ช่วงที่เป็นไปได้ของ

สมมติว่าเป็นอนุกรมเวลาสามชุด ,และ$X_1$$X_2$$Y$

เล่นการถดถอยเชิงเส้นสามัญ ~ ( ) เราได้รับU สามัญถดถอยเชิงเส้น ~รับV สมมติว่า$Y$$X_1$$Y = b X_1 + b_0 + \epsilon$$R^2 = U$$Y$$X_2$$R^2 = V$$U < V$

ค่าต่ำสุดและสูงสุดที่เป็นไปได้ของจากการถดถอยคือ ~ ( )$R^2$$Y$$X_1 + X_2$$Y = b_1 X_1 + b_2 X_2 + b_0 + \epsilon$

ฉันเชื่อว่าค่าต่ำสุดควรเป็น + ค่าเล็กเนื่องจากการเพิ่มตัวแปรใหม่จะเพิ่มเสมอ แต่ฉันไม่ทราบวิธีการหาจำนวนค่าเล็ก ๆ นี้และฉันไม่รู้วิธีหาช่วงสูงสุด .$R^2$$V$$R^2$

1) แก้ไข: ความคิดเห็นของพระคาร์ดินัลด้านล่างแสดงให้เห็นว่าคำตอบที่ถูกต้องเพื่อนาทีคำถามคือVดังนั้นฉันจะลบ "น่าสนใจ" ของฉัน แต่ในที่สุดก็ไม่ถูกต้องตอบคำถามในส่วนนั้นของโพสต์$R^2$$V$

2) ค่าสูงสุดคือ 1. พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ซึ่งเหมาะกับกรณีของคุณ$R^2$

x1 <- rnorm(100)
x2 <- rnorm(100)
y <- x1 + 2*x2

> summary(lm(y~x1))$r.squared
[1] 0.2378023                 # This is U
> summary(lm(y~x2))$r.squared
[1] 0.7917808                 # This is V; U < V
> summary(lm(y~x1+x2))$r.squared
[1] 1

ที่นี่เรากำลังแก้ไขความแปรปรวนของที่ 0 หากคุณต้องการถึงแม้ว่าสิ่งต่าง ๆ เปลี่ยนไปเล็กน้อย คุณสามารถทำให้ใกล้เคียงกับ 1 โดยการทำให้เล็กลงและเล็กลง แต่เช่นเดียวกับปัญหาขั้นต่ำคุณไม่สามารถไปถึงที่นั่นได้ดังนั้นจึงไม่มีสูงสุด 1 กลายเป็นsupremumเนื่องจากมันสูงกว่าเสมอแต่ก็ยัง จำกัด เป็น0$\epsilon$$\sigma^2_\epsilon > 0$$R^2$$\sigma^2_\epsilon$$R^2$$\sigma^2_\epsilon \to 0$

ให้เท่ากับความสัมพันธ์ระหว่างและ ,เท่ากับความสัมพันธ์ระหว่างและและความสัมพันธ์ระหว่างและYจากนั้นสำหรับรูปแบบเต็มหารด้วยเท่ากับ$r_{1,2}$$X_1$$X_2$$r_{1,Y}$$X_1$$Y$$r_{2,Y}$$X_2$$Y$$R^2$$V$

ดังนั้นสำหรับโมเดลเต็มเท่ากับเฉพาะเมื่อและหรือ$R^2$$V$$r_{1,2} = 0$$r_{1,Y}^2 = U = 0$

หาก ,สำหรับรุ่นเต็มเท่ากับV$r_{1,2} = 0$$R^2$$U + V$

โดยไม่มีข้อ จำกัด $U$ และ $V$จากนั้นค่าต่ำสุดคือ $V$แล้วค่าสูงสุดคือค่าที่น้อยกว่า $\min(V + U, 1)$. เพราะนี่คือสองตัวแปรที่อาจจะมีความสัมพันธ์ที่ดีเลิศ (ในกรณีที่การเพิ่มตัวแปรที่สองไม่ได้เปลี่ยนที่ทั้งหมด) หรือพวกเขาอาจจะตั้งฉากซึ่งในกรณีนี้รวมถึงผลทั้งในV มันชี้ให้เห็นอย่างถูกต้องในความคิดเห็นที่ว่าสิ่งนี้ยังต้องการให้แต่ละมุมฉากเป็น , เวกเตอร์คอลัมน์ของ 1s$R^2$$U + V$$\mathbf{1}$

คุณเพิ่มข้อ จำกัด{2} แต่ก็ยังคงเป็นไปได้ว่า0 นั่นคือ , ซึ่งในกรณีนี้0 ในที่สุดก็เป็นไปได้ว่าดังนั้นขอบเขตบนยังคง1)$U < V \implies X_{1} \neq X_{2}$$U = 0$$X_{1} \perp Y$$\min = \max = V + 0$$X_{1} \perp X_{2}$$\min(V + U, 1)$

หากคุณรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างและฉันคิดว่าคุณสามารถพูดได้มากกว่านี้$X_{1}$$X_{2}$