การกระจายตัวแบบเกาส์อัตราส่วน: อนุพันธ์ wrt ต้นแบบ 's และ s

ผมทำงานกับสองการแจกแจงปรกติอิสระและYมีวิธี\ mu_xและ\ mu_yและความแปรปรวน\ ^ ซิก 2_xและ\ ^ ซิก 2_yY μ x μ y σ 2 x σ 2 $X$$Y$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

ฉันสนใจในการกระจายของอัตราส่วนของพวกเขา$Z=X/Y$ Y ทั้ง$X$หรือ$Y$มีค่าเฉลี่ยอยู่ที่ศูนย์ดังนั้น$Z$ไม่ได้กระจายเป็น Cauchy

ฉันต้องการหา CDF ของ$Z$ , และจากนั้นใช้อนุพันธ์ของ CDF ด้วยความเคารพ$\mu_x$ , $\mu_y$ , $\sigma^2_x$และ\$\sigma^2_y$

ใครบ้างที่รู้กระดาษที่คำนวณเหล่านี้แล้ว? หรือจะทำสิ่งนี้ด้วยตัวเองได้อย่างไร?

ฉันค้นพบสูตรสำหรับ CDF ในเอกสารปี 1969แต่การจดอนุพันธ์เหล่านี้จะเป็นความเจ็บปวดอย่างมาก อาจมีบางคนทำไปแล้วหรือรู้วิธีที่จะทำได้ง่าย ๆ ? ฉันต้องการทราบสัญญาณของตราสารอนุพันธ์เป็นส่วนใหญ่

กระดาษนี้ยังมีการประมาณที่ง่ายขึ้นในการวิเคราะห์ถ้า$Y$เป็นบวกส่วนใหญ่ ฉันไม่มีข้อ จำกัด อย่างไรก็ตามการประมาณอาจมีสัญลักษณ์เดียวกับอนุพันธ์ที่แท้จริงแม้จะอยู่นอกช่วงพารามิเตอร์

เอกสารที่เกี่ยวข้องบางส่วน:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

พิจารณาใช้แพ็คเกจคณิตศาสตร์สัญลักษณ์เช่น Mathematica หากคุณมีใบอนุญาตหรือ Sage หากคุณไม่มี

หากคุณเพิ่งทำงานเชิงตัวเลขคุณอาจพิจารณาความแตกต่างของตัวเลข

ในขณะที่น่าเบื่อมันจะมองไปข้างหน้า นั่นคือฟังก์ชั่นทั้งหมดที่เกี่ยวข้องมีการคำนวณอนุพันธ์ได้ง่าย คุณอาจใช้ความแตกต่างเชิงตัวเลขเพื่อทดสอบผลลัพธ์ของคุณเมื่อเสร็จเพื่อให้แน่ใจว่าคุณมีสูตรที่เหมาะสม

$\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}