อะไรคือความหมายที่เข้าใจง่ายที่อยู่เบื้องหลังการเสียบตัวแปรสุ่มเข้ากับ pdf หรือ cdf ของมันเอง

โดยทั่วไปแล้วไฟล์ PDF จะเขียนเป็นโดยที่ตัวพิมพ์เล็กนั้นถือว่าเป็นการรับรู้หรือผลลัพธ์ของตัวแปรสุ่มซึ่งมี pdf นั้น ในทำนองเดียวกัน CDF เขียนเป็นซึ่งมีความหมาย<x) อย่างไรก็ตามในบางสถานการณ์เช่นคำจำกัดความของฟังก์ชั่นการให้คะแนนและการได้มาซึ่ง cdf นั้นมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอปรากฏว่าตัวแปรสุ่มถูกเสียบเข้ากับ pdf / cdf ของตัวเอง เราจะได้ตัวแปรสุ่มใหม่หรือ $f(x|\theta)$ $x$ $X$ $F_X(x)$ $P(X<x)$ $X$ $Y=f(X|\theta)$ $Z=F_X(X)$ . ฉันไม่คิดว่าเราจะเรียกไฟล์นี้ว่า pdf หรือ cdf ได้อีกต่อไปเพราะตอนนี้มันเป็นตัวแปรสุ่มและในกรณีหลัง "การตีความ"ดูเหมือนไร้สาระสำหรับฉัน $F_X(X)=P(X<X)$

นอกจากนี้ในกรณีหลังข้างต้นฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคำแถลงว่า "cdf ของตัวแปรสุ่มตามการแจกแจงแบบเดียวกัน" cdf เป็นฟังก์ชั่นไม่ใช่ตัวแปรสุ่มดังนั้นจึงไม่มีการแจกแจง แต่สิ่งที่มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอคือตัวแปรสุ่มที่แปลงโดยใช้ฟังก์ชันที่แสดงถึง cdf ของตัวเอง แต่ฉันไม่เห็นว่าทำไมการแปลงนี้จึงมีความหมาย เช่นเดียวกันกับฟังก์ชันคะแนนซึ่งเราเสียบตัวแปรสุ่มเข้ากับฟังก์ชันที่แสดงถึงโอกาสในการบันทึกของมันเอง

ฉันพยายามทำลายสมองของฉันเป็นเวลาหลายสัปดาห์เพื่อพยายามหาความหมายที่เข้าใจง่ายเบื้องหลังการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ แต่ฉันติดอยู่ ความเข้าใจใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก!

— เอ็มเอไอ
แหล่งที่มา

สัญกรณ์อาจทำให้คุณสับสน เช่นเป็นสิ่งที่มีความหมายเป็นใช้ใด ๆฟังก์ชั่นที่วัดเพื่อจะเป็น สำหรับความหมายที่ถูกต้องคุณจะต้องมีความชัดเจนมากเกี่ยวกับสิ่งที่ตัวแปรสุ่มคือ สำหรับตัวแปรสุ่มฟังก์ชันสำหรับชัดเจนเป็นตัวแปรสุ่มดังนั้นจึงมีการกระจาย(สังเกตความหมายที่แตกต่างกันสองประการของสัญลักษณ์ " " ใน " ")มีความเหมือนกันหากมีการกระจายอย่างต่อเนื่อง

F_{X} (X)

$F_X(X)$

X

$X$

X : Ω \to R,

$X:\Omega\to\mathbb{R},$

Y : ω \to F_{X} (X (ω))

$Y:\omega\to F_X(X(\omega))$

ω \in Ω

$\omega\in\Omega$

F_{Y} .

$F_Y.$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

F_{Y}

$F_Y$

X

$X$

— whuber

นี่ไม่ใช่ปัญหาเชิงทฤษฎี: เพื่อให้เข้าใจคุณอาจเพิกเฉยต่อการอ้างอิงทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับ "การวัดได้" คุณอาจได้รับประโยชน์จากการศึกษาทฤษฎีเซตเล็ก ๆ ในช่วงต้นของการเรียนระดับบัณฑิตศึกษา: นั่นเป็นที่ที่คนส่วนใหญ่เรียนรู้ว่าคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน (และที่แพร่หลาย) และสัญกรณ์จริงๆหมายถึงอะไรดังนั้นจึงเป็นการดีที่สุดที่จะไม่หยุดเรียน

— whuber

บางทีคำว่าทำไมเราควรทำสิ่งที่บ้าคลั่งเช่นนี้: ใส่ RV เข้าไปในความหนาแน่นของตัวเอง !!?! ตัวอย่างหนึ่ง: บอกว่าคุณต้องการประมาณความหนาแน่นของ X จากนั้นคุณสามารถวัดว่าคุณเก่งแค่ไหนโดยการรวมกับแต่นี่คือ "ไม่ยุติธรรม": คุณจะไม่ได้รับการประเมินที่ดีเมื่อคุณไม่มี ตัวอย่างข้อมูลจำนวนมาก (เช่นความหนาแน่นที่แท้จริงมีขนาดเล็ก) ดังนั้นการประเมินผลที่ "ยุติธรรม" จะเป็นการเพิ่มน้ำหนักคำโดยความหนาแน่นที่แท้จริง นี่คือผลของการแทรก RV เข้าไปในความหนาแน่นของตัวเองมากขึ้นหรือน้อยลง ...

f (x) - f_{X} (x)

$f(x)-f_X(x)$

— Fabian Werner

ดูเพิ่มเติมstats.stackexchange.com/questions/324768/…

— Fabian Werner

คำตอบ:

เช่นเดียวกับที่คุณพูดฟังก์ชั่นใด ๆ (วัดได้) ของตัวแปรสุ่มนั้นเป็นตัวแปรสุ่ม ง่ายกว่าที่จะคิดว่าและเป็น "ฟังก์ชั่นเก่า ๆ " พวกเขาเพิ่งจะมีคุณสมบัติที่ดี ตัวอย่างเช่นถ้าเป็น RV ชี้แจงมาตรฐานแล้วมีอะไรแปลก ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มเป็น มันเกิดขึ้นเพียงเพื่อที่(X) ความจริงที่ว่ามีการกระจายชุด (ให้ที่เป็น RV ต่อเนื่อง) สามารถมองเห็นได้กรณีทั่วไปโดย deriving CDF ของY $f(x)$ $F(x)$ $X$

Y = 1 - e^{- X}

$Y = 1 - e^{-X}$

Y = F_{X} (X)

$Y=F_X(X)$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

\begin{aligned} F_{Y} (y) & = P (Y \leq y) \\ = P (F_{X} (X) \leq y) \\ = P (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) \\ = F_{X} (F_{X}^{- 1} (y)) \\ = y \end{aligned}

$\begin{align*} F_Y(y) &= P(Y \leq y) \\ &= P(F_X(X) \leq y) \\ &= P(X \leq F^{-1}_X(y)) \\ &= F_X(F^{-1}_X(y)) \\ &= y \end{align*}$

ซึ่งชัดเจนว่า CDF ของตัวแปรสุ่มหมายเหตุ: การพิสูจน์รุ่นนี้ถือว่าเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องและต่อเนื่อง แต่ก็ไม่ยากที่จะแสดงเวอร์ชันทั่วไปมากขึ้น $U(0,1)$ $F_X(x)$

— knrumsey
แหล่งที่มา

ข้อสรุปของคุณไม่ถูกต้องสำหรับการเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดที่สุดของ : คุณถือว่าเป็นตัวตน - แต่นั่นไม่ใช่กรณี

F_{X}

$F_X$

F_{X} \circ F_{X}^{- 1}

$F_X\circ F_X^{-1}$

— whuber

ใช่ขอบคุณ. ตัวแปรสุ่มชัดเจนต้องต่อเนื่อง ตอนนี้ฉันขาดอะไรไปหรือเปล่า?

X

$X$

— knrumsey

F_{X}

$F_X$ ไม่จำเป็นต้องมี bijective ยกตัวอย่างเช่นกรณีที่เองมีการแจกแจงแบบเดียวกัน! การปิดภาพของจะต้องเป็นช่วงเวลาทั้งหมด นั่นคือนิยามของการกระจายอย่างต่อเนื่อง

X

$X$

F_{X}

$F_X$

[0, 1] .

$[0,1].$

— whuber

การแปลงของตัวแปรสุ่มโดยฟังก์ชันที่วัดได้เป็นตัวแปรสุ่มอีกซึ่งการแจกแจงจะได้รับจากการแปลงความน่าจะเป็นผกผัน สำหรับทุกชุดดังกล่าวว่าคือที่วัดได้อยู่ภายใต้การกระจายของx $X$ $T:\mathcal{X}\longrightarrow\mathcal{Y}$ $Y=T(X)$

P (Y \in A) = P (X \in {x; T (x) \in A}) \overset{def}{=} P (X \in T^{- 1} (A))

$\mathbb{P}(Y\in A) = \mathbb{P}(X\in\{x;\,T(x)\in A\})\stackrel{\text{def}}{=} \mathbb{P}(X\in T^{-1}(A))$

A

$A$

{x; T (x) \in A}

$\{x;\,T(x)\in A\}$

X

$X$

คุณสมบัตินี้ใช้กับกรณีพิเศษเมื่อเป็น cdf ของตัวแปรสุ่ม :เป็นตัวแปรสุ่มใหม่ที่รับรู้ใน . เมื่อมันเกิดขึ้นจะถูกกระจายเป็นเครื่องแบบเมื่อต่อเนื่อง (ถ้าไม่ต่อเนื่องช่วงของจะไม่อีกต่อไปสิ่งที่เป็นกรณีคือเมื่อคือ Uniformจากนั้นมีการแจกแจงแบบเดียวกับโดยที่ $F_X:\mathcal{X}\longrightarrow[0,1]$ $X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $Y$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X$ $F_X$ $Y=F_X(X)$ $[0,1]$ $U$ $\mathcal{U}([0,1])$ $F_X^{-}(U)$ $X$ $F_X^{-}$ ซึกผกผันทั่วไปของF_Xซึ่งเป็นวิธีที่เป็นทางการในการ (a) เข้าใจตัวแปรสุ่มในขณะที่การแปลงที่วัดได้ของตั้งแต่เป็นตัวแปรสุ่มที่มี cdfและ (b ) สร้างตัวแปรสุ่มจากการแจกแจงด้วย cdf ) $F_X$ $\omega\in\Omega$ $X(\omega)=F_X^{-}(\omega)$ $F_X$ $F_X$

เพื่อให้เข้าใจถึงความขัดแย้งของให้เป็นตัวแทน ถ้าเป็นมาตรการที่ใช้ควบคุมและความหนาแน่นที่สอดคล้องกัน จากนั้น เป็นตัวแปรสุ่มตั้งแต่ขอบเขตบนของ อินทิกรัลเป็นแบบสุ่ม (นี่เป็นเพียงส่วนหนึ่งของการแสดงออก) ความขัดแย้งที่เห็นได้ชัดในเกิดจากความสับสนในสัญกรณ์ หากต้องการกำหนดอย่างเหมาะสมหนึ่งต้องการสองตัวแปรอิสระ ,และ $\mathbb{P}(X\le X)$

F_{X} (x) = P (X \leq x) = \int_{0}^{x} d F_{X} (x) = \int_{0}^{x} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=\int_0^x \text{d}F_X(x) = \int_0^x f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

d λ

$\text{d}\lambda$

f_{X}

$f_X$

F_{X} (X) = \int_{0}^{X} d F_{X} (x) = \int_{0}^{X} f_{X} (x) d λ (x)

$F_X(X)=\int_0^X \text{d}F_X(x) = \int_0^X f_X(x)\,\text{d}\lambda(x)$

P (X \leq X)

$\mathbb{P}(X\le X)$

X

$X$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$ ซึ่งในกรณีที่ตัวแปรสุ่มจะถูกกำหนดโดยน่าจะถูกคำนวณสำหรับการกระจายของX_2

F_{X} (X_{1})

$F_X(X_1)$

F_{X} (X_{1}) = P^{X_{2}} (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=\mathbb{P}^{X_2}(X_2\le X_1)$

X_{2}

$X_2$

คำพูดเดียวกันนี้ใช้กับการแปลงโดยความหนาแน่น (pdf),ซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มใหม่ยกเว้นว่ามันไม่มีการแจกแจงคงที่เมื่อเปลี่ยนแปลง อย่างไรก็ตามยังมีประโยชน์สำหรับวัตถุประสงค์ทางสถิติเมื่อพิจารณาตัวอย่างเช่นอัตราส่วนความน่าจะเป็นซึ่ง 2 x ลอการิทึมประมาณตัวแปรสุ่มใต้ เงื่อนไขบางประการ $f_X(X)$ $f_X$ $f_X(X|\hat{\theta}(X))/f_X(X|\theta_0)$ $\chi^2$

และเช่นเดียวกันกับฟังก์ชันคะแนนซึ่งเป็นตัวแปรสุ่มที่คาดหวังว่ามันจะเป็นศูนย์เมื่อถ่ายที่ค่าจริงของพารามิเตอร์นั่นคือ

\frac{\partial \log f_{X} (X | θ)}{\partial θ}

$\dfrac{\partial \log f_X(X|\theta)}{\partial \theta}$

θ

$\theta$

E_{θ_{0}} [\frac{\partial \log f_{X} (X | θ_{0})}{\partial θ}] = \int \frac{\partial \log f_{X} (x | θ_{0})}{\partial θ} f_{X} (x | θ_{0}) d λ (x) = 0

$\mathbb{E}_{\theta_0}\left[ \dfrac{\partial \log f_X(X|\theta_0)}{\partial \theta}\right]=\int \dfrac{\partial \log f_X(x|\theta_0)}{\partial \theta}f_X(x|\theta_0)\,\text{d}\lambda(x)=0$

[คำตอบที่พิมพ์ขณะที่ @whuber และ @knrumsey กำลังพิมพ์คำตอบนั้น ๆ !]

— ซีอาน
แหล่งที่มา

คุณสามารถอธิบายในคำพูดสิ่งที่เป็นความหมาย / ความหมายของคำสั่ง ? สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าการพูดว่า "cdf ของ rv มีการแจกแจงแบบเดียวกัน" ไม่สมเหตุสมผลเลย

F_{X} (X_{1}) = P (X_{2} \leq X_{1})

$F_X(X_1)=P(X_2 \leq X_1)$

— mai

CDF ของ RVไม่ได้เป็นสิ่งเดียวกับการแปลงของ RVโดย CDF ของ RV นี้คือ(X)

F_{X}

$F_X$

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— ซีอาน

ใช่ฉันยอมรับว่าพวกเขาไม่เหมือนกัน ในอินสแตนซ์แรกมันไม่ใช่ rv ในขณะที่ในกรณีที่สองมันเป็น rv ฉันถูกต้องไหม?

— mai

ใช่ซึ่งเกี่ยวข้องกับความหมายที่แตกต่างของใน

X

$X$

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— ซีอาน

คุณสามารถอธิบายสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "การคาดหวังเป็นศูนย์เมื่อนำมาที่ค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์ หรือไม่ดูเหมือนว่ากำลังถูกใช้เป็นตัวแปรที่นี่การเปลี่ยนแปลงอะไรถ้าไม่ได้อยู่ที่" ค่าจริง "

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— mai