ความน่าจะเป็นที่มีเงื่อนไข - พวกมันมีลักษณะเฉพาะกับ Bayesianism หรือไม่?

ฉันสงสัยว่าความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขนั้นมีลักษณะเฉพาะกับ Bayesianism หรือไม่หรือเป็นแนวคิดทั่วไปที่ใช้ร่วมกันระหว่างโรงเรียนแห่งความคิดหลายแห่งในหมู่ผู้มีสถิติ / ผู้น่าจะเป็น

ฉันคิดว่ามันเป็นเพราะฉันคิดว่าไม่มีใครสามารถเป็นตรรกะได้ดังนั้นฉันคิดว่าอย่างน้อยผู้เห็นบ่อย ๆ จะเห็นด้วยในทางทฤษฎีในขณะที่เตือนกับ Bayesian การอนุมานจากเหตุผลเชิงปฏิบัติไม่ใช่เพราะความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข$p(A,B) = p(A|B)p(B)$

การพะเนินกับคำตอบอื่น ๆ ที่เพียงพอและสมบูรณ์แบบตัวอย่างของแบบจำลองความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขมีอยู่มากมายในตัวแบบเชิงเส้นตรงและแบบเชิงเส้นเนื่องจากคำจำกัดความของแบบจำลองดังกล่าวนั้นมีเงื่อนไขบน regressors หรือ covariates:

$$Y|X \sim f(y;g(X^\text{T}\beta),\sigma)$$

และความคิดของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขถูกกำหนดไว้ในทฤษฎีการวัดโดยไม่มีการอ้างอิงถึงสถิติและแม้แต่น้อยกับ "Bayesianism" ตัวอย่างเช่นRényiสร้างทฤษฎีความน่าจะเป็นจากรุ่นที่มีเงื่อนไข โปรดทราบว่าในทฤษฎีการวัดอย่างเป็นทางการการปรับเงื่อนไขเกี่ยวข้องกับ a$\sigma$-field $\mathfrak{S}$มากกว่าจะเป็นเหตุการณ์ ความคาดหวังที่มีเงื่อนไข $\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]$ เป็นแล้ว $\mathfrak{S}$ฟังก์ชั่นที่สามารถวัดได้เช่นนั้น

$$\mathbb{E}^{\mathfrak{S}}\{[X-\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]Z\}=0$$ เพื่อทุกสิ่ง $\mathfrak{S}$ ฟังก์ชั่นที่วัดได้ $Z$. (ตามภาพประกอบโดยแนวคิดของmartingales )

เช่นเดียวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นทั้งหมดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับสถิติแบบเบย์เทียบกับบ่อย แม้แต่ทฤษฎีบทของเบย์ก็ไม่ใช่ "เบย์" แต่เป็นทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับความน่าจะเป็นเช่นมันสามารถใช้แก้ไขความน่าจะเป็นสำหรับอัตราฐานโดยไม่มีนักบวชหรือการตีความแบบเบส์แบบอัตนัยสำหรับความน่าจะเป็น

หากคุณถามว่า "ความน่าจะเป็นที่จะได้งานของวิศวกรฐานข้อมูลระบุว่าคุณเป็นผู้หญิงคืออะไร" หรือ "ความน่าจะเป็นที่คุณติดเชื้อเอชไอวีคืออะไรจากการทดสอบ Western blot ในเชิงบวก?" คุณถามเงื่อนไข ความน่าจะเป็น แบบจำลองการถดถอยโลจิสติกความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ฯลฯ

ดูเพิ่มเติมมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับการอภิปรายแบบเบย์กับการถกเถียงกันบ่อยๆหรือไม่? และBayesian กับการตีความความน่าจะเป็นบ่อยครั้ง

วิธีการที่ใช้บ่อย ๆ ใช้ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ค่า p คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ปัญหาเดียวก็คือว่ามันไม่ได้มีประโยชน์มากหรือความน่าจะเป็นเงื่อนไขที่ใช้งานง่าย หากเราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์และเครื่องของเราคาย“ p = .03” สิ่งที่มันพูดจริงๆคือ:

$p(D^*|H_0) = .03$

ที่ไหน $D^*$ หมายถึงข้อมูลที่สังเกตหรือข้อมูลที่รุนแรงมากขึ้น (เช่นข้อมูลที่สร้างผลลัพธ์ที่สังเกตหรือผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งในทิศทางเดียวกัน) และ $H_0$ เป็นสมมติฐานว่าง (และสมมติฐานทั้งหมดที่สอดคล้องกับมัน)

ตามสมมติฐานว่างความน่าจะเป็นที่เราสังเกตข้อมูลของเราหรือข้อมูลที่มากที่สุดคือ. 03 นั่นเป็นความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขโดยสมบูรณ์ในทฤษฎีบทของเบย์ เป็นเพียงความคิดของฉันมักจะไม่เป็นประโยชน์ (เว้นแต่ว่าคุณกำลังพยายามที่จะได้รับความน่าจะเป็นนี้ด้วยเหตุผลใดก็ตาม)

ฉันไม่คิดว่ามันยุติธรรมที่จะบอกว่าความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขนั้นมีความเป็นเอกลักษณ์ของ Bayesianism

(วัดผู้เชี่ยวชาญด้านทฤษฎีโปรดอย่าลังเลที่จะแก้ไขฉัน)

วิธีหนึ่งที่คุณสามารถดูความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข - โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณมีผลลัพธ์ที่น่าจะเท่ากัน - คือการคำนวณความน่าจะเป็นของคุณบนชุดย่อย $\Omega^{\prime} \subset \Omega$ที่ไหน $\Omega$ เป็นพื้นที่ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่นให้พิจารณาข้อมูลปลอมที่รวบรวมมา (NB: เราไม่มีข้อมูล "ก่อนหน้า") ในแบบสำรวจ:

$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Male} & \text{Female} \\ \hline \text{Owns a TV} & 75 & 72 \\ \text{Does not own a TV} & 25 & 28 \\ \hline \end{array}$$ สมมติว่าความน่าจะเป็นที่จะเลือกบุคคลที่ได้รับการสำรวจด้านบนมีโอกาสเท่ากัน พิจารณาพื้นที่ตัวอย่าง$\Omega$ ของทุกคนสำรวจและปล่อยให้ $\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0, 1]$ที่ไหน $\mathcal{A}$ ไม่ว่างเปล่า $\sigma$- พีชคณิตของชุดย่อยของ $\Omega$.

ตามคำนิยามของเหตุการณ์ที่มีโอกาสพอ ๆ กันสำหรับเหตุการณ์ใด ๆ $A \in \mathcal{A}$,

$$\mathbb{P}(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ ที่ไหน $|\cdot|$ หมายถึงการตั้งค่า cardinality

ถ้าเราสนใจพูดความน่าจะเป็นของการเป็นเจ้าของทีวีเพราะคุณเป็นผู้หญิง $A$ เป็นเหตุการณ์ของการเป็นผู้หญิงและ $B$ เป็นเหตุการณ์ของการเป็นเจ้าของทีวีเราจะคำนวณความน่าจะเป็น

$$\dfrac{|A \cap B|}{|A|}$$ และเรากำลังรักษา $A$ เป็นพื้นที่ตัวอย่างใหม่ของเรา $\Omega^{\prime} = A$. แต่ขอให้สังเกตว่าเราสามารถเขียน $$\dfrac{|A \cap B|}{|A|} = \dfrac{|A \cap B|/|\Omega|}{|A|/|\Omega|} = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$$ นี่คือคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและไม่ใช้ทฤษฎีบทของเบย์ สิ่งที่เราทำคือ จำกัด พื้นที่ตัวอย่างของเรา

ฉันมาสายไปงานปาร์ตี้นี้ แต่ฉันคิดว่าฉันจะเพิ่มคำตอบเชิงปรัชญาให้กับคำตอบที่ยอดเยี่ยมอื่น ๆ ที่นี่ในกรณีที่มันอาจจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้ค้นหาในอนาคต

หากคุณเป็นผู้ถกเถียงกันบ่อย ๆ ความหมายของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะเป็นไปตามกฎข้อ จำกัด ในการแบ่ง อย่างชัดเจนให้$f_N (A \land E)$ เป็นจำนวนครั้ง $A\land E$ เป็นจริงใน $N$ ทดลองและปล่อยให้ $f_N (E)$ เป็นจำนวนครั้ง $E$ เป็นจริงใน $N$การทดลอง เรากำหนด

$$p(A\land E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{N}$$ และ $$p (E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (E)}{ N}$$ ในที่สุดก็ให้ $p(A | E )$ เป็นเศษส่วนของเวลาที่ $E$ เป็นจริงที่ $A$ ก็เป็นจริงเช่นกันในขอบเขตไม่ จำกัด : $$p (A | E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{f_N (E)}$$ เผื่อว่า $p(E)$ ไม่ใช่ศูนย์เรามี $$p (A | E) = \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)/ N}{f_N (E)/N} = \frac{\lim_{N\to \infty} f_N (A\land E) / N}{\lim_{N\to \infty} f_N (E)/ N } = \frac{p(A\land E)}{p(E)}.$$