้จะมีค่าเดียวกันในซึ่งไม่ได้ให้ความรู้สึกเป็นธรรมชาติ ในทางตรงกันข้ามฟังก์ชันพาราเมตริกที่ประมาณได้จะอนุญาตให้เคสกับตราบเท่าที่เงื่อนไขสำเร็จ $M$ $\phi(\cdot)$ $\phi(\beta_1) = \phi(\beta_2)$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 = X\beta_2$

มีเงื่อนไขอื่น ๆ ที่เทียบเท่าเพื่อตรวจสอบความสามารถในการประมาณค่าของฟังก์ชั่นพารามิเตอร์ที่กำหนดในการอ้างอิงเดียวกันข้อเสนอ 8.4

หลังจากการแนะนำพื้นฐานอย่างละเอียดแล้วเราจะกลับมาที่คำถามของคุณ

A. ตัวเองไม่นับถือสำหรับเหตุผลที่ซึ่งเป็นรายละเอียดกับ 2แม้ว่าคำจำกัดความข้างต้นจะได้รับสำหรับฟังก์ชันสเกลาร์ $\beta$ $\text{rank}(X) < 3$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\beta_1 \neq \beta_2$

B. ไม่สามารถประเมินได้ หากต้องการปัญญาให้พิจารณาและซึ่งให้แต่ $\phi_1(\beta) = \theta_1 + \theta_3 = (1, 0, 1)'\beta$ $\beta_1 = (0, 1, 0)'$ $\beta_2 = (1, 1, 1)'$ $X\beta_1 = X\beta_2$ 2 $\phi_1(\beta_1) = 0 + 0 = 0 \neq \phi_1(\beta_2) = 1 + 1 = 2$

C. สามารถประมาณได้ เพราะหมายถึงเล็กน้อย , คือ, $\phi_2(\beta) = \theta_1 - \theta_3 = (1, 0, -1)'\beta$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\theta_1^{(1)} - \theta_3^{(1)} = \theta_1^{(2)} - \theta_3^{(2)}$ ) $\phi_2(\beta_1) = \phi_2(\beta_2)$

ดีเป็นยังนับถือ ที่มาจากถึงก็เล็กน้อย $\phi_3(\beta) = \theta_2 = (0, 1, 0)'\beta$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\phi_3(\beta_1) = \phi_3(\beta_2)$

หลังจากที่ประมาณค่าได้มีการตรวจสอบมีทฤษฎีบท (โจทย์ 8.16 อ้างอิงเดียวกัน) อ้างว่า Gauss-มาร์คอฟทรัพย์สินของ )ตามทฤษฎีบทนั้นส่วนที่สองของตัวเลือก C ไม่ถูกต้อง การประมาณแบบไม่เอนเอียงเชิงเส้นที่ดีที่สุดคือตามทฤษฎีบทด้านล่าง $\phi(\beta)$ $\bar{Y} = (Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4)/4$

ทฤษฎีบท. ให้เป็นนับถือพาราทำงานแล้วประมาณการที่เป็นกลางที่ดีที่สุดเชิงเส้น (aka, Gauss-มาร์คอฟกะ) คือสำหรับการแก้ปัญหาใด ๆกับสมการปกติ Y $\phi(\beta) = p'\beta$ $\phi(\hat{\beta})$ $\hat{\beta}$ $X'X\hat{\beta} = X'Y$

หลักฐานจะเป็นดังนี้:

พิสูจน์ แสดงให้เห็นว่าตรงไปตรงมาคำนวณว่าสมการปกติ ซึ่งหลังจากเข้าใจง่าย เป็น
$[\begin{matrix} 4 & 0 & - 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 4 & 0 & 4 \end{matrix}] \hat{β} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}] Y,$ $\begin{equation} \begin{bmatrix} 4 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{bmatrix} \hat{\beta} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{bmatrix} Y, \end{equation}$ เช่น Y $[\begin{matrix} ϕ (\hat{β}) \\ {\hat{θ}}_{2} / 2 \\ - ϕ (\hat{β}) \end{matrix}] = [\begin{matrix} \bar{Y} \\ (Y_{2} - Y_{4}) / 4 \\ - \bar{Y} \end{matrix}],$ $\begin{equation} \begin{bmatrix} \phi(\hat{\beta}) \\ \hat{\theta}_2/2 \\ -\phi(\hat{\beta}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{Y} \\ (Y_2 - Y_4)/4 \\ -\bar{Y} \end{bmatrix}, \end{equation}$ $\phi(\hat{\beta}) = \bar{Y}$

ดังนั้นตัวเลือก D เป็นคำตอบที่ถูกต้องเท่านั้น

ภาคผนวก: การเชื่อมต่อของความสามารถในการประเมินและการระบุตัวตน

เมื่อตอนที่ผมอยู่ที่โรงเรียนเป็นเวลาสั้น ๆ ที่อาจารย์บอกว่าประมาณค่าพารามิเตอร์ของการทำงานสอดคล้องกับรูปแบบการ identifiability ฉันเอาการเรียกร้องนี้เพื่อรับแล้ว อย่างไรก็ตามการเทียบเคียงต้องถูกสะกดออกมาอย่างชัดเจนยิ่งขึ้น $\phi$

ตามแบบจำลองทางสถิติของ AC Davison's p.144

นิยาม 2.รูปแบบตัวแปรซึ่งในแต่ละพารามิเตอร์สร้างการกระจายที่แตกต่างกันจะเรียกว่าสามารถระบุตัวตน $\theta$

สำหรับโมเดลเชิงเส้นโดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไขความกลมกลืนมันสามารถถูกปรับรูปแบบเป็น $(1)$ $\text{Var}(\varepsilon) = \sigma^2 I$

\begin{matrix} (2) & E [Y] = X β, β \in R^{k} . \end{matrix}

$\begin{equation} E[Y] = X\beta, \quad \beta \in \mathbb{R}^k. \tag{2} \end{equation}$

มันเป็นเช่นรูปแบบง่ายๆที่เราระบุไว้เพียงรูปแบบครั้งแรกของการตอบสนองเวกเตอร์Yเมื่อ , โมเดลสามารถระบุได้ตั้งแต่หมายถึง (คำว่า "การกระจาย" ในคำจำกัดความดั้งเดิมลดธรรมชาติเป็น "หมายถึง" ภายใต้โมเดล .) $Y$ $\text{rank}(X) = k$ $(2)$ $\beta_1 \neq \beta_2$ $X\beta_1 \neq X\beta_2$ $(2)$

ทีนี้สมมติว่าและฟังก์ชันพารามิเตอร์ที่กำหนดเราจะกระทบยอดคำจำกัดความที่ 1และคำจำกัดความที่ 2 ได้อย่างไร? $\text{rank}(X) < k$ $\phi(\beta) = p'\beta$

เราสามารถแสดงให้เห็นว่า ("การพิสูจน์" เป็นเรื่องไม่สำคัญ) การประมาณค่าของเทียบเท่ากับแบบจำลองสามารถระบุได้เมื่อมันถูกกำหนดด้วยพารามิเตอร์ (เมทริกซ์การออกแบบมีแนวโน้มที่จะเปลี่ยนแปลงตามลำดับ) ในการพิสูจน์สมมติว่าสามารถประมาณได้ดังนั้นหมายถึง $\phi(\beta)$ $(2)$ $\phi = \phi(\beta) = p'\beta$ $X$ $\phi(\beta)$ $X\beta_1 = X\beta_2$ โดยความหมายนี้เป็นรุ่นด้วยเหตุนี้สามารถระบุตัวตนเมื่อการจัดทำดัชนีที่มีφตรงกันข้ามรูปแบบสมมติเพื่อให้สามารถระบุตัวตนว่าหมายถึงซึ่งเป็นนิด ) $p'\beta_1 = p'\beta_2$ $\phi_1 = \phi_2$ $(3)$ $\phi$ $(3)$ $X\beta_1 = X\beta_2$ $\phi_1 = \phi_2$ $\phi_1(\beta) = \phi_2(\beta)$

โดยสังหรณ์ใจเมื่อถูกจัดอันดับให้ลดลงโมเดลที่มีคือพารามิเตอร์ที่ซ้ำซ้อน (มีพารามิเตอร์มากเกินไป) ดังนั้นจึงเป็น reparametrization ที่ไม่ใช่มิติที่ต่ำกว่าซ้ำซ้อน (ซึ่งอาจประกอบด้วยชุดของฟังก์ชันเชิงเส้น) เป็นไปได้ การเป็นตัวแทนใหม่ดังกล่าวจะเกิดขึ้นเมื่อใด กุญแจสำคัญคือความสามารถในการประมาณค่า $X$ $\beta$

เพื่อแสดงข้อความข้างต้นลองพิจารณาตัวอย่างของคุณอีกครั้ง เราได้ตรวจสอบฟังก์ชั่นพาราเมทริกและสามารถประมาณได้ ดังนั้นเราสามารถเขียนแบบจำลองใหม่ในแง่ของพารามิเตอร์ reparametrized ดังนี้ $\phi_2(\beta) = \theta_1 - \theta_3$ $\phi_3(\beta) = \theta_2$ $(1)$ $(\phi_2, \phi_3)'$

E [Y] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} ϕ_{2} \\ ϕ_{3} \end{matrix}] = \tilde{X} γ .

$\begin{equation} E[Y] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_2 \\ \phi_3 \end{bmatrix} = \tilde{X}\gamma. \end{equation}$

$\tilde{X}$ $\gamma$

— Zhanxiong
แหล่งที่มา

หากคุณต้องการหลักฐานสำหรับส่วนที่สองของตัวเลือก C ฉันจะเสริมคำตอบของฉัน

— Zhanxiong

\frac{1}{4} (Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + Y_{4})

$\dfrac{1}{4}(Y_1+Y_2+Y_3+Y_4)$

(Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + Y_{4}) / 4

$(Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4)/4$

ใช้คำจำกัดความ

$Y_i$

คำนิยาม

t_{λ} (Y) = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i} Y_{i}

$t_\lambda(Y) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i Y_i$

λ = (λ_{i})

$\lambda = (\lambda_i)$

$\theta_1-\theta_3$ $\theta_1-\theta_3$

\begin{aligned} θ_{1} - θ_{3} & = E [t_{λ} (Y)] = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i} E [Y_{i}] \\ = λ_{1} (θ_{1} - θ_{3}) + λ_{2} (θ_{1} + θ_{2} - θ_{3}) + λ_{3} (θ_{1} - θ_{3}) + λ_{4} (θ_{1} - θ_{2} - θ_{3}) \\ = (λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4}) (θ_{1} - θ_{3}) + (λ_{2} - λ_{4}) θ_{2} . \end{aligned}

$\eqalign{ \theta_1 - \theta_3 &= E[t_\lambda(Y)] = \sum_{i=1}^4 \lambda_i E[Y_i]\\ & = \lambda_1(\theta_1-\theta_3) + \lambda_2(\theta_1+\theta_2-\theta_3) + \lambda_3(\theta_1-\theta_3) + \lambda_4(\theta_1-\theta_2-\theta_3) \\ &=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)(\theta_1-\theta_3) + (\lambda_2-\lambda_4)\theta_2. }$

$\theta_i$

\begin{matrix} (1) & λ_{2} - λ_{4} = 0 and λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} + λ_{4} = 1. \end{matrix}

$\lambda_2-\lambda_4=0\text{ and }\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4=1.\tag{1}$

$t_\lambda$

Var (t_{λ}) = \sum_{i = 1}^{4} λ_{i}^{2} Var (Y_{i}) + \sum_{i \neq j}^{4} λ_{i} λ_{j} Cov (Y_{i}, Y_{j}) .

$\operatorname{Var}(t_\lambda) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i^2 \operatorname{Var}(Y_i) + \sum_{i\ne j}^4 \lambda_i\lambda_j \operatorname{Cov}(Y_i,Y_j).$

$Y_i$

$\operatorname{Var}(Y_i)=\sigma^2,$

\begin{matrix} (2) & Var (t_{λ}) = σ^{2} (λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2} + λ_{4}^{2}) . \end{matrix}

$\operatorname{Var}(t_\lambda) =\sigma^2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2).\tag{2}$

$(2)$ $(1)$

วิธีการแก้

$(1)$ $\lambda_i$ $u=\lambda_1-\lambda_3$ $v=\lambda_1+\lambda_3$ $\lambda_1$ $\lambda_3$ $\lambda_2$ $\lambda_4$ $(2)$

σ^{2} (λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2} + λ_{4}^{2}) = \frac{σ^{2}}{4} (2 u^{2} + (2 v - 1)^{2} + 1) .

$\sigma^2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2) = \frac{\sigma^2}{4}\left(2u^2 + (2v-1)^2 + 1\right).$

$(u,v)$ $\sigma^2 \ne 0$ $u^2$ $(2v-1)^2$ $u=2v-1=0$

λ = (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, λ_{4}) = (1 / 4, 1 / 4, 1 / 4, 1 / 4) .

$\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4) = (1/4,1/4,1/4,1/4).$

ตัวเลือก (C) เป็นเท็จเพราะไม่ได้ให้ตัวประมาณค่าแบบเชิงเส้นที่เป็นกลางที่สุด ตัวเลือก (D) แม้ว่ามันจะไม่ได้ให้ข้อมูลที่ครบถ้วน แต่ก็ถูกต้องเพราะ

θ_{2} = E [t_{(0, 1 / 2, 0, - 1 / 2)} (Y)]

$\theta_2 = E[t_{(0,1/2,0,-1/2)}(Y)]$

คือความคาดหวังของตัวประมาณเชิงเส้น

$\{\theta_2, \theta_1-\theta_3\}$ $\theta_1,\theta_3,$ $\theta_1+\theta_3$

ดังนั้น(D) เป็นคำตอบที่ถูกต้องไม่เหมือนใคร

— whuber
แหล่งที่มา