รูปแบบการกระจายแบบใดที่ให้“ ความคาดหวังของพีทาโกรัส”?

ให้$X \sim \text{Dist}(\theta_X)$และ$Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$เป็นตัวแปรสุ่มแบบอิสระอย่างต่อเนื่องที่สร้างจากรูปแบบการกระจายที่ไม่ระบุรายละเอียดเดียวกัน แต่มีค่าเผื่อสำหรับค่าพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน ฉันสนใจที่จะหารูปแบบการแจกแจงพารามิเตอร์ซึ่งมีความน่าจะเป็นการสุ่มตัวอย่างต่อไปนี้สำหรับค่าพารามิเตอร์ที่อนุญาตทั้งหมด:

$$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$$

คำถามของฉัน:ใครสามารถบอกฉันแบบฟอร์มการกระจายอย่างต่อเนื่องซึ่งสิ่งนี้ถือ? มีเงื่อนไขทั่วไป (ไม่สำคัญ) ที่นำไปสู่สิ่งนี้หรือไม่?

ความคิดเบื้องต้นของฉัน:หากคุณคูณพารามิเตอร์ทั้งสองด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ความน่าจะเป็นยังคงไม่เปลี่ยนแปลงดังนั้นจึงเหมาะสมที่จะเป็นพารามิเตอร์มาตราส่วนบางชนิด$\theta$

ถ้าเราใช้สองตัวแปรสุ่มเอ็กซ์โพเนนเชียลเราได้รับที่ P ( X > Y | Y = Y ) = ประสบการณ์{ - θ X Y }และ E Y [ ประสบการณ์{ - θ X Y } ] = ∫ ∞ 0ประสบการณ์{ - θ X Y

$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$$ $$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$$ ตอนนี้ถ้าX∼E(θ - 2 X $$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$$ จากนั้น P ( X > Y ) = θ 2 $$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$$ $$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$$

$f$$X$$Y$

$$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$$

$$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$$ $\alpha>0$ $$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$$ $\phi$$X,Y$ $$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$$

ถ้า $X$ คือ Weibull $\left( \alpha,\beta_1 \right)$ และ $Y$ เป็น Weibull อิสระ $\left( \alpha, \beta_2 \right)$ซึ่ง alpha เป็นพารามิเตอร์รูปร่างและ betas เป็นพารามิเตอร์มาตราส่วนดังนั้นจึงเป็นที่รู้จักกันว่า

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$$

สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้โดยทำตามวิธีการเดียวกันในคำตอบของซีอาน

ตอนนี้ให้ $\alpha=2$ สำหรับทั้ง $X$ และ $Y$. ถ้า$X$ มีพารามิเตอร์มาตราส่วน $\theta_X$ และ $Y$ มีพารามิเตอร์มาตราส่วน $\theta_Y,$ เรามี

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$$