ช่วงการทำนายการถดถอยเชิงเส้น

หากการประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุด (โดยใช้กำลังสองน้อยที่สุด) ของจุดข้อมูลของฉันคือเส้นฉันจะคำนวณข้อผิดพลาดการประมาณได้อย่างไร ถ้าฉันคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของความแตกต่างระหว่างการสังเกตและการคาดการณ์ฉันจะพูดในภายหลังว่าค่าจริง (แต่ไม่ได้สังเกต)เป็นของช่วง ( ) ที่มีความน่าจะเป็น ~ 68% สมมติว่ามีการแจกแจงแบบปกติหรือไม่?e i = r e a l ( x i ) - ( m x i + b ) y r = r e a l ( x 0 ) [ y p - σ , y p + σ ] y p = m x 0 + $y=mx+b$$e_i=real(x_i)-(mx_i+b)$$y_r=real(x_0)$$[y_p-\sigma, y_p+\sigma]$$y_p=mx_0+b$

เพื่อชี้แจง:

ฉันทำข้อสังเกตเกี่ยวกับฟังก์ชั่นโดยการประเมินว่าจะเป็นบางจุดx_iฉันพอดีกับข้อสังเกตเหล่านี้กับสายข สำหรับว่าผมไม่ได้สังเกตผมอยากจะรู้ว่าวิธีการใหญ่สามารถ เป็น การใช้วิธีการด้านบนมันถูกต้องหรือไม่ที่จะบอกว่าด้วย prob ~ 68%?$f(x)$$x_i$$l(x)=mx+b$$x_0$$f(x_0)-l(x_0)$$f(x_0) \in [l(x_0)-\sigma, l(x_0)+\sigma]$

@whuber ได้ชี้ให้คุณเห็นคำตอบที่ดีสามข้อ แต่บางทีฉันยังสามารถเขียนคุณค่าบางอย่างได้ คำถามที่ชัดเจนของคุณตามที่ฉันเข้าใจคือ:

Yฉัน = เมตร x ฉัน + $\hat y_i=\hat mx_i + \hat b$ (แจ้งให้ทราบล่วงหน้าฉันเพิ่ม 'หมวก') , และสมมติว่าเหลือของฉันจะกระจายตามปกติ, ผมสามารถคาดการณ์ได้ว่าเป็นยัง การตอบสนองที่ไม่มีใครสังเกต, Y n E Wมีมูลค่าทำนายรู้จักx n E Wจะตกอยู่ในช่วงเวลา( Y - σ E , Y + $\mathcal N(0, \hat\sigma^2_e)$$y_{new}$$x_{new}$ความน่าจะเป็น 68%?$(\hat y -\sigma_e, \hat y +\sigma_e)$

สังหรณ์ใจคำตอบดูเหมือนว่ามันควรจะเป็น 'ใช่' แต่คำตอบที่แท้จริงคือบางที นี่จะเป็นกรณีที่ทราบพารามิเตอร์ (เช่น & σ ) และไม่มีข้อผิดพลาด เนื่องจากคุณประเมินพารามิเตอร์เหล่านี้เราจำเป็นต้องพิจารณาความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์เหล่านั้น $m, b,$$\sigma$

ก่อนอื่นลองคิดถึงความเบี่ยงเบนมาตรฐานของส่วนที่เหลือของคุณก่อน เนื่องจากข้อมูลนี้ประมาณจากข้อมูลของคุณจึงอาจมีข้อผิดพลาดบางอย่างในการประมาณการ ดังนั้นการกระจายที่คุณควรใช้ในการสร้างช่วงเวลาการทำนายของคุณควรเป็นข้อผิดพลาดไม่ใช่แบบปกติ อย่างไรก็ตามเนื่องจากtมาบรรจบกันอย่างรวดเร็วเป็นปกติจึงมีโอกาสน้อยที่จะมีปัญหาในทางปฏิบัติ $t_\text{df error}$$t$

ดังนั้นเราสามารถใช้เพียงปีใหม่ ± T ( 1 - α / 2 , ข้อผิดพลาด DF ) sแทนปีใหม่ ± Z ( 1 - α / 2 ) sและไปเกี่ยวกับทางม้าของเราหรือไม่ น่าเสียดายที่ไม่มี ปัญหาที่ใหญ่กว่าคือว่ามีความไม่แน่นอนเกี่ยวกับการประมาณการของคุณหมายถึงเงื่อนไขของการตอบสนองที่ตำแหน่งนั้นเนื่องจากความไม่แน่นอนในการประมาณการของคุณm & B ดังนั้น,$\hat y_\text{new}\pm t_{(1-\alpha/2,\ \text{df error})}s$$\hat y_\text{new}\pm z_{(1-\alpha/2)}s$$\hat m$$\hat b$ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการคาดการณ์ของคุณต้องการที่จะรวมมากกว่าเพียงแค่$s_\text{error}$ข้อผิดพลาด เพราะความแปรปรวนเพิ่ม , ความแปรปรวนโดยประมาณของการคาดการณ์จะเป็น: สังเกตว่า " x " คือ subscripted จะแสดงค่าที่เฉพาะเจาะจงสำหรับการใหม่ การสังเกตและ " s 2 " นั้นห้อยตามลำดับ นั่นคือช่วงเวลาการทำนายของคุณจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งของการสังเกตใหม่ตามแนว

$$s^2_\text{predictions(new)}=s^2_\text{error}+\text{Var}(\hat mx_\text{new}+\hat b)$$ $x$$s^2$$x$แกน. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการคาดคะเนของคุณสามารถประเมินได้สะดวกกว่าด้วยสูตรต่อไปนี้: การคาดการณ์ ในฐานะที่เป็นบันทึกด้านที่น่าสนใจเราสามารถสรุปข้อเท็จจริงบางอย่างเกี่ยวกับการทำนายช่วงจากสมการนี้ ครั้งแรกช่วงเวลาที่ทำนายจะแคบข้อมูลเพิ่มเติมที่เราได้เมื่อเราสร้างแบบจำลองการคาดคะเน (นี้เป็นเพราะมีความไม่แน่นอนน้อยลงในม.และข) ประการที่สองการคาดการณ์จะมีความแม่นยำมากที่สุดถ้าพวกเขาจะทำที่ค่าเฉลี่ยของxค่าคุณใช้ในการพัฒนารูปแบบของคุณเป็นเศษสำหรับระยะที่สามจะเป็น0 เหตุผลก็คือภายใต้สถานการณ์ปกติไม่มีความไม่แน่นอนเกี่ยวกับความชันโดยประมาณที่ค่าเฉลี่ยของ $$s_\text{predictions(new)}=\sqrt{s^2_\text{error}\left(1+\frac{1}{N}+\frac{(x_\text{new}-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2}\right)}$$ $\hat m$$\hat b$$x$$0$$x$มีความไม่แน่นอนเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับตำแหน่งแนวตั้งที่แท้จริงของเส้นการถดถอย ดังนั้นบทเรียนบางอย่างที่ต้องเรียนรู้สำหรับการสร้างแบบจำลองการทำนายคือ: ข้อมูลเพิ่มเติมมีประโยชน์ไม่ใช่กับการค้นหา 'นัยสำคัญ' แต่ด้วยการปรับปรุงความแม่นยำของการทำนายอนาคต และคุณควรจัดให้มีศูนย์รวบรวมข้อมูลของคุณในช่วงเวลาที่คุณจะต้องทำการคาดการณ์ในอนาคต (เพื่อลดตัวเศษที่) แต่กระจายการสังเกตอย่างกว้างขวางจากศูนย์นั้นเท่าที่จะทำได้ (เพื่อขยายตัวส่วนนั้น)

เมื่อคำนวณค่าที่ถูกต้องในลักษณะนี้แล้วเราสามารถใช้กับการแจกแจงที่เหมาะสมดังที่ระบุไว้ข้างต้น $t$