อะไรคือการกระจายตัวของความน่าจะเป็นซิมเพล็กซ์?

ให้เป็นเริมน่าจะเป็นของมิติK - 1คือx ∈ Δ Kเป็นเช่นนั้นx ฉัน ≥ 0และΣ ฉันx ฉัน = 1$\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$$\sum_i x_i = 1$

อะไรกระจายซึ่งมักจะเป็น (หรือที่รู้จักกันดีหรือที่กำหนดไว้ในอดีตที่ผ่านมา) มากกว่าอยู่?$\Delta_{K}$

เห็นได้ชัดว่ามีการแจกแจงดีริชเลต์และการแจกแจงแบบ Logit-Normal มีการแจกแจงอื่น ๆ ที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติในบริบทนี้หรือไม่?

นี่คือการศึกษาในการวิเคราะห์ข้อมูลองค์ประกอบมีหนังสือโดย Aitchison: การวิเคราะห์ทางสถิติของ Compositional ข้อมูล

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ Note that we use the index $n$ to indicate dimension! Define the geometric mean of an element of the simplex, $x$ as $\tilde{x}$. Then we can define the logratio transformation (introduced by Aitchison) as $x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$. This transformation is onto ${\mathbb R}^n$, so have an inverse which I leave to you to calculate (There are also other versions of this transformation that can be used, which has maybe better mathematical properties, more about that later).

Now you can take a normal (or whatever) distribution defined on ${\mathbb R}^n$ and use this inverse transformation to define a distribution on the simplex. The possibilities are limitless, for each and every multivariate distribution on ${\mathbb R}^n$ we get a distribution on the simplex.

I will augment this post later with some examples, and more details on log-ratio transforms.