ทำไม

ฉันคิดว่า

$$P(A|B) = P(A | B,C) * P(C) + P(A|B,\neg C) * P(\neg C)$$

ถูกต้องในขณะที่

$$P(A|B) = P(A | B,C) + P(A|B,\neg C)$$

ไม่ถูกต้อง

อย่างไรก็ตามฉันได้รับ "ปรีชาญาณ" เกี่ยวกับหนึ่งในภายหลังนั่นคือคุณพิจารณาความน่าจะเป็น P (A | B) โดยแยกสองกรณี (C หรือ Not C) ทำไมสัญชาตญาณนี้ผิด

สมมติว่าเป็นตัวอย่างที่เคาน์เตอร์ง่ายว่าน่าจะเป็น$P(A)$ของเป็น1โดยไม่คำนึงถึงความคุ้มค่าของC จากนั้นถ้าเราใช้สมการไม่ถูกต้องเราจะได้:$A$$1$$C$

$P(A | B) = P(A | B, C) + P(A | B, \neg C) = 1 + 1 = 2$

เห็นได้ชัดว่าไม่สามารถที่ถูกต้องอาจจะไม่สามารถมีค่ามากกว่า1$1$สิ่งนี้ช่วยในการสร้างสัญชาตญาณที่คุณควรกำหนดน้ำหนักให้กับแต่ละกรณีทั้งสองกรณีตามสัดส่วนของความเป็นไปได้ของกรณีนั้นซึ่งส่งผลให้เกิดสมการแรก (ถูกต้อง) .

---

นั่นจะนำคุณเข้าใกล้กับสมการแรกของคุณ แต่น้ำหนักไม่ถูกต้อง ดูความคิดเห็นของ A. Rex สำหรับน้ำหนักที่ถูกต้อง

คำตอบของเดนนิสมีตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมหักล้างสมการที่ผิด คำตอบนี้พยายามอธิบายว่าทำไมสมการต่อไปนี้จึงถูกต้อง:

$$P(A|B) = P(A|C,B) P(C|B) + P(A|\neg C,B) P(\neg C|B).$$

เนื่องจากทุกเทอมมีเงื่อนไขบนเราสามารถแทนที่พื้นที่ความน่าจะเป็นทั้งหมดด้วยBและวางเทอมB สิ่งนี้ทำให้เรา:$B$$B$$B$

$$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|\neg C) P(\neg C).$$

ถ้าอย่างนั้นคุณถามว่าทำไมสมการนี้จึงมีเงื่อนไขและP ( ¬ C )อยู่$P(C)$$P(\neg C)$

เหตุผลก็คือว่าเป็นส่วนหนึ่งของในCและP ( | ¬ C ) P ( ¬ C )เป็นส่วนหนึ่งของใน¬ Cและทั้งสองเพิ่มขึ้นถึง ดูแผนภาพ ในทางกลับกันP ( A | C )เป็นสัดส่วนของCที่มีAและP ( $P(A|C) P(C)$$A$$C$$P(A|\neg C) P(\neg C)$$A$$\neg C$$A$$P(A|C)$$C$$A$คือสัดส่วนของ ¬ Cที่บรรจุ A - นี่คือสัดส่วนของภูมิภาคต่าง ๆ ดังนั้นพวกเขาจึงไม่มีตัวส่วนร่วมร่วมดังนั้นการเพิ่มพวกมันจึงไม่มีความหมาย$P(A|\neg C)$$\neg C$$A$

ฉันรู้ว่าคุณได้รับคำตอบที่ดีสำหรับคำถามของคุณสองข้อ แต่ฉันแค่ต้องการชี้ให้เห็นว่าคุณสามารถเปลี่ยนความคิดที่อยู่เบื้องหลังสัญชาตญาณของคุณให้เป็นสมการที่ถูกต้องได้อย่างไร

ก่อนอื่นให้จำไว้ว่าและเท่าP(X∩Y)=P(X|Y)P(Y)$P(X \mid Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$$P(X \cap Y) = P(X \mid Y)P(Y)$

เพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดเราจะใช้สมการแรกในย่อหน้าก่อนหน้าเพื่อกำจัดความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขทั้งหมดจากนั้นให้เขียนนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับทางแยกและสหภาพเหตุการณ์จากนั้นใช้สมการที่สองในวรรคก่อนเพื่อแนะนำเงื่อนไขในตอนท้าย . ดังนั้นเราเริ่มต้นด้วย:

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

เราจะเขียนใหม่ทางด้านขวาจนกว่าเราจะได้สมการที่ต้องการ

casework ในสัญชาตญาณของคุณขยายเหตุการณ์เข้า( ∩ C ) ∪ ( ∩ ¬ C )ส่งผลให้ในP ( | B ) = P ( ( ( ∩ C ) ∪ ( ∩ ¬ C ) ) ∩ B )$A$$(A \cap C) \cup (A \cap \neg C)$

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P(B)}$$

เช่นเดียวกับชุดที่สี่แยกกระจายไปทั่วสหภาพ:

$$P(A \mid B) = \dfrac{P((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P(B)}$$

เนื่องจากเหตุการณ์ทั้งสองที่ถูกรวมเข้าด้วยกันในตัวเศษนั้นไม่เกิดร่วมกัน (เนื่องจากและ¬ Cไม่สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งคู่) เราจึงสามารถใช้กฎผลรวม: P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ∩ C $C$$\neg C$

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \cap B \cap \neg C)}{P(B)}$$

ตอนนี้เราจะเห็นว่า ; ดังนั้นคุณสามารถใช้กฎผลรวมในเหตุการณ์ในเหตุการณ์ที่สนใจ (ด้าน "ซ้าย" ของแถบเงื่อนไข) หากคุณเก็บเหตุการณ์ที่กำหนด (ด้าน "ขวา") ไว้เหมือนกัน นี้สามารถใช้เป็นกฎทั่วไปสำหรับการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันอื่น ๆ เช่นกัน$P(A \mid B) = P(A \cap C \mid B) + P(A \cap \neg C \mid B)$

เราแนะนำอีกเงื่อนไขที่ต้องการโดยใช้สมการที่สองในวรรคสอง: และในทำนองเดียวกันสำหรับ¬ C

$$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)$$ $\neg C$

$P(A \mid B)$

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \mid B \cap \neg C)P(B \cap \neg C)}{P(B)}$$

$\dfrac{P(B \cap C)}{P(B)} = P(C \mid B)$ (and similarly for $\neg C$), we finally get

$$P(A \mid B) = P(A \mid B \cap C)P(C \mid B) + P(A \mid B \cap \neg C)P(\neg C \mid B)$$

Which is the correct equation (albeit with slightly different notation), including the fix A. Rex pointed out.

$P(A \cap C \mid B)$ turned into $P(A \mid B \cap C)P(C \mid B)$. This mirrors the equation $P(A \cap C) = P(A \mid C)P(C)$ by adding the $B$ condition to not only $P(A \cap C)$ and $P(A \mid C)$, but also $P(C)$ as well. I think if you are to use familiar rules on conditioned probabilities, you need to add the condition to all probabilities in the rule. And if there's any doubt whether that idea works for a particular situation, you can always expand out the conditionals to check, as I did for this answer.

ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วน ความน่าจะเป็นของ A ที่ให้ B คือความถี่ที่เกิดขึ้นภายในพื้นที่ของ B ตัวอย่างเช่น$P(\text{rain|March})$คือจำนวนวันที่ฝนตกในเดือนมีนาคมหารด้วยจำนวนวันทั้งหมดในเดือนมีนาคม เมื่อต้องรับมือกับเศษส่วนการแยกตัวเศษ ตัวอย่างเช่น

$$\begin{align} P(\text{rain or snow|March}) &= \frac{(\text{number of rainy or snowy days in March})}{(\text{total number of days in March})} \\[7pt] &= \frac{(\text{number of rainy days in March})}{(\text{total number of days in March)}} + \\[4pt] &\qquad \frac{\text{(number of snowy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} \\[7pt] &= P(\text{rain|March})+P(\text{snow|March}) \end{align}$$

This of course assumes that "snow" and "rain" are mutually exclusive. It does not, however, make sense to split up denominators. So if you have $P(\text{rain|February or March})$, that is equal to

$$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March})}.$$

But that is not equal to

$$\frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February})} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}}.$$

If you're having trouble seeing that, you can try out some numbers. Suppose there are 10 rainy days in February and 8 in March. Then we have

$$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March)}} = (10+8)/(28+31) = 29.5\%$$

and

$$\begin{align} \frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February)}} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} &= (10/28)+(8/31) \\ &= 35.7\% + 25.8\% \\ &= 61.5\% \end{align}$$

The first number, 29.5%, is the average of 35.7% and 25.8% (with the second number weighted slightly more because there is are more days in March). When you say $P(A|B)=P(A|B,C)+P(A|B,¬C)$ you're saying that $\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} = \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}$, which is false.

If I go to Spain, I can get sunburnt.

$$P(sunburnt | Spain)=0.2$$ This tells me nothing about getting sunburnt if not going to Spain, let's say $$P(sunburnt|\neg Spain)=0.1$$ This year I'm going to Spain, so $$P(sunburnt)=0.2$$ Letting $B=\Omega$, this is, $P(B)=1$, your intuition would imply $$P(A)=P(A|C)+P(A|\neg C)$$ which by the previous argument, isn't neccesarily true.