ถ้า

ฉันพยายามพิสูจน์ข้อความนี้:

ถ้าและเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ$X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$$Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

ดังนั้นก็เป็นตัวแปรสุ่มแบบปกติเช่นกัน$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

สำหรับกรณีพิเศษ (พูด) เรามีผลลัพธ์ที่รู้จักกันดีว่าเมื่อใดก็ตามที่และเป็นอิสระตัวแปร ในความเป็นจริงเป็นที่รู้กันโดยทั่วไปว่าเป็นอิสระตัวแปร$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$$X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

หลักฐานของผลลัพธ์สุดท้ายตามด้วยการใช้การแปลงโดยที่และtheta) แน่นอน, ที่นี่และ . ฉันพยายามเลียนแบบหลักฐานนี้สำหรับปัญหาที่เกิดขึ้น แต่ดูเหมือนว่าจะยุ่ง$(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$$u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$$V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

หากฉันไม่ได้ทำผิดพลาดสำหรับฉันจบลงด้วยความหนาแน่นร่วมของเช่น$(u,v)\in\mathbb{R}^2$$(U,V)$

ฉันมีตัวคูณด้านบนเนื่องจากการแปลงไม่ใช่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง$2$

ดังนั้นความหนาแน่นของจะได้รับโดยซึ่งไม่ได้รับการประเมินอย่างง่ายดาย$U$$\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

ตอนนี้ฉันสนใจที่จะรู้ว่ามีหลักฐานที่ฉันสามารถทำงานกับเท่านั้นและไม่ต้องพิจารณาเพื่อแสดงว่าเป็นเรื่องปกติ การค้นหา CDF ของไม่ได้ดูน่าเชื่อถือสำหรับฉันในขณะนี้ ผมยังต้องการที่จะทำเช่นเดียวกันสำหรับกรณีที่\$U$$V$$U$$U$$\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

นั่นคือถ้าและเป็นอิสระตัวแปรแล้วฉันต้องการแสดงให้เห็นว่าโดยไม่ต้องใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ถ้าอย่างใดฉันสามารถยืนยันว่าแล้วฉันทำ ดังนั้นคำถามสองข้อที่นี่กรณีทั่วไปและกรณีเฉพาะ$X$$Y$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$Z\stackrel{d}{=}X$

โพสต์ที่เกี่ยวข้องกับ Math.SE:

$X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$เมื่อ$X,Y\sim N(0,1)$เป็นอิสระ

ระบุว่าเป็น iidแสดงให้เห็นว่าจะ IID$X,Y$$N(0,1)$$\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$$N(0,\frac{1}{4})${4})

แก้ไข

ปัญหานี้เกิดขึ้นจริงเนื่องจาก L. Shepp ตามที่ฉันค้นพบในแบบฝึกหัดของทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ II) โดย Feller พร้อมด้วยคำแนะนำที่เป็นไปได้:

แน่นอนและฉันมีความหนาแน่นของในมือ$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$$\frac{1}{X^2}$

เรามาดูกันว่าฉันสามารถทำอะไรได้บ้าง นอกเหนือจากนี้เรายินดีต้อนรับความช่วยเหลือเล็กน้อยเกี่ยวกับอินทิกรัลด้านบนด้วย

การแก้ปัญหาแบบเดิมของ Shepp ใช้แนวคิดของกฎหมายทรัพย์สินที่มีความเสถียรซึ่งดูเหมือนจะก้าวหน้าไปเล็กน้อยสำหรับฉันในขณะนี้ ดังนั้นฉันจึงไม่สามารถเข้าใจคำใบ้ที่ให้ไว้ในแบบฝึกหัดที่ฉันอ้างถึงในโพสต์ของฉัน ฉันเดาหลักฐานที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเดียวและการไม่ใช้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรนั้นยากที่จะเกิดขึ้น ดังนั้นฉันจึงแบ่งปันเอกสารการเข้าถึงแบบเปิดสามรายการที่ฉันพบซึ่งมีวิธีแก้ไขปัญหาอื่น:$U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

• หมายเหตุเกี่ยวกับฟังก์ชั่นปกติของตัวแปรสุ่มปกติ

• ฟังก์ชั่นปกติของตัวแปรสุ่มปกติ

• ผลของ Shepp

คนแรกที่ได้เชื่อฉันจะไม่ไปลงเส้นทางบูรณาการที่ผมเอากับทางเลือกของตัวแปรที่ให้ได้มาซึ่งความหนาแน่นของUมันเป็นกระดาษแผ่นที่สามที่ดูเหมือนบางสิ่งที่ฉันสามารถติดตามได้ ฉันให้ภาพร่างสั้น ๆ ของหลักฐานที่นี่:$V$$U$

เราคิดโดยไม่สูญเสียของทั่วไปและชุด 2 ตอนนี้สังเกตเห็นว่าและเป็นอิสระเรามีความหนาแน่นร่วมของ . เราแสดงได้โดย2}$\sigma_1^2=1$$\sigma_2^2=\sigma^2$$X^2\sim\chi^2_1$$\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$$(X^2,Y^2)$$f_{X^2,Y^2}$

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงเช่นนั้นและ2} ดังนั้นเราจึงมีความหนาแน่นร่วมกันของZ) ขอให้เราแสดงได้โดยZ} ต่อไปนี้ขั้นตอนมาตรฐานเรารวม WRT จะที่จะได้รับความหนาแน่นร่อแร่ของW$(X^2,Y^2)\to(W,Z)$$W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$$Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$$(W,Z)$$f_{W,Z}$$f_{W,Z}$$z$$f_W$$W$

เราพบว่าเป็นตัวแปรแกมมาที่มีพารามิเตอร์และดังนั้น{1} เราทราบว่ามีความหนาแน่นของสมมาตรเกี่ยวกับ0นี่ก็หมายความว่าและด้วยเหตุนี้ขวา)$W=U^2$$\frac{1}{2}$$2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$$(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$$U$$0$$(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$$U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

ตามนี้

การแปลงตัวแปรสุ่มสองตัวปกติ

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$(2) และเป็นอิสระและเป็นอิสระ
$X$$Y$$\Leftrightarrow$ $\theta$$r$

ยังที่ตั้งแต่ $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$$f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$$z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

คล้ายกันสำหรับคนอื่น ๆ

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

เพื่อให้เราสามารถแสดง:

$X= \sigma r \cos(\theta)$และ$Y=\sigma r \sin(\theta)$

ดังนั้น

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

เพื่อแสดงอิสระ

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$และง่ายที่จะบอกว่าพวกเขาเป็นอิสระ