ความคงที่ของภาพคงที่ภายใต้ชุดค่าผสมเชิงเส้นหรือไม่?

ลองนึกภาพเรามีสองกระบวนการอนุกรมเวลาที่มีความนิ่ง, การผลิต: x_t,$x_t,y_t$

คือ ,ยังนิ่ง? ∀ α , β ∈ $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม

ฉันจะบอกว่าใช่เพราะมันมีตัวแทน MA

บางทีก็น่าแปลกใจที่นี่ไม่เป็นความจริง (ความเป็นอิสระของทั้งสองอนุกรมเวลาจะทำให้เป็นจริงอย่างไรก็ตาม)

ผมเข้าใจ "คงที่" เพื่อเฉลี่ยนิ่งเพราะคำพูดเหล่านั้นดูเหมือนจะใช้สลับกันในล้านของการเข้าชมการค้นหารวมทั้งอย่างน้อยหนึ่งในเว็บไซต์ของเรา

สำหรับ counterexample ที่ให้เป็นที่ไม่คงที่อนุกรมเวลาหยุดนิ่งที่ทุกเป็นอิสระจาก ,และมีการกระจายอยู่รอบ ๆ ขอบสมมาตร0กำหนด$X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

พล็อตเหล่านี้แสดงบางส่วนของอนุกรมเวลาทั้งสามที่กล่าวถึงในโพสต์นี้ ถูกจำลองเป็นชุดของการดึงอิสระจากการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน$X$

เพื่อแสดงให้เห็นว่าไม่หยุดนิ่งเราต้องแสดงให้เห็นว่าการแจกแจงร่วมของสำหรับไม่ขึ้นอยู่กับsแต่นี้ต่อไปนี้โดยตรงจากสมมาตรและความเป็นอิสระของX_t $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

Scatterplots ที่ล้าหลังเหล่านี้ (สำหรับค่าของ 512 ค่า ) แสดงการยืนยันว่าการแจกแจง bivariate ร่วมของเป็นไปตามคาด: อิสระและสมมาตร (A "lagged scatterplot" แสดงค่าของต่อ ; ค่าจะแสดงขึ้น)$Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

อย่างไรก็ตามการเลือกเรามี$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

สำหรับแม้และอื่น ๆ$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

เนื่องจากไม่คงที่แน่นอนว่าทั้งสองนิพจน์มีการแจกแจงที่แตกต่างกันสำหรับและใด ๆ ดังนั้นซีรีย์จึงไม่คงที่ สีในรูปแรกไฮไลต์ลักษณะไม่คงที่ในโดยแยกค่าศูนย์จากส่วนที่เหลือ$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

พิจารณากระบวนการสองมิติ

$$w_t = (x_t, y_t)$$

ถ้ามันเป็นความนิ่งอย่างเคร่งครัดหรือหรือถ้ากระบวนการและมีร่วมกันนิ่งอย่างเคร่งครัดแล้วกระบวนการที่เกิดขึ้นจากการทำงานใด ๆ ที่วัดจะหยุดนิ่งเช่นกัน$(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

ในตัวอย่างของ @ whuber เรามี

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

ในการตรวจสอบว่านี้หยุดนิ่งหรือไม่เราต้องได้รับการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อน สมมติว่าตัวแปรนั้นต่อเนื่องกันอย่างแน่นอน สำหรับบางเรามี$w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

การเกาะติดกับตัวอย่างของ whuber กิ่งไม้ทั้งสองนั้นมีการแจกแจงความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันเนื่องจากมีสมมาตรการกระจายรอบศูนย์ $x_t$

ตอนนี้การตรวจสอบที่เข้มงวด stationarity กะดัชนีโดยจำนวนทั้งหมด 0 เรามี$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

สำหรับ stationarity ที่เข้มงวดเราต้องมี

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

และเราไม่มีความเท่าเทียมกันนี้ , เพราะ, บอกว่า, ถ้าคือเลขคู่และเป็นเลขคี่,ก็แปลก, ซึ่งในกรณีนี้$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

ในขณะที่

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

ดังนั้นเราจึงไม่ได้มีการร่วมกัน stationarity เข้มงวดและจากนั้นเรามีการค้ำประกันเกี่ยวกับสิ่งที่จะเกิดขึ้นกับการทำงานของไม่มีy_t) $f(x_t,y_t)$

ฉันต้องชี้ให้เห็นว่าการพึ่งพาระหว่างและนั้นเป็นสิ่งที่จำเป็น แต่ไม่เพียงพอสำหรับการสูญเสียความคงที่ของข้อต่อที่เข้มงวด มันเป็นข้อสันนิษฐานเพิ่มเติมของการพึ่งพาในดัชนีที่ทำงาน$x_t$$y_t$$y_t$

พิจารณา

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

หากใครทำงานก่อนหน้าสำหรับหนึ่งจะพบว่า stationarity ที่เข้มงวดร่วมกันถือที่นี่$(q_t)$

นี่เป็นข่าวดีเพราะกระบวนการที่ต้องพึ่งพาดัชนีและการนิ่งอยู่กับที่ไม่ได้อยู่ในข้อสมมติฐานที่เราต้องทำบ่อยครั้ง ในทางปฏิบัติดังนั้นหากเรามีความคงอยู่ของการมีอยู่อย่าง จำกัด เพียงเล็กน้อยเราคาดหวังว่าการมีความคงอยู่ของข้อ จำกัด ร่วมกันแม้ในที่ที่มีการพึ่งพา (แม้ว่าเราควรตรวจสอบแน่นอน)

ฉันจะบอกว่าใช่เพราะมันมีตัวแทน MA

หนึ่งการสังเกต ฉันคิดว่าการมีตัวแทน MA แสดงถึงความอ่อนแอที่ไม่ชัดเจนถ้าไม่แน่ใจว่ามันหมายถึงความนิ่งที่แข็งแกร่ง