วิธีการลดผลรวมที่เหลือของกำลังสองของการยกกำลังสองได้อย่างไร?

ฉันมีข้อมูลต่อไปนี้และต้องการให้พอดีกับรูปแบบการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเชิงลบของมัน:

Days <- c( 1,5,12,16,22,27,36,43)
Emissions <- c( 936.76, 1458.68, 1787.23, 1840.04, 1928.97, 1963.63, 1965.37, 1985.71)
plot(Days, Emissions)
fit <- nls(Emissions ~ a* (1-exp(-b*Days)), start = list(a = 2000, b = 0.55))
curve((y = 1882 * (1 - exp(-0.5108*x))), from = 0, to =45, add = T, col = "green", lwd = 4)

รหัสกำลังทำงานและมีการวางแผนเส้นที่เหมาะสม อย่างไรก็ตามความพอดีไม่เหมาะกับการมองเห็นและผลรวมของสี่เหลี่ยมที่เหลือดูเหมือนจะค่อนข้างใหญ่ (147073)

เราจะปรับปรุงความฟิตของเราได้อย่างไร? ข้อมูลอนุญาตให้เหมาะสมได้ดีขึ้นหรือไม่?

เราไม่สามารถหาทางออกสำหรับความท้าทายนี้ได้ทางอินเทอร์เน็ต ความช่วยเหลือหรือการเชื่อมโยงโดยตรงไปยังเว็บไซต์ / โพสต์อื่น ๆ เป็นที่นิยมอย่างมาก

r nonlinear-regression fitting nls

— Strohmi
แหล่งที่มา

ในกรณีนี้หากคุณพิจารณารูปแบบการถดถอยการ

โดยที่

คุณจะได้ค่าประมาณที่คล้ายกัน โดยการพล็อตพื้นที่ความเชื่อมั่นเราสามารถสังเกตได้ว่าค่าเหล่านี้มีอยู่ในขอบเขตของความเชื่อมั่นอย่างไร คุณไม่สามารถคาดหวังความลงตัวที่สมบูรณ์แบบได้เว้นแต่คุณจะสอดแทรกจุดหรือใช้โมเดลที่ไม่เชิงเส้นที่มีความยืดหยุ่นมากขึ้น

{Emissions}_{i} = f ({Days}_{i}, a, b) + ϵ_{i}

$\text{Emissions}_i=f(\text{Days}_i,a,b)+\epsilon_i$

ϵ_{i} \sim N (0, σ)

$\epsilon_i\sim N(0,\sigma)$

ฉันเปลี่ยนชื่อเพราะ "โมเดลเอ็กซ์โปเนนเชียลเชิงลบ" หมายถึงบางสิ่งที่แตกต่างจากที่อธิบายไว้ในคำถาม

— whuber

ขอบคุณที่ทำให้คำถามชัดเจนขึ้น (@whuber) และขอบคุณสำหรับคำตอบของคุณ (@Procrastinator) ฉันจะคำนวณและวางแผนพื้นที่ความมั่นใจได้อย่างไร และสิ่งที่จะเป็นรูปแบบที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่ยืดหยุ่นมากขึ้น

— Strohmi

คุณต้องการพารามิเตอร์เพิ่มเติม

fit <- nls(Emissions ~ a* (1- u*exp(-b*Days)), start = list(a = 2000, b = 0.1, u=.5));  beta <- coefficients(fit); curve((y = beta["a"] * (1 - beta["u"] * exp(-beta["b"]*x))), add = T)

ดูสิ่งที่เกิดขึ้นกับ

— whuber

@whuber - บางทีคุณควรโพสต์สิ่งนั้นเป็นคำตอบ?

— jbowman

A (ลบ) กฎหมายชี้แจงใช้รูปแบบ )เมื่อคุณอนุญาตให้มีการเปลี่ยนแปลงหน่วยในค่าและแม้ว่าพูดกับและแล้วกฎหมายจะแสดงเป็น $y=-\exp(-x)$ $x$ $y$ $y = \alpha y' + \beta$ $x = \gamma x' + \delta$

α Y^{'} + β = Y = - ประสบการณ์ (- x) = - ประสบการณ์ (- γ x^{'} - δ),

$\alpha y' + \beta = y = -\exp(-x) = -\exp(-\gamma x' - \delta),$

ซึ่งพีชคณิตนั้นเทียบเท่ากับ

y^{'} = \frac{- 1}{α} \exp (- γ x^{'} - δ) - β = a (1 - u \exp (- b x^{'}))

$y' = \frac{-1}{\alpha} \exp(-\gamma x' - \delta) - \beta = a\left(1 - u\exp(-b x')\right)$

ใช้สามพารามิเตอร์ , และ γเราสามารถรับรู้เป็นพารามิเตอร์ขนาดสำหรับ , เป็นพารามิเตอร์ขนาดสำหรับและเป็นสืบมาจากสถานที่ตั้งพารามิเตอร์สำหรับx $a = -\beta/\alpha$ $u = 1/(\beta\exp(\delta))$ $b = \gamma$ $a$ $y$ $b$ $x$ $u$ $x$

ตามกฎของหัวแม่มือพารามิเตอร์เหล่านี้สามารถระบุได้อย่างรวดเร็วจากพล็อต :

พารามิเตอร์คือค่าของเส้นกำกับแนวนอนน้อยกว่าเล็กน้อย $a$ $2000$
พารามิเตอร์ คือปริมาณสัมพัทธ์ที่เส้นโค้งเพิ่มขึ้นจากจุดกำเนิดไปเป็นเส้นกำกับแนวนอน ที่นี่ที่เพิ่มขึ้นจึงเป็นน้อยกว่า ; ค่อนข้างนั่นคือประมาณของเส้นกำกับ $u$ $2000 - 937$ $0.55$
เนื่องจากเมื่อเท่ากับสามเท่าของค่าส่วนโค้งควรเพิ่มขึ้นเป็นหรือของค่าทั้งหมด ของการเพิ่มขึ้นจากเป็นเกือบทำให้เราอยู่ราว ๆ ; การสแกนข้ามจุดบ่งชี้ว่าสิ่งนี้ใช้เวลาถึงวัน ขอเรียกว่าสำหรับความเรียบง่ายดังนั้น $\exp(-3) \approx 0.05$ $x$ $1/b$ $1-0.05$ $95\%$ $95\%$ $937$ $2000$ $1950$ $20$ $25$ $24$ 0.125(วิธีการการปรับลูกตาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นมาตรฐานในบางสาขาที่ใช้พล็อตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลมาก) $b \approx 3/24 = 0.125$ $95\%$

มาดูกันว่ามันมีลักษณะอย่างไร:

plot(Days, Emissions)
curve((y = 2000 * (1 - 0.56 * exp(-0.125*x))), add = T)

ลูกตาฟิต

ไม่เลวสำหรับการเริ่มต้น! (แม้จะพิมพ์0.56แทนที่0.55ซึ่งเป็นการประมาณคร่าวๆ) เราสามารถขัดมันด้วยnls:

fit <- nls(Emissions ~ a * (1- u * exp(-b*Days)), start=list(a=2000, b=1/8, u=0.55))
beta <- coefficients(fit)
plot(Days, Emissions)
curve((y = beta["a"] * (1 - beta["u"] * exp(-beta["b"]*x))), add = T, col="Green", lwd=2)

พอดี NLS

ผลลัพธ์ของการnlsมีข้อมูลมากมายเกี่ยวกับความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์ เช่นง่าย ๆsummaryให้ข้อผิดพลาดมาตรฐานของการประมาณการ:

> summary(fit)

Parameters:
   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
a 1.969e+03  1.317e+01  149.51 2.54e-10 ***
b 1.603e-01  1.022e-02   15.69 1.91e-05 ***
u 6.091e-01  1.613e-02   37.75 2.46e-07 ***

เราสามารถอ่านและทำงานกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมทั้งหมดของการประมาณค่าซึ่งมีประโยชน์สำหรับการประเมินช่วงความเชื่อมั่นพร้อมกัน (อย่างน้อยสำหรับชุดข้อมูลขนาดใหญ่):

> vcov(fit)
             a             b             u
a 173.38613624 -8.720531e-02 -2.602935e-02
b  -0.08720531  1.044004e-04  9.442374e-05
u  -0.02602935  9.442374e-05  2.603217e-04

nls รองรับการแปลงโปรไฟล์สำหรับพารามิเตอร์ให้ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความไม่แน่นอนของพวกเขา:

> plot(profile(fit))

$a$

พล็อตโปรไฟล์

$2$ $1945$ $1995$

— whuber
แหล่งที่มา

res <- residuals(fit); res %*% res

u

$u$

2724

$2724$

147073

$147073$

ทุกคนเก่งและดี แต่บางที OP มีเหตุผลบางอย่างที่จะเลือกรูปแบบเลขชี้กำลัง (หรืออาจเป็นเพราะมันเป็นที่รู้จักกันดี) ฉันคิดว่าสิ่งแรกที่เหลือควรถูกมองว่าเป็นรูปแบบเลขชี้กำลัง พล็อตพวกมันเทียบกับ covariates ที่มีศักยภาพเพื่อดูว่ามีโครงสร้างอยู่หรือไม่และไม่ใช่แค่เสียงสุ่มขนาดใหญ่ ก่อนที่จะกระโดดลงไปในแบบจำลองที่มีความซับซ้อนมากขึ้นพยายามที่จะดูว่าแบบจำลองที่ดีกว่านั้นสามารถช่วยได้หรือไม่

— Michael R. Chernick

x

$x$

ฉันไม่ได้วิจารณ์คำตอบของคุณ! ฉันไม่เห็นแผนการที่เหลืออยู่ ทั้งหมดที่ฉันแนะนำก็คือแปลงของส่วนที่เหลือเทียบกับ covariates ที่มีศักยภาพควรเป็นขั้นตอนแรกในการหาแบบจำลองที่ดีกว่า ถ้าฉันคิดว่าฉันมีคำตอบที่จะวางที่นั่นฉันจะได้รับคำตอบมากกว่ายกประเด็นของฉันเป็นค่าคงที่ ฉันคิดว่าคุณให้การตอบรับที่ดีและฉันก็เป็นคนที่ให้ +1

— Michael R. Chernick