ฉันจะสร้างข้อมูลด้วยเมทริกซ์สหสัมพันธ์ที่ได้รับการกำหนดล่วงหน้าได้อย่างไร

ฉันพยายามที่จะสร้างสุ่มลำดับความสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ย =แปรปรวน = , ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ = 0.8ในรหัสด้านล่างนี้ฉันใช้& เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ& เป็นวิธีการ1 $0$$1$$0.8$s1s2m1m2

p = 0.8 
u = randn(1, n)
v = randn(1, n)
x = s1 * u + m1
y = s2 * (p * u + sqrt(1 - p^2) * v) + m2

นี้ทำให้ผมที่ถูกต้องcorrcoef()0.8 ระหว่างและx yคำถามของฉันคือวิธีการที่ฉันสามารถสร้างชุดหมายความว่าถ้าผมต้องการzที่ยังมีความสัมพันธ์กับy(ที่มีความสัมพันธ์เดียวกัน ) แต่ไม่ได้อยู่กับ มีสูตรเฉพาะที่ฉันต้องรู้หรือไม่? ผมพบว่าหนึ่งแต่ไม่สามารถเข้าใจมัน$r=0.8$x

ดูเหมือนว่าคุณกำลังถามวิธีสร้างข้อมูลด้วยเมทริกซ์ความสัมพันธ์เฉพาะ

ความเป็นจริงที่มีประโยชน์คือว่าถ้าคุณมีเวกเตอร์สุ่มกับความแปรปรวนเมทริกซ์Σแล้วสุ่มเวกเตอร์xมีค่าเฉลี่ยE ( x )และความแปรปรวนเมทริกซ์Ω = Σ T ดังนั้นหากคุณเริ่มต้นด้วยข้อมูลที่มีค่าเป็นศูนย์การคูณด้วยAจะไม่เปลี่ยนแปลงดังนั้นความต้องการแรกของคุณจึงเป็นที่พอใจได้ง่าย ${\bf x}$$\Sigma$${\bf Ax}$${\bf A} E({\bf x})$$\Omega = {\bf A} \Sigma {\bf A}^{T}$${\bf A}$

สมมติว่าคุณเริ่มต้นด้วย (หมายถึงศูนย์) ข้อมูล uncorrelated (เช่นเมทริกซ์ความแปรปรวนเป็นเส้นทแยงมุม) - นับตั้งแต่ที่เรากำลังพูดถึงสัมพันธ์เมทริกซ์ขอเพียงแค่ใช้เวลาฉัน คุณสามารถเปลี่ยนนี้ข้อมูลที่มีเมทริกซ์ความแปรปรวนที่ได้รับจากการเลือกจะเป็นรากที่ CholeskyของΩ - แล้วxจะมีที่ต้องการความแปรปรวนเมทริกซ์Ω$\Sigma = I$${\bf A}$$\Omega$${\bf Ax}$$\Omega$

ในตัวอย่างของคุณคุณต้องการให้สิ่งนี้:

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & 0 \\ .8 & 1 & .8 \\ 0 & .8 & 1 \\ \end{array} \right)$$

น่าเสียดายที่เมทริกซ์นั้นไม่ได้เป็นค่าบวกแน่นอนดังนั้นมันจึงไม่ใช่เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม - คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้โดยดูว่าดีเทอร์มีแนนต์เป็นลบ บางทีอาจจะแทน

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & .3 \\ .8 & 1 & .8 \\ .3 & .8 & 1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2/3 & 0 \\ 2/3 & 1 & 2/3 \\ 0 & 2/3 & 1 \\ \end{array} \right)$$

จะพอเพียง ฉันไม่แน่ใจวิธีคำนวณรากที่สองของ cholesky ใน matlab (ซึ่งดูเหมือนจะเป็นสิ่งที่คุณใช้) แต่Rคุณสามารถใช้chol()ฟังก์ชันนี้ได้

ในตัวอย่างนี้สำหรับสอง s ที่ระบุไว้ข้างต้นคูณเมทริกซ์ที่เหมาะสม (ตามลำดับ) จะเป็น$\Omega$

$${\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ .8 & .6 & 0 \\ .3 & .933 & .1972 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ {\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2/3 & .7453 & 0 \\ 0 & .8944 & .4472 \\ \end{array} \right)$$

Rรหัสใช้ที่จะมาถึงนี้คือ:

x = matrix(0,3,3)
x[1,]=c(1,.8,.3)
x[2,]=c(.8,1,.8)
x[3,]=c(.3,.8,1)
t(chol(x))

     [,1]      [,2]      [,3]
[1,]  1.0 0.0000000 0.0000000
[2,]  0.8 0.6000000 0.0000000
[3,]  0.3 0.9333333 0.1972027

x[1,]=c(1,2/3,0)
x[2,]=c(2/3,1,2/3)
x[3,]=c(0,2/3,1)
t(chol(x))

      [,1]      [,2]      [,3]
[1,] 1.0000000 0.0000000 0.0000000
[2,] 0.6666667 0.7453560 0.0000000
[3,] 0.0000000 0.8944272 0.4472136

หากคุณใช้ R คุณสามารถใช้ฟังก์ชัน mvrnorm จากแพ็คเกจ MASS โดยสมมติว่าคุณต้องการตัวแปรแบบกระจายตามปกติ การดำเนินการคล้ายกับคำอธิบายของมาโครด้านบน แต่ใช้ eigenvectors ของเมทริกซ์สหสัมพันธ์แทนการสลายตัวของ cholesky และปรับขนาดด้วยค่าการสลายตัวเอกพจน์ (ถ้าตัวเลือกเชิงประจักษ์ตั้งค่าเป็นจริง)

ถ้าเป็นเมทริกซ์ที่มีรายการมาจากการกระจายปกติΣเป็นเมทริกซ์ความสัมพันธ์เชิงบวกที่ชัดเจนกับ eigenvectors γและλเป็นเมทริกซ์ตารางที่มีรากที่ Eigen ค่าจากΣตามเส้นทแยงมุมแล้ว:$X$$\Sigma$$\gamma$$\lambda$$\Sigma$

$X' = \gamma\lambda X^{T}$

ที่ X' เป็นเมทริกซ์กระจายตามปกติกับเมทริกซ์ความสัมพันธ์ของและวิธีคอลัมน์เป็นเช่นเดียวกับX$\Sigma$$X$

โปรดทราบว่าเมทริกซ์สหสัมพันธ์จะต้องเป็นค่าบวกแน่นอน แต่การแปลงด้วยฟังก์ชัน nearPD จากแพ็คเกจเมทริกซ์ใน R จะมีประโยชน์

$\Sigma_y$$x$$\Sigma_x = I$$\Sigma_y$$\Lambda$$V$

$\Sigma_y = V \Lambda V^T = ( V \sqrt{\Lambda} ) (\sqrt{\Lambda}^T V^T ) = A A^T$

$y=Ax$