รูปแบบอินพุตสำหรับการตอบสนองใน binomial glm ใน R

ในRมีสามวิธีในการจัดรูปแบบข้อมูลอินพุตสำหรับการถดถอยโลจิสติกโดยใช้glmฟังก์ชัน:

1. ข้อมูลสามารถอยู่ในรูปแบบ "ไบนารี" สำหรับการสังเกตแต่ละครั้ง (เช่น y = 0 หรือ 1 สำหรับการสังเกตแต่ละครั้ง);
2. ข้อมูลสามารถอยู่ในรูปแบบ "Wilkinson-Rogers" (เช่นy = cbind(success, failure)) โดยแต่ละแถวแสดงถึงการรักษาหนึ่งครั้ง หรือ
3. ข้อมูลสามารถอยู่ในรูปแบบถ่วงน้ำหนักสำหรับการสังเกตแต่ละครั้ง (เช่น y = 0.3, น้ำหนัก = 10)

ทั้งสามวิธีมีการประมาณค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน แต่แตกต่างกันไปตามระดับของอิสรภาพและค่าเบี่ยงเบนและผลคะแนน AIC สองวิธีสุดท้ายมีการสังเกตน้อยกว่า (และดีกรีอิสระ) เพราะพวกเขาใช้การรักษาแต่ละครั้งสำหรับจำนวนการสังเกตในขณะที่วิธีแรกใช้การสังเกตแต่ละครั้งสำหรับจำนวนการสังเกต

คำถามของฉัน:มีความได้เปรียบเชิงตัวเลขหรือเชิงสถิติในการใช้รูปแบบอินพุตหนึ่งมากกว่าอีกรูปแบบหนึ่งหรือไม่ ข้อได้เปรียบเดียวที่ฉันเห็นคือไม่ต้องฟอร์แมตข้อมูลRเพื่อใช้กับตัวแบบ

ฉันได้ดูเอกสาร glmค้นหาบนเว็บและเว็บไซต์นี้และพบโพสต์ที่เกี่ยวข้องเป็นรูปธรรมแต่ไม่มีคำแนะนำในหัวข้อนี้

นี่คือตัวอย่างที่จำลองซึ่งแสดงให้เห็นถึงพฤติกรรมนี้:

# Write function to help simulate data
drc4 <- function(x, b =1.0, c = 0, d = 1, e = 0){
    (d - c)/ (1 + exp(-b * (log(x)  - log(e))))
}
# simulate long form of dataset
nReps = 20
dfLong <- data.frame(dose = rep(seq(0, 10, by = 2), each = nReps))
dfLong$mortality <-rbinom(n = dim(dfLong)[1], size = 1,
                              prob = drc4(dfLong$dose, b = 2, e = 5))

# aggregate to create short form of dataset
dfShort <- aggregate(dfLong$mortality, by = list(dfLong$dose), 
                     FUN = sum)
colnames(dfShort) <- c("dose", "mortality")
dfShort$survival <- nReps - dfShort$mortality 
dfShort$nReps <- nReps
dfShort$mortalityP <- dfShort$mortality / dfShort$nReps

fitShort <- glm( cbind(mortality, survival) ~ dose, 
                 data = dfShort, 
                 family = "binomial")
summary(fitShort)

fitShortP <- glm( mortalityP ~ dose, data = dfShort, 
                  weights = nReps,     
                  family = "binomial")
summary(fitShortP)

fitLong <- glm( mortality ~ dose, data = dfLong, 
                family = "binomial")
summary(fitLong)

ไม่มีเหตุผลทางสถิติที่จะชอบสิ่งใดสิ่งหนึ่งนอกเหนือจากความชัดเจนทางแนวคิด แม้ว่าค่าเบี่ยงเบนที่รายงานจะแตกต่างกันไป แต่ความแตกต่างเหล่านี้เป็นเพราะแบบจำลองที่อิ่มตัว ดังนั้นการเปรียบเทียบใด ๆ ที่ใช้ความเบี่ยงเบนสัมพัทธ์ระหว่างแบบจำลองจึงไม่ได้รับผลกระทบเนื่องจากการยกเลิกบันทึกความน่าจะเป็นแบบจำลองอิ่มตัว

ฉันคิดว่ามันมีประโยชน์ในการคำนวณ deviance อย่างชัดเจน

$i$$n_i$$i$$p_i$$i$$y_{ij}$$j$$i$

แบบยาว

$$\sum_i\sum_j\left(\log(p_i)y_{ij} + \log(1 - p_i)(1 - y_{ij})\right)$$

$$\sum_i\sum_j \left(\log(y_{ij})y_{ij} + \log(1 - y_{ij})(1-y_{ij})\right).$$ $y_{ij}$$\log(0)$$0\log(0)$$\lim_{x \to 0^+}x\log(x)$

แบบสั้น (ถ่วงน้ำหนัก)

โปรดทราบว่าการแจกแจงทวินามไม่สามารถใช้ค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็มได้ แต่เราสามารถคำนวณ "ความน่าจะเป็นบันทึก" โดยใช้ส่วนของความสำเร็จที่สังเกตได้ในแต่ละเซลล์เป็นการตอบสนองและให้น้ำหนักแต่ละสรุปในการคำนวณความน่าจะเป็น จำนวนการสังเกตในเซลล์นั้น

$$\sum_in_i \left(\log(p_i)\sum_jy_{ij}/n_i + \log(1 - p_i)(1 - \sum_j(y_{ij}/n_i)\right)$$

นี่เท่ากับความเบี่ยงเบนของโมเดลที่เราคำนวณข้างต้นซึ่งคุณสามารถดูได้โดยการดึงผลรวมเหนือในสมการแบบยาวเท่าที่จะทำได้$j$

ในขณะที่ความเบี่ยงเบนที่อิ่มตัวนั้นแตกต่างกัน เนื่องจากเราไม่มีการตอบกลับ 0-1 อีกต่อไปแม้ว่าจะมีหนึ่งพารามิเตอร์ต่อการสังเกตเราจึงไม่สามารถรับ 0 ได้อย่างแน่นอน แต่ความน่าจะเป็นของแบบจำลองอิ่มตัวก็คือ

$$\sum_i n_i\left(\log(\sum_jy_{ij}/n_i)\sum_jy_{ij}/n_i + \log(1 - \sum_jy_{ij}/n_i)(1-\sum_jy_{ij}/n_i)\right).$$

ในตัวอย่างของคุณคุณสามารถตรวจสอบว่าสองเท่าของจำนวนนี้คือความแตกต่างระหว่างค่า null ที่รายงานและค่าเบี่ยงเบนที่เหลืออยู่สำหรับทั้งสองรุ่น

ni = dfShort$nReps
yavg = dfShort$mortalityP
sum.terms <-ni*(log(yavg)*yavg + log(1 - yavg)*(1 - yavg))
# Need to handle NaN when yavg is exactly 0
sum.terms[1] <- log(1 - yavg[1])*(1 - yavg[1])

2*sum(sum.terms)
fitShortP$deviance - fitLong$deviance