ข้อผิดพลาดมาตรฐานทำงานอย่างไร

เมื่อไม่นานมานี้ฉันได้ตรวจสอบการทำงานภายในของข้อผิดพลาดมาตรฐานและฉันพบว่าตัวเองไม่สามารถเข้าใจได้ว่ามันทำงานอย่างไร ความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับความคลาดเคลื่อนมาตรฐานคือความเบี่ยงเบนมาตรฐานของการกระจายตัวของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง คำถามของฉันคือ:

•เราจะรู้ได้อย่างไรว่าข้อผิดพลาดมาตรฐานคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างหมายถึงเมื่อเรามักจะใช้เพียงตัวอย่างเดียว?

•ทำไมไม่สมการในการคำนวณข้อผิดพลาดมาตรฐานสะท้อนให้เห็นถึงสมการเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับตัวอย่างเดียว?

ใช่ข้อผิดพลาดมาตรฐานของค่าเฉลี่ย (SEM) คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (SD) ของค่าเฉลี่ย (ข้อผิดพลาดมาตรฐานเป็นอีกวิธีหนึ่งในการพูด SD ของการกระจายตัวตัวอย่างในกรณีนี้การกระจายตัวตัวอย่างเป็นวิธีการสำหรับตัวอย่างของขนาดคงที่พูด N) มีความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่าง SEM และประชากร SD: SEM = ประชากร SD / สแควร์รูทของ N ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์นี้มีประโยชน์มากเนื่องจากเราแทบจะไม่เคยมีการประมาณค่าโดยตรงของ SEM แต่เรามีค่าประมาณของประชากร SD (เช่น SD ของตัวอย่างของเรา) สำหรับคำถามที่สองของคุณถ้าคุณต้องรวบรวมตัวอย่างขนาด N หลาย ๆ ตัวและคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับตัวอย่างแต่ละตัวอย่างคุณสามารถประมาณ SEM ได้ง่ายๆโดยการคำนวณ SD ของค่าเฉลี่ย ดังนั้นสูตรสำหรับ SEM จึงทำมิรเรอร์สูตรสำหรับ SD ของตัวอย่างเดียว

สมมติว่ามีความเป็นอิสระและกระจายตัวเหมือนกัน นี่คือสถานการณ์ที่ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าคุณกำลังอ้างถึง ขอให้ร่วมกัน พ.ศ. เฉลี่ยของพวกเขาμและความแปรปรวนร่วมกันของพวกเขาจะσ 2$X_1, X_2, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$

ตอนนี้ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างเป็น n เชิงเส้นของความคาดหวังแสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยของX ขนี้ยังμ สมมติฐานที่เป็นอิสระแสดงถึงความแปรปรวนของX bคือผลรวมของความแปรปรวนของเงื่อนไข แต่ละเทอมX i / n มีความแปรปรวนσ 2 / n 2 (เนื่องจากความแปรปรวนของค่าคงที่คูณด้วยตัวแปรสุ่มคือค่าคงที่กำลังสองคูณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม) เรามี$X_b=\sum_i X_i/n$$X_b$$\mu$$X_b$$X_i/n$$\sigma^2/n^2$$n$กระจายตัวแปรดังกล่าวไปในผลรวมดังนั้นแต่ละคำมีความแปรปรวนเดียวกัน เป็นผลให้เราได้รับสำหรับความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง$n \sigma^2/n^2 = \sigma^2/n$

โดยปกติแล้วเราไม่ทราบว่าและดังนั้นเราต้องประเมินจากข้อมูล ขึ้นอยู่กับการตั้งค่ามีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ ทั้งสองมากที่สุดประมาณการทั่วไปวัตถุประสงค์ทั่วไปของσ 2เป็นตัวอย่างความแปรปรวนs 2 = $\sigma^2$$\sigma^2$ และพหุคูณขนาดเล็กs 2 u =$s^2 = \frac{1}{n}\sum_i(X_i-X_b)^2$(ซึ่งเป็นตัวประมาณแบบไม่ลำเอียงของσ2) การใช้อย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้แทนpreced2ในย่อหน้าก่อนหน้าและการใช้สแควร์รูทจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดมาตรฐานในรูปแบบของs/$s_u^2 = \frac{n}{n-1}s^2$$\sigma^2$$\sigma^2$หรือsu/$s/\sqrt{n}$ .$s_u/\sqrt{n}$

+1 ทั้ง @JoelW & @MichaelChernick ฉันต้องการเพิ่มรายละเอียดในคำตอบของ @ JoelW เขาตั้งข้อสังเกตว่า "เราแทบจะไม่เคยมีการประมาณค่า SEM โดยตรง" ซึ่งเป็นเรื่องจริง แต่ก็คุ้มค่าที่จะรับรู้ข้อแม้ของประโยคนั้นอย่างชัดเจน โดยเฉพาะเมื่อการศึกษาเปรียบเทียบหลายกลุ่ม / การรักษา (ตัวอย่างเช่นยาหลอกเทียบกับยามาตรฐานกับยาใหม่) ANOVA มักใช้เพื่อดูว่าพวกเขาทุกคนเท่าเทียมกันหรือไม่ สมมติฐานว่างก็คือแต่ละกลุ่มถูกดึงมาจากประชากรเดียวกันดังนั้นทั้งสามค่านี้จึงเป็นค่าประมาณของค่าเฉลี่ยประชากร นั่นคือสมมุติฐานว่างใน ANOVA มาตรฐานสมมติว่าคุณมีการประมาณค่าโดยตรงของ SEM พิจารณาสมการสำหรับความแปรปรวนของการกระจายตัวตัวอย่างของวิธีการ:

$$\sigma^2_{\bar x}=\frac{\sigma^2_{pop}}{n_j},$$ where $\sigma^2_{pop}$ is the population variance, and $n_j$ is the number of groups. Although we don't usually perform the calculations in this way, we could simply use standard formulas to plug in estimated values, and with minimal algebraic reshuffling, form the $F$ statistic like so: $$F=\frac{n_j\times s^2_{\bar x}}{s^2_{\text{pooled within group}}}$$ In this case, we really would be using the standard formula (only applied over the group means), that is: $$s^2_{\bar x}=\frac{\sum_{j=1}^{n_j}(\bar x_j-\bar x_.)^2}{n_j-1},$$ with $x_.$ being the mean of the group means.

In that we typically believe the null hypothesis is not true, @JoelW.'s point is right, but I work through this point, because I think the clarity it affords is helpful for understanding these issues.