สัญชาตญาณของสูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคืออะไร

สูตรสำหรับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเกิดขึ้นเนื่องจากเกิดขึ้นคือ:$\text{A}$$\text{B}$

$$P\left(\text{A}~\middle|~\text{B}\right)=\frac{P\left(\text{A} \cap \text{B}\right)}{P\left(\text{B}\right)}.$$

ตำราเรียนของฉันอธิบายถึงสัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังสิ่งนี้ในแง่ของแผนภาพเวนน์

ระบุว่าได้เกิดขึ้นเพียงวิธีเดียวสำหรับที่จะเกิดขึ้นสำหรับเหตุการณ์ที่จะตกอยู่ในจุดตัดของและ{B}A A $\text{B}$$\text{A}$$\text{A}$$\text{B}$

ในกรณีนั้นความน่าจะเป็นของจะเท่ากับความน่าจะเป็นของทางแยกเนื่องจาก นั่นเป็นวิธีเดียวที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น? ฉันพลาดอะไรไป A $P\left(\text{A} \middle| \text{B}\right)$$\text{A}$$\text{B}$

ปรีชาญาณที่ดีนั้นเกิดขึ้นเมื่อ B เกิดขึ้น - มีหรือไม่มี A - ความน่าจะเป็นของ A คืออะไร? คือตอนนี้เราอยู่ในจักรวาลที่ B เกิดขึ้น - วงกลมด้านขวาเต็ม ในวงกลมนั้นความน่าจะเป็นของ A คือพื้นที่ของ A ตัดกับ B หารด้วยพื้นที่ของวงกลม

ฉันจะคิดอย่างนี้: ฉันยอมรับว่าคุณเข้าใจสัญชาตญาณจนถึง:

เนื่องจาก B เกิดขึ้นวิธีเดียวที่จะเกิด A คือถึงแม้จะตกอยู่ในจุดตัดของ A & B

และฉันจะแสดงความคิดเห็นภาพที่สองที่คุณโพสต์:

1. ลองจินตนาการว่าสี่เหลี่ยมสีขาวทั้งหมดเป็นพื้นที่ตัวอย่างของคุณ\$\Omega$

   การกำหนดความน่าจะเป็นให้กับชุดหนึ่งหมายความว่าคุณกำลังวัดความรู้สึกบางอย่างที่ตั้งค่าไว้ มันเหมือนกับว่าคุณวัดพื้นที่สี่เหลี่ยม แต่ความน่าจะเป็นเป็นการวัดแบบต่าง ๆ ที่มีคุณสมบัติเฉพาะ (ฉันจะไม่พูดอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้อีก)

2. คุณรู้ว่าและนี่ถูกตีความเช่นนี้:$P(\Omega) = 1$

   $\Omega$แสดงถึงเหตุการณ์ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นและมีบางอย่างเกิดขึ้นดังนั้นเราจึงมีความเป็นไปได้ 100% ที่จะเกิดอะไรขึ้น

3. Analogously ชุดมีความน่าจะเป็นที่มีสัดส่วนความน่าจะเป็นของพื้นที่ตัวอย่าง\กราฟิกพูดคุณจะเห็นว่าจึงวัด(ความน่าจะเป็นของ ) จะต้องมีน้อยกว่าOmega) เหตุผลเดียวที่ถูกต้องสำหรับชุดB ชุดนี้สามารถวัดและตัวชี้วัดของมันคือB)P ( ) Ω ⊂ Ω P ( ) P ( Ω ) ∩ B P ( ∩ B $A$$P(A)$$\Omega$$A \subset \Omega$$A$$P(A)$$P(\Omega)$$A \cap B$$P(A \cap B)$

4. ถ้าตอนนี้คุณจะบอกว่าได้เกิดขึ้นคุณต้องคิดว่าถ้าเป็นของคุณ "ใหม่" \ถ้าคือ "ใหม่" ของคุณแล้วคุณสามารถเป็น 100% แน่ใจว่าทุกอย่างที่เกิดขึ้นในชุดBB Ω B Ω $B$$B$$\Omega$$B$$\Omega$$B$

   และนั่นหมายความว่าอย่างไร นั่นหมายความว่าตอนนี้ในการประกวด "ใหม่"และคุณต้องลดความน่าจะเป็นทั้งหมดในการวัดโดยคำนึงถึงว่าพวกเขาจะต้องแสดงในรูปของพื้นที่ตัวอย่าง "ใหม่" . มันเป็นสัดส่วนที่เรียบง่าย$P(B \mid B) =1$$B$

   สัญชาตญาณของคุณเกือบจะถูกเมื่อคุณพูดว่า:

ความน่าจะเป็นของ P (A | B) จะเท่ากับความน่าจะเป็นของการแยก A

และ "เกือบ" เป็นเพราะความจริงที่ว่าตอนนี้พื้นที่ตัวอย่างของคุณเปลี่ยนไป ( ตอนนี้เป็นแล้ว) และคุณต้องการ rescaleตามลำดับ$B$$P(A \cap B)$

5. $P(A \mid B)$เป็นของคุณในโลกใหม่ที่มีพื้นที่ตัวอย่างคือตอนนี้Bในคำพูดที่คุณจะพูดแบบนี้ (และโปรดลองนึกภาพบนภาพด้วยชุด):$P(A \cap B)$$B$

   ในโลกใหม่อัตราส่วนระหว่างการวัดของและการวัดจะต้องเท่ากับอัตราส่วนระหว่างการวัดและการวัด$B$$A\cap B$$\Omega$$A \mid B$

6. สุดท้ายแปลสิ่งนี้ในภาษาคณิตศาสตร์ (สัดส่วนที่ง่าย):

$$P(B):P(A \cap B) = P(\Omega):P(A \mid B)$$

และเนื่องจาก จึงเป็นเช่นนั้น:$P(\Omega)=1$

$$P(A \mid B)= P(A \cap B):P(B)$$

คุณจะเห็นสัญชาตญาณคิดอย่างง่ายดายเกี่ยวกับปัญหาต่อไปนี้

สมมติว่าคุณมี 10 ลูก: 6 สีดำและ 4 สีแดง ลูกบอลสีดำ 3 อันยอดเยี่ยมและลูกบอลสีแดงเพียง 1 อันนั้นยอดเยี่ยม มีโอกาสมากที่ลูกบอลสีดำจะน่ากลัวหรือไม่

คำตอบนั้นง่ายมาก: มันคือ 50% เพราะเรามีลูกบอลสีดำสุดยอด 3 ลูกจากทั้งหมด 6 ลูกสีดำ

นี่คือวิธีที่คุณจับคู่ความน่าจะเป็นกับปัญหาของเรา:

• 3 ลูกที่เป็นสีดำและน่ากลัวตรงกับ$P(A \cap B)$
• 6 ลูกที่เป็นสีดำสอดคล้องกับ$P(B)$
• ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลน่ากลัวเมื่อเรารู้ว่ามันเป็นสีดำ:$P(A\mid B)$

สำหรับสัญชาตญาณพื้นฐานของสูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขฉันมักจะใช้ตารางสองทาง สมมติว่ามีนักเรียน 150 คนต่อปีซึ่ง 80 คนเป็นผู้หญิงและ 70 คนแต่ละคนต้องเรียนหลักสูตรภาษาเดียว ตารางสองทางของนักเรียนที่เรียนหลักสูตรต่าง ๆ คือ:

        | French   German   Italian  | Total
-------- --------------------------- -------
Male    |     30       20        20  |    70
Female  |     25       15        40  |    80
-------- --------------------------- -------
Total   |     55       35        60  |   150

เนื่องจากนักเรียนคนหนึ่งเรียนหลักสูตรภาษาอิตาลีความน่าจะเป็นที่พวกเขาเป็นเพศหญิงคืออะไร หลักสูตรภาษาอิตาลีมีนักเรียน 60 คนโดย 40 คนเป็นผู้หญิงเรียนภาษาอิตาลีดังนั้นความน่าจะเป็น:

$$P(\text{F|Italian})=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$$

โดยที่คือความสำคัญของเซตคือจำนวนไอเท็มที่บรรจุอยู่ โปรดทราบว่าเราจำเป็นต้องใช้ในตัวเศษและไม่ใช่แค่เนื่องจากตัวหลังจะรวมหญิงทั้งหมด 80 รวมถึงอีก 40 คน ผู้ไม่เรียนภาษาอิตาลี$n(A)$$A$$n(\text{F} \cap \text{Italian})$$n(\text{F})$

แต่ถ้าคำถามถูกพลิกไปความน่าจะเป็นที่นักเรียนเรียนหลักสูตรภาษาอิตาลีคืออะไรเนื่องจากพวกเขาเป็นเพศหญิง จากนั้นนักเรียนหญิง 40 จาก 80 คนเรียนหลักสูตรภาษาอิตาลีดังนั้นเราจึงมี:

$$P(\text{Italian|F})=\frac{n(\text{Italian} \cap \text{F})}{n(\text{F})}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$$

ฉันหวังว่านี่จะเป็นสัญชาตญาณว่าทำไม

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}$$

การทำความเข้าใจว่าทำไมเศษส่วนสามารถเขียนได้ด้วยความน่าจะเป็นแทนที่จะเป็นภาวะเชิงการนับเป็นเรื่องของเศษส่วนที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่นให้เรากลับไปที่ความน่าจะเป็นที่นักเรียนเป็นเพศหญิงเนื่องจากพวกเขากำลังเรียนภาษาอิตาลี มีนักเรียนทั้งหมด 150 คนดังนั้นความน่าจะเป็นที่นักเรียนเป็นผู้หญิงและการศึกษาภาษาอิตาลีคือ 40/150 (นี่คือความน่าจะเป็น "ร่วม") และความน่าจะเป็นที่นักเรียนเรียนภาษาอิตาลีอยู่ที่ 60/150 (นี่คือความน่าจะเป็น ) โปรดทราบว่าการแบ่งความน่าจะเป็นร่วมด้วยความน่าจะเป็นที่ได้จาก:

$$\frac{P(\text{F} \cap \text{Italian})}{P(\text{Italian})}=\frac{40/150}{60/150}=\frac{40}{60}=\frac{n(\text{F} \cap \text{Italian})}{n(\text{Italian})}=P(\text{F|Italian})$$

(หากต้องการดูว่าเศษส่วนเท่ากันให้คูณตัวเศษและส่วนด้วย 150 จะลบ "/ 150" ในแต่ละรายการ)

โดยทั่วไปหากพื้นที่การสุ่มตัวอย่างของคุณมีภาวะเชิงการนับ - ในตัวอย่างนี้ภาวะเชิงการนับนั้นเท่ากับ 150 - เราพบว่า$\Omega$$n(\Omega)$

$$P(A|B)=\frac{n(A \cap B)}{n(B)}=\frac{n(A \cap B)/n(\Omega)}{n(B)/n(\Omega)}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

ฉันจะย้อนกลับตรรกะ ความน่าจะเป็นที่ทั้งและเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง:$A$$B$

1. ความน่าจะเป็นเกิดขึ้นและนั่นทำให้เกิดขึ้น$B$$A$
2. บทบาทเดียวกัน แต่ย้อนกลับสำหรับและ$A$$B$

สิ่งนี้จะทำให้คุณ

$p(A\cap B)=p(B)p(A\mid B)$

หากคุณกำลังมองหาสิ่งที่เป็นลบต่อข้อเสนอแนะของคุณในขณะที่ความน่าจะเป็นของให้นั้นมีอยู่ในความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์พื้นที่ที่คุณทอยลูกเต๋ามีขนาดเล็กกว่าพื้นที่ความน่าจะเป็นดั้งเดิมของคุณ แน่นอนคุณ "ใน"ดังนั้นคุณหารด้วยขนาดของพื้นที่ใหม่$A$$B$$B$

แผนภาพ Venn ไม่ได้แสดงถึงความน่าจะเป็น แต่จะแสดงถึงการวัดส่วนย่อยของพื้นที่กิจกรรม ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนระหว่างสองมาตรการ ความน่าจะเป็นของ X คือขนาดของ "ทุกสิ่งที่ถือเป็น X" แบ่งขนาดของ "เหตุการณ์ทั้งหมดที่กำลังพิจารณา" เมื่อใดก็ตามที่คุณคำนวณความน่าจะเป็นคุณจะต้องมีทั้ง "ช่องว่างแห่งความสำเร็จ" และ "พื้นที่ประชากร" คุณไม่สามารถคำนวณความน่าจะเป็นได้โดยขึ้นอยู่กับพื้นที่ความสำเร็จว่า "ใหญ่แค่ไหน" ตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นในการหมุนเจ็ดกับสองลูกเต๋าคือจำนวนวิธีในการกลิ้งเจ็ดหารด้วยจำนวนรวมของวิธีในการกลิ้งสองลูกเต๋า เพียงแค่รู้ว่าจำนวนวิธีการหมุนเจ็ดนั้นไม่เพียงพอที่จะคำนวณความน่าจะเป็น P (A | B) คืออัตราส่วนของการวัดของ "ทั้ง A และ B เกิดขึ้น" พื้นที่และการวัดของช่องว่าง "B เกิดขึ้น" นั่นคือสิ่งที่ "|" หมายถึง: มันหมายถึง "ทำสิ่งที่เกิดขึ้นหลังจากนี้พื้นที่ประชากร"

ฉันคิดว่าวิธีที่ดีที่สุดในการคิดเกี่ยวกับสิ่งนี้คือการวาดเส้นทางทีละขั้นตอน

ขออธิบายเหตุการณ์ B เป็นกลิ้งบนตายยุติธรรม - นี้สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายที่จะมีความน่าจะเป็น{6} ตอนนี้ขออธิบายเหตุการณ์เป็นวาด Ace จากดาดฟ้า 52 ใบมาตรฐานของบัตร - นี้สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายที่จะมีความน่าจะเป็น{13}$4$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{13}$

ตอนนี้เรามาทำการทดสอบที่เราจะหมุนแม่พิมพ์แล้วเลือกการ์ด ดังนั้นจะเป็นไปได้ที่เราวาดเอซระบุว่าเราได้รีดแล้ว4หากคุณดูที่รูปภาพนี่จะเป็นเส้นทาง (ขึ้นไป) แล้วตามด้วยพา ธ (ขึ้นอีกครั้ง)$P\left(A \middle| B\right)$$4$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{13}$

สังหรณ์ใจน่าจะเป็นพื้นที่ทั้งหมดคือสิ่งที่เรามีอยู่แล้วได้รับ: กลิ้ง4เราสามารถละเว้นและเริ่มต้นนำไปสู่เส้นทางลงไปเพราะมันคือ GIVEN ที่เรากลิ้ง4ตามกฎของการคูณพื้นที่ทั้งหมดของเรานั้นขวา)$4$$\frac{1}{13}$$\frac{12}{13}$$4$$\left(\frac{1}{6}{\times}\frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{6}{\times}\frac{12}{13}\right)$

ทีนี้ความน่าจะเป็นที่เราดึง Ace ออกมาเป็นอะไร? คำตอบโดยใช้เส้นทางคือซึ่งเราต้องหารด้วยพื้นที่ทั้งหมด ดังนั้นเราจะได้$4$$\left(\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13} \right)$

$$P\left(A \middle| B\right) = \frac{\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13}}{\left(\frac{1}{6} {\times} \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{6} {\times} \frac{12}{13}\right)}.$$

คิดในแง่ของการนับ ความน่าจะเป็นที่ขอบคือจำนวนที่เกิดขึ้น A หารด้วยขนาดตัวอย่าง ความน่าจะเป็นร่วมของ A และ B คือกี่ครั้งที่ A เกิดขึ้นพร้อมกับ B หารด้วยขนาดตัวอย่าง ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ A ที่ให้ B คือจำนวน A ที่เกิดขึ้นพร้อมกับ B หารด้วยกี่ครั้งที่ B เกิดขึ้นนั่นคือมีเพียง A ของ "ภายใน" B ของ

คุณสามารถค้นหาภาพประกอบที่สวยงามบนบล็อกนี้ซึ่งแสดงโดยใช้บล็อกเลโก้

ในขณะที่เขียนมีคำตอบประมาณ 10 คำตอบซึ่งดูเหมือนจะพลาดจุดสำคัญที่สุดนั่นก็คือคุณพูดถูก

ในกรณีนั้นความน่าจะเป็นของ P (A | B) จะเท่ากับความน่าจะเป็นของการแยก A B เพราะนั่นเป็นวิธีเดียวที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นได้

นี่เป็นเรื่องจริง สิ่งนี้อธิบายได้ว่าเหตุใดปริมาณที่เรากำหนดจึงเป็นจริง$P(A\vert B)$$P(A \cap B)$

ฉันพลาดอะไรไป

คุณหายไปว่าความน่าจะเป็นที่ B พึงพอใจเนื่องจาก B นั้นน่าจะเป็น 1 เนื่องจากเหตุการณ์นี้ค่อนข้างแน่นอนและไม่ใช่ซึ่งอาจน้อยกว่า 1 หารด้วยทำให้ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ B เท่ากับ B เท่ากับ 1 ตามที่คาดไว้ ที่จริงแล้วสิ่งนี้ดีกว่าและทำให้แผนที่น่าจะเป็น - ดังนั้นความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขคือความน่าจะเป็นจริง$P(B\cap B) = P(B)$$P(B)$$A \mapsto P(A\vert B)$

ฉันรู้สึกว่ามันง่ายขึ้นเมื่อเรามีข้อมูลที่เป็นรูปธรรมในการประมาณความน่าจะเป็น

ลองใช้mtcarsข้อมูลเป็นตัวอย่างข้อมูลมีลักษณะเช่นนี้ (เราใช้จำนวนกระบอกสูบและประเภทการส่งเท่านั้น)

> mtcars[,c("am","cyl")]
                    am cyl
Mazda RX4            1   6
Mazda RX4 Wag        1   6
Datsun 710           1   4
Hornet 4 Drive       0   6
...  
...
Ford Pantera L       1   8
Ferrari Dino         1   6
Maserati Bora        1   8
Volvo 142E           1   4

เราสามารถคำนวณการแจกแจงร่วมในตัวแปรสองตัวโดยทำตารางไขว้:

> prop.table(table(mtcars$cyl,mtcars$am))

          0       1
  4 0.09375 0.25000
  6 0.12500 0.09375
  8 0.37500 0.06250

ความน่าจะเป็นร่วมหมายถึงเราต้องการพิจารณาตัวแปรสองตัวในเวลาเดียวกัน ตัวอย่างเช่นเราจะถามจำนวนรถยนต์ที่มี 4 สูบและเกียร์ธรรมดา

ตอนนี้เรามาถึงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ฉันพบวิธีที่ง่ายที่สุดในการอธิบายความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือการใช้คำว่าการกรองข้อมูล

สมมติว่าเราต้องการรับเราจะทำการประมาณดังนี้:$P(am=1|cyl=4)$

> cyl_4_cars=subset(mtcars, cyl==4)
> prop.table(table(cyl_4_cars$am))

        0         1 
0.2727273 0.7272727 

นั่นหมายถึงเราดูแลรถยนต์เพียง 4 กระบอกเท่านั้น ดังนั้นเราจึงกรองข้อมูลในนั้น หลังจากกรองแล้วเราจะตรวจสอบว่ามีการส่งด้วยตนเองจำนวนเท่าใด

คุณสามารถเปรียบเทียบเงื่อนไขนี้กับข้อต่อที่ฉันกล่าวถึงก่อนหน้านี้เพื่อรับรู้ความแตกต่าง

ถ้าAเป็นซูเปอร์Bน่าจะเป็นที่Aจะเกิดขึ้นอยู่เสมอ 1 ให้ที่เกิดขึ้นคือB P(A|B) = 1อย่างไรก็ตามBตัวเองอาจมีโอกาสน้อยกว่า 1 มาก

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

• รับxเป็นจำนวนธรรมชาติใน 1..100
• Aคือ ' xคือจำนวนคู่'
• Bคือ ' xหารด้วย 10'

จากนั้นเรามี:

• P(A) คือ 0.5
• P(B) คือ 0.1

ถ้าเรารู้ว่าxคือหารด้วย 10 (คือxอยู่ในB) เรารู้ว่ามันยังเป็นเลขคู่ (เช่นxอยู่ในA) P(A|B) = 1เพื่อให้

จากกฎของเบย์เรามี:

$$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

โปรดทราบว่าในกรณี (พิเศษ) ของเรานั่นคือความน่าจะเป็นที่เป็นเลขคู่และตัวเลขหารด้วย 10 จะเท่ากับความน่าจะเป็นที่หารด้วย 10 ดังนั้นเราจึงมีและเสียบกลับนี้ในกฎ Bayes' เราได้รับ1$P(A \cap B)$xx$P(A \cap B) = P(B)$$P(A|B) = P(B) / P(B) = 1$

---

สำหรับตัวอย่างที่ไม่เสื่อมพิจารณาพิจารณาเช่นA' xคือหารด้วย 7' และB' xหารด้วย 3' จากนั้นP(A|B)เทียบเท่ากับ 'เมื่อเรารู้ว่าxหารด้วย 3 ความน่าจะเป็นที่หารด้วย 7 คืออะไร? หรือเท่ากัน 'เศษส่วนของจำนวน 3, 6, ... , 99 คือหารด้วย 7'

ฉันคิดว่าข้อความเริ่มต้นของคุณอาจเข้าใจผิด

คุณเขียน:

สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของการเกิดขึ้นเมื่อ B เกิดขึ้นคือ:

จากคำพูดของคุณอาจฟังดูราวกับว่ามี 2 เหตุการณ์ "First B เกิดขึ้นจากนั้นเราต้องการคำนวณความน่าจะเป็นที่ A จะเกิดขึ้น"

กรณีนี้ไม่ได้. (ต่อไปนี้ถูกต้องไม่ว่าจะมีความเข้าใจผิดหรือไม่)

เรามีเพียง 1 เหตุการณ์ซึ่งถูกอธิบายโดยหนึ่งใน 4 ความเป็นไปได้:

1. ไม่ใช่หรือ ;$\text{A}$$\text{B}$

2. justไม่ใช่ ;$\text{A}$$\text{B}$

3. justไม่ใช่ ;$\text{B}$$\text{A}$

4. ทั้งและ{B}$\text{A}$$\text{B}$

วางตัวเลขตัวอย่างลงบนมันสมมติว่า

$$\begin{array}{ccccccc} P\left(\text{A}\right) = 0.5, & & P\left(\text{B}\right) = 0.5, & & \text{and} & & \text{A and B are independent}. \end{array}$$

มันตามมาว่า

$$\begin{array}{ccccc} P\left(\text{A and B}\right)=0.25 & & \text{and} & & P\left(\text{neither A nor B}\right)=0.25. \end{array}$$

ในขั้นต้น (ที่มีความรู้เกี่ยวกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่ได้) เรารู้ว่า0.25$P\left(\text{AB}\right) = 0.25$

แต่เมื่อเรารู้ว่าเกิดขึ้นเราก็อยู่ในพื้นที่ที่แตกต่างออกไป คือครึ่งหนึ่งของดังนั้นความน่าจะเป็นของได้รับ ,เป็น0.5ไม่ใช่เพราะรู้ว่าเกิดขึ้นP ( AB ) P ( B ) A B P ( $\text{B}$$P\left(\text{AB}\right)$$P\left(\text{B}\right)$$\text{A}$$\text{B}$ 0.5 0.25 $P\left(\text{A} \middle| \text{B}\right)$$0.5$$0.25$$\text{B}$

ความน่าจะเป็นของการปรับสภาพไม่เท่ากับความน่าจะเป็นของการตัดกัน นี่คือคำตอบที่ใช้งานง่าย:

1) : "เรารู้ว่าเกิดขึ้นความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นคืออะไร"$P(B \mid A)$$A$$B$

2: : "เราไม่รู้ว่าจะเกิดหรือหรือไม่ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองจะเกิดขึ้นคืออะไร?$P(A \cap B)$$A$$B$

ความแตกต่างคือในครั้งแรกเรามีข้อมูลเพิ่มเติม (เรารู้ว่าเกิดขึ้นก่อน) ในอันที่สองเราไม่รู้อะไรเลย$A$

เริ่มจากความน่าจะเป็นของอันที่สองเราสามารถอนุมานความน่าจะเป็นของอันที่สองได้

เหตุการณ์ที่ทั้งและจะเกิดขึ้นสามารถเกิดขึ้นได้สองวิธี:$A$$B$

1) ความน่าจะเป็นของและความน่าจะเป็นของเนื่องจากเกิดขึ้น$A$$B$$A$

2) ความน่าจะเป็นของและความน่าจะเป็นของที่เกิดขึ้น$B$$A$$B$

ปรากฎว่าทั้งสองสถานการณ์เหมือนกันที่จะเกิดขึ้น (ฉันไม่สามารถหาเหตุผลที่เข้าใจเองได้) ดังนั้นเราต้องน้ำหนักทั้งสองสถานการณ์ด้วย$0.5$

$P(A \cap B) = 1/2 * P(A \cap (B \mid A)) + 1/2*P(B \cap (A \mid B))$

ตอนนี้ใช้ที่และเป็นอิสระและจำไว้ว่าสถานการณ์ทั้งสองมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นอย่างเท่าเทียมกัน$A$$B \mid A$

$P(A \cap B) = P(A) * P(B \mid A)$

Tadaaa ... ตอนนี้แยกความน่าจะเป็นของการปรับสภาพ!

BTW ฉันจะรักถ้ามีคนอธิบายได้ว่าทำไมสถานการณ์ 1 และ 2 ถึงเท่ากัน ที่สำคัญอยู่ในนั้น imo